第一讲 数值积分及其应用

第一讲

数值积分及其应用

—— 二重积分

—— Matlab 积分函数

矩形区域二重积分

 矩形区域二重积分：累次积分



 

( , ) d d ( , ) d d

b d b d

a c

f x y y x 

f x y y x

   

1 0

1

( , ) ( , )

( , ) d ( , )

2 2

d n

n

y j

c j

f x y f x y

f x y y h

f x y



 

    

  



0 1

1

( , ) ( , )

( , ) d ( , )

2 2

b j m m j

j x i j

a i

f x y f x y

f x y x h f x y





 

    

  



x

,

b a d c

h h

m n

 

 

矩形区域二重积分

在积分区域的四个角点系数为 1/4 ，边界为 1/2 ，内部节点为 1

( , ) d d

b d

a c

f x y y x

 





1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

4 h h f x y

f x y

f x y

f x y

   

1 1 1 1

0 0

1 1 1 1

1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2

m m n n

x y i i n j m j

i i j j

h h

f x y

f x y

f x y

f x y

   

 

     



   

1 1

1 1

( , )

m n

x y k i

k i

h h f x y

 

 

 

   

2 2

2 2

( )( )

( ) d c b a , ,

R f       h  f    h  f      

矩形区域二重积分



_,

2 2

x y

b a d c

h h

m n

 

 

( , ) d

d

c

f x y y



( , ) d

b

a

f x y

x



1

0 2 2 2 1

1 1

( , ) ( , ) 2 ( , ) 4 ( , )

3

n n

y

n j j

j j

h f x y f x y

f x y f x y

 

 

     

   

1

0 2 2 2 1

1 1

( , ) ( , ) 2 ( , ) 4 ( , )

3

n n

x

j m j i j i j

i i

h f x y f x y f x y f x y



  

 

     

   

矩形区域二重积分

其中

误差：

2 2

,

0 0

( , ) ( , )

m n

b d

x y i j i j

a c

i j

f x y dydx h h f x y

 

  

 

,

i j

u v

  

 

 

0 1 2

0 1 2

1 4 2 4 2 4 1 , , , , , , , , , ,

3 3 3 3 3 3 3 1 4 2 4 2 4 1 , , , , , , , , , ,

3 3 3 3 3 3 3

T m

T n

U u u u

V v v v

 

   

 

 

   

 

 

 

4 4

4 4

( )( )

( ) d c b a ( , ) ( , )

R f       h  f    h  f      

Matlab 积分函数



Matlab



trapz 、 quad 、 integral 、 integral2



int

trapz(x, y)

x

y

 复合梯形法

trapz



  

      



^{( )} ₂

₂

y y

f x dx b a y y

n

[ , , , x ]

x  x  x y  [ ( ), ( ), , ( )] f x f x  f x

例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )

解：

a=0, b=1, n=100, y

= f (x

) = 1/( 1+x

)

x=0:1/100:1;

y=1./(1+x.^2);

inum=trapz(x, y)

trapz 举例

1 0

1

I dx

 x

 

quad(f,a,b,tol)

f = f(x)

将自变量看成是向量！

 不用自己分割积分区间

 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是

10

 精度越高，函数运行的时间越长



f

其中涉及的运算必须采用数组运算

quad

 自适应抛物线法

^b ( )

a f x dx



解：

f=@(x) 1./(1+x.^2);

inum=quad(f, 0, 1) % 采用缺省精度

inum=quad(@(x) 1./(1+x.^2), 0, 1, 1e- 10)

例：^用

quad

quad 举例

1 0

1

I dx

 x

 

integral(f,a,b)

integral(f,a,b,'RelTol',tol)

 该函数比

quad

 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是

10



f

integral

 全局自适应积分法

（ R2012a 以后版本）

f=@(x) 1./(1+x.^2);

inum=integral(f,0,1)

inum=integral(f,0,1,'RelTol',1e- 10) f=@(x) exp(-x);

b ( )

a f x dx



integral2(f,a,b,c,d,tol)

integral2(f,a,b,c,d,'RelTol',tol)

 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是

10



f

integral2

 计算二重积分的全局自适应积分法

( , )

d b

c a

f x y dxdy

 

integral2

f=@(x,y) 4*x.*y+3*y.^2;

inum=integral2(f,-1,1,0,2)

例：^{计算二重积分}

注意积分变量与积分区间的对应关系

在前面的是第一^{积分变量，在后面的是}第二^积分变量

2 1 2

0 1

(4 3 )

I xy y dxdy

  



int

 符号积分

int(f,v,a,b) %

int(f,a,b) %

int(f,v) %

int(f) %

int

syms x;

f=1/(1+x^2);

b

( )

a

f v dv



( ) f v dv



1 0

1

I dx

 x

 

x=1:0.001:2;

y=exp(x.^(-2));

inum=trapz(x,y)

 梯形法：

 抛物线法：

f=@(x) exp(x.^(-2));

inum=quad(f, 1, 2, 1e-10)

 符号积分法：

syms x;

例：用 Matlab 函数近似计算定积分

数值实验

2 2

1 ^x

d

I   e

x

 数值积分法：

f=@(x,y) x+y.^2;

inum=integral2(f, 0, 2, -1, 1)

 符号积分法：

syms x y;

f=int(x+y^2,y,-1,1);

inum=int(f,x,0,2)

数值实验

例：用 Matlab 函数近似计算二重积分

2 1 2

0 1

( )

I dx x y dy

  

