第一讲数值积分及其应用

(1)

第一讲

数值积分及其应用

——

梯形法与抛物线法

——

圆周率计算

(2)

 数值积分及其应用

主要内容



基本概念



梯形法和抛物线法



自适应求积方法



二重积分



数值积分应用

(3)

数值积分



数值积分是计算数学的基础和核心，很多连续问题都需要通过数值积分才能转化为离散问题。



数值积分内容非常复杂，也非常丰富，特别是弱奇异积分，奇异积分，超奇异积分，或者被积函数是急剧震荡或急剧衰减的。



对于高维积分，由于维数效应，计算复杂度往往随维数指数增长，如何高效地计算高维积分，仍然是计算数学的一大难题。

(4)

 定积分的定义

定积分的近似

n

充分大， x 充分小

b ( )

a f x dx

 ^

ⁱ ^

^[ ^x

ⁱ^¹

^{, ]} ^x

ⁱ

x

0 

x

₁

x

₂

  x

_n_₁ 

x

ⁿ

x

1

 

x

₂

1

x

i_

 

x

i



   

^

^x

ⁿ

( )

_i _i

, f   x

1

i i i

x x x

_

   ^max

_i

x

i

x

  

0

lim



 nx

x

i

1 n i

 

1

( ) ( )

b n

i i

a i

f x dx f x



   



(5)

定积分几何意义

  ( ) f x

a x

_i_1

x

_i

b ^x y

o

 

a^b

^{( )}

S f x dx

S1 S₂ S_i S_n

   

_

1

( )

b n a i

i

S f x dx S

(6)

 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似

 整个曲边梯形的面积：

复合梯形法

S

i 1

2

i i

y y

S

^ 

x

 

( ), 1, 2, ,

i i

y



f x i

 

n

b

( )

S





a

f x dx

1

2

n i i

n

i i

S

y y

x







  



(7)

 如果我们 n 等分区间 [a, b] ，即令：

则

复合梯形公式

梯形法

 n=1

时，梯形公式：

b

( )

S





a

f x dx

¹ ¹

1 1

2

1

2

n n n

i i i i

i i

i i i

y y y y

S

^

x h

^

  

 









 



1 2 n

x x x

       ^h ^{b a}

n

 

0 1 1

( ) 2 2

b n

a n

y y

f x dx h      y   y

_

   

 ^

 

( ) ( ) ( )

b b a

f x dx   f a  f b



(8)

 n

等分区间 [a,b] ，得

用抛物线代替该直线，

计算精度是否会更好？



计算节点和中点上的函数值：

抛物线法



在区间 [x_i-1

, x

_i

]

上，用过以下三点

的抛物线来近似原函数 f (x) 。

,

_i

, 0,1, ,

h b a x ih i n

n

    

1/2

( ), 0,1, ,

( 0.5 ), 1, ,

i i

y f x i n

y

_

f x h i n

 

  



1

(

1

,

1

),

1/2

(

1/2

,

1/2

), ( , )

i i i i i i i i i

P

_

x

_

y

_

P

_

x

_

y

_

P x y

(9)

设过以上三点的抛物线方程为：

则在区间 [x_i-1

, x

_i

]

上，有

y =  x

² +

 x +  = p

_i

(x)

抛物线法

1 1

( ) ( )

i i

x x

x

f x dx

x

p x dx

i

 

  

1

(

2

)

i i

x

x x dx







    

3 3 2 2

1 1 1

( ) ( ) ( )

3 x

ⁱ

x

ⁱ_

2 x

ⁱ

x

ⁱ_

x

ⁱ

x

ⁱ_

 

      

1

3 2

i

x

x x

x



 

   

1

( 4 )

i i

x x

y y y



   b a ( 4 )

y y y

   

2 2

1

1 1

( ) ( )

6

i i

i i i i

x x

x x x x

  

 

            

2

1 1

( x

_i

x

_i_

) 2 ( x

_i

x

_i_

) 4 

       

(10)



相加后可得：

复合抛物线（辛普生， Simpson ）公式

抛物线法

 n=1

时，抛物线公式：

0 1/2 3/2 1/2

1 2 1

( ) [ 4( )

6 2( )]

b

n n

a

n

f x dx b a y y y y y

n

y y y



      

   



^



1 1

1 1/2

1

( ) ( )

( 4 )

6

i

b n x

a x

i n

i i i

i

f x dx f x dx

b a y y y

n

 

 



   

  



( ) ( ) 4 ( ) ( )

