國立楊梅高級中學 103 學年度第一學期第二次期中考

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國立楊梅高級中學 103 學年度第一學期第二次期中考

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考試科目數學使用班級 201~211

命題教師賴申洲考試範圍 1-5~2-3

備註說明

1. 不可使用計算機得

分

試題卷一、單選題(共 4 題，每題 5 分)

（）1.已知直線 L：2x + 3y − 4 = 0﹐則下列何者正確﹖

(1)斜率為²

3 (2)y 截距為 3 (3)x 截距為 2 (4)直線 L 與直線 M: 3x + 2y + 4 = 0 互相垂直﹒

（）2. 在坐標平面上﹐圖中之鋪色區域所代表的不等式組為 (1)

2 10 0 2 0 0

x y

x y y

+ − ≤

 − + ≥

 ≥



(2)

2 10 0 2 0 0

x y

x y y

+ − ≤

 − + ≤

 ≥



(3)

2 10 0 2 0 0

x y

x y x

+ − ≤

 − + ≥

 ≥



(4)

2 10 0 2 0 0

x y

x y x

+ − ≤

 − + ≤

 ≥



﹒

（）3.試判斷下列聯立方程組解

6 3 2 4 2 3 x y

x y

 − =



 − =



的幾何意義？

(1)平行 (2)重合 (3)交於一點(4) 交於兩點

（）4.己知直線L: 2x+ − =y 5 0與圓C x: ²+y² =5的幾何關係為 (1)相割 (2)相切 (3)不相交 (4)平行。

二、填充題(共 13 格，每格 5 分)

1、利用所附三角函數值表﹐求下列各值﹕

(1)tan30°30' = ____________﹒(2) 利用內插法﹐求 tan30°34' = ____________﹒

角度 sin cos tan

30°00' .5000 .8660 .5774

30°10' .5025 .8646 .5812

30°20' .5050 .8631 .5851

30°30' .5075 .8616 .5890

30°40' .5100 .8601 .5930

30°50' .5125 .8587 .5969

31°00' .5150 .8572 .6009

31°10' .5175 .8557 .6048

31°20' .5200 .8542 .6088

31°30' .5225 .8526 .6128

31°40' .5250 .8511 .6168

31°50' .5275 .8496 .6208

(2)

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備註說明

分

2、楊梅高中的肉圓同學想要測量新大樓(日新樓)的高度，利用在數學課所學，先在某地測得大樓頂仰角為 30°﹐

他再向大樓前進 30 公尺後﹐測得樓頂之仰角為 60°﹐求大樓的高度為_____________﹒

3、梅高的高個兒同學想要測量 A 與 B 兩點的距離，但因 A 與 B 之間有一個埤塘無法直接測量，因此另外取一點 C 並得到AC=2 公里，∠CAB=75°，∠CBA=60°，試求AB距離___________。

4、已知圓 C 的方程式為 x² + y² + 4x − 6y − 3= 0﹐若圓心座標為(h,k)，半徑為 r，求 h+k+r=_____。

5、求點 P(2 , 3)在直線 L：x − 5y − 13 = 0 的垂足點坐標為____________﹒

6、求滿足下列各小題中的直線方程式並以一般式作答，即形如ax by+ + =c 0，其中a、b、c為整數且a、b、c

三數互質，例如：2x−3y+ =5 0(正確)，2x−3y= −5 (錯誤)，4x−6y+10=0(錯誤)， ³ 5 0

x−2y+ = (錯誤) (1) 設直線 L 通過兩點 A (3 , − 1)﹐B (6 , 3)﹐則 L 之方程式為____________﹒

(2) x截距為 5，^y截距為− 3 的直線方程式為____________﹒

(3) 求過點(2 , -1)且與直線 2x + y + 3 = 0 垂直的直線方程式為____________﹒

(4) 求通過點 P(−4 , −1)與圓(x + 1)² + (y − 3)² = 25 相切的直線方程式為____________﹒

(5) 求通過原點 O (0 , 0)且與圓 C﹕x² + y² − 10x + 9 = 0 相切之直線方程式為_______﹒.

7、己知兩點 A(1, −2),B(−2,1)及直線L y: =mx+3,若線段 AB 與直線 L 有交點，則m值的範圍為何__________。

8、設圓方程式為(x+1)²+y² =1，求 ² 0 y x

−

− 的最小值為_______

三、計算題(共 15 分)

1、設某木材工廠有甲、乙兩種不同大小的木材截成 A, B 兩種規格，甲每片成本 400 元，乙每片成本 300 元，甲每片可分割成 A 規格 15 單位，B 規格 10 單位；乙每片可分割成 A 規格 10 單位，B 規格 20 單位，若有一訂單至少需要 A 規格 70 單位，B 規格 60 單位，在成本最少的原則下，設甲需要 x 片, 乙需要 y 片才可以完成訂單。

(1) 試列出不等式方程組(5 分) (2) 試寫出目標函數(2 分) (3) 繪出可行解圖形(4 分)

(4) 試寫出 x, y 為何？及所需最少成本為多少(4 分)

(3)

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備註說明

分

一、單選題(4 題，每題 5 分，共 20 分)

1 2 3 4 3 4 2 2

二、填充題(13 格，每格 5 分，共 65 分)

1(1) 1(2) 2 3 4

0.5890 0.5906 15 3 2 6

3 5

5 6(1) 6(2) 6(3) 6(4)

(3, −2) ⁴^x⁻³^y⁻¹⁵⁼⁰ ³^x⁻⁵^y⁻¹⁵⁼⁰ ^x⁻²^y^{− =}⁴ ⁰ ³^x⁺⁴^y⁺¹⁶⁼⁰ 6(5) 7 8

4 3 0 4 3 0

x y x y

+ =

− = m≥1或m≤ −5 3

4

三、計算題(共 15 分)

1、設某木材工廠有甲、乙兩種不同大小的木材截成 A, B 兩種規格，甲每片成本 400 元，乙每片成本 300 元，甲每片可分割成 A 規格 15 單位，B 規格 10 單位；乙每片可分割成 A 規格 10 單位，B 規格 20 單位，

若有一訂單至少需要 A 規格 70 單位，B 規格 60 單位，在成本最少的原則下，設甲需要 x 片, 乙需要 y 片才可以完成訂單。

(1)試列出不等式方程組(5 分) (2)試寫出目標函數(2 分) (3)繪出可行解圖形(4 分)

(4)試寫出 x, y 為何？及所需最少成本為多少(4 分)

【答：】

售價 A 營養 B 營養需要甲 40 元 15 10 x 乙 30 元 10 20 y

限制 70 60

(1) 不等式方程組

15 10 70 10 20 60

0 0 ,

x y

x y x y

+ ≥

 + ≥

 ≥

 ≥

 為整數

(一條方程式組 1 分)

(2) 目標函數 ( , )f x y =400x+300y(最小值)(2 分) (3) 如右：(可行解區 2 分，直條每條各 1 分)

(4) 最佳解答討論：(三個頂點各 1 分，最小值正確 1 分)

(x,y) (0,7) (6,0) (4,1)

f(x,y) 2100 2400 1900

(最小值)