6 2

b a

b a a b

f x dx    f a  f   f b 



(11)

误差分析

定理：设 I 是定积分精确值， T_n 是由复合梯形法计算出来 的近似值，若 f(x)C²

[a, b]

，则存在  (a, b) ，使得

定理：设 I 是定积分精确值， S_n 是由复合抛物线法计算出 来的近似值，若 f(x)C⁴

[a, b]

，则存在  (a, b) ，使得

( )

2

"( )

n

12 b a h

I T

   

f



4

( )

(4)

180 2 ( )

n

b a h

I S

       

f



h b a n

 

h b a n

 

(12)

问题：如何计算圆周率



的值？

应用举例

 在 Matlab 中可以显示任意精度的  的值

vpa(pi,20) %

显示 20 位有效数字

Pi=3.

1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094 3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912 9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132 0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235 4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859 5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303 5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989 3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151 ... ... ... ...

(13)



的计算：刘徽割圆

 从正六边形开始，逐步求边长与面积

 刘徽割圆法

 设 62ⁿ 的正多边形的边长为 a_n 通过递推计算可得（单位圆）

 三角形  OAC 的面积为：

计算到正 96 边形

（公元 263 年）

2 2 2

1

1 1

2 2

n n

n

a a

a

_          

2 2 2 2

( )

2

AC  AD  DC  AD  OC OD 

1

1 2 4

n n

S

_ 

OC AD

 

a 6 2

ⁿ^1

S 3 2

ⁿ

a

     

(14)



的计算：幂级数展开

 幂级数展开

两边积分

令

x = 1

n

很大时精度仍不高

 

¹

2 4 2 2

2

1 1 1

1

n n

x x x

x

 

      

  

3

 

2 1

arctan 1

1

3 2 1

n n

x x

n

 

     

  

 

¹

1 1

4 3 2 1

n

       

  

(15)

和的展开式的收敛速度都比快得多



的计算：快速公式

 快速计算公式

Machin

公式， 1706

1 1

arctan arctan

4 2 3

  

1 1

4arctan arctan

4 5 239

  

1 1

12arctan 32arctan

4 49 57

1 1

5arctan 12arctan

239 110443

  

 

2 arctan1

1 arctan

3 arctan 1

(16)



的计算：积分法

 积分法

 复合梯形法

 复合抛物线法

1 0 2

1 d

4 1 x

x

 





 

¹

1 0 0

1

( ) 1 ( ) ( ) ( )

2

n

n i

i

f x dx h f x f x h

^

f x



  





1

0 1/2 3/2 1/2

0

1 2 1

( ) 1 [ 4( )

6 2( )]

n n

n

f x dx y y y y y

n

y y y



     

   



^



(17)



的计算：其他方法



Monte Carlo

法：

^Buffon

^投针实验



Ramanujan

（拉马努金）公式：

（每项大约可增加 8 位有效数字，需使用 FFT ）



Chudnovsky

公式：

（每项大约可增加 14 位有效数字，需使用 FFT ）

4 4

0

1 2 2 (4 )!(1103 26390 ) 9801

_n

( !) 396

ⁿ

n n

n





 





3 3

0

1 1 (6 )!(13591409 545140134 )

(3 )!( !) ( 640320)

426880 10005

n ⁿ

n n





 







(18)



的计算：其他方法

 算术几何平均值 (Arithmetic-Geometric Mean,

AGM)

（需使用 FFT ，每迭代一次有效位数乘 2 ）

0 0

1, 1 ,

a



b



2

₁

,

₁

2

n n

n n n n

a b

a

_  

b

_ 

a b

lim

_n

lim

_n

n n

M a b

 

 

2 2

0

2

1 2 ( )

2

n

n n

n

a b M





 

 



第一讲 数值积分及其应用

——

——

















n

b ( )

a f x dx

 

[ x

, ] x

x

x

x

  x

x

x

x

x

 

x

   

x

( )

, f   x

x x x

   max

x

x

  

lim

x

 

( ) ( )

f x dx f x

   



  ( ) f x

a x

x

b x y

o

 

( )

S f x dx

   

( )

S f x dx S

S

2

y y

S

x

( ), 1, 2, ,

y

f x i

n

( )

S



f x dx

2

S

y y

x





 n=1

( )

S



f x dx

2

2

第一讲数值积分及其应用

 ^

^[ ^x

^{, ]} ^x

^x

   ^max

b ^x y

^{( )}

       ^h ^{b a}

 ^