中華民國第 61 屆中小學科學展覽會 作品說明書

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排版\030423-封面

國中組 數學科

團隊合作獎

030423-封面

二刀流十傑 — 從 S=A+B+C=定值的推推樂遊 戲談起

學校名稱：基隆市立中正國民中學

作者： 指導老師：

國二 劉 沁 國二 王文衍 國二 張嘉心

張淑敏 林耀南

關鍵詞：倒數第二刀、推推樂、傑數

1

摘要

〝十傑〞指的是10個違反本文〝基本定理〞但仍能保持相似的△。二刀流指的是這十傑 都產生在倒數第二條分角線上，在A, B, C三隊的〝推推樂〞團體遊戲活動過程中，本文發現 從對應的輾轉相除法中可取得有用的P值、Q值、R值，用於推導演算規則預判遊戲結果。而 在S = 180時，使用分角線幾何作圖，可用來重新發現△中的Bevan Point，又利用前述建立 的演算規則可推導倒數第二刀交叉形成的△的三內角及其順逆時針偏向屬性，進而在整數內 角角度中找到10個特殊的相似△(本文稱之為十傑)，這10個特殊的△的三內角有一定的特殊 相關比例，利用這套比例關係式及S值的標準分解式可在任意S值遊戲中找到對應的〝傑 數〞，非常有趣。

壹、研究動機

七年級有十班，學校舉辦數學科闖關遊戲，遊戲主題為推推樂分組活動，規則如下:

步驟一、將該班班級人數(統一 30 人)任意分成三組(甲、乙、丙)，如圖(1)。

步驟二、在圖(1)中，令S = 甲 + 乙 + 丙 = 6 + 3 + 21 = 30先以甲當關主，將另外兩組(乙、丙) 中，由人數少的前往到人數多的組， 每人各去抓一人到關主處(甲)，接著自己返回 原出發處。再比較一次(乙、丙)兩組人數，重複上述推動程序，如此連續操作直到 (乙、丙)人數相同為止。

步驟三、恢復原狀排列後，改以乙當關主，重複步驟二。

步驟四、恢復原狀排列後，最後以丙當關主，一樣重複步驟二，完成圖如圖(2)。

步驟五、勝負判定，每一班三關都要跑完，最早能確認某種組合的班級獲勝

觀察這個遊戲，一開始的S = 6 + 3 + 21 = 30的組合是裁判老師給的，我們發現在第一 關的流程中，出現一個和一開始給的組合三數字一模一樣的三數，這是湊巧嗎？還是某 些組合才會出現？又題目中的數字若以由大到小的排列方向來看，在金黃色圖案中的三 個數字的排列方向有順時針也有逆時針，這有何意義？在S = 30的所有三數組合中，是 否存在順逆時針方向相同的組合？又共有多少個？以圖(2)這例子來說其中一定還隱藏著 很多秘密。

圖(1) 甲

乙 丙

6 3 21

6

9

-3 +3

圖(2)

6

9 15

停

停

停

6

21 3

3

3 24

15 3 12

18

3 9

12 3 15 9

3 18

24

3 3

21

3 6

6

15 9

3

24 3

6 3 21 第一關

第二關

第三關 6

3 21

6

3 21

2

甲

乙 丙

19

30

41

49

52

55

57

58

貳、研究目的

一、觀察推推樂遊戲中，三關遊戲流程內容的相關性

二、探討S = 180的推推樂代數性質和分角線作圖的幾何性質 三、探討S = 180的倒數第二刀的代數演算法及〝傑數〞尋找法 四、推廣S = A + B + C =任意定值時，傑數的公式推導及傑數的尋找

參、使用設備及器材

電腦、GeoGebra繪圖軟體、紙筆、直尺圓規

肆、研究過程與方法

一、名詞解釋 1. 推推樂遊戲

假設有一空間，共有 60 人在進行一場推推樂遊戲，空間共有三個角落，並分成甲、

乙、丙區，如圖(3-1)，我們將 60 人分成三組，按照:乙人數<甲人數<丙人數的組合分別 站在各三個角落，以(19-11-30)人為例，如圖 (3-2)。遊戲進行第一局，由甲區當關主，

不參與競爭，乙、丙兩地比人數多寡，人數較少的一方要將另一方等同於自身的人數推 向關主處，並自身返回到原位，以此循環，如圖(3-3)。

遊戲持續進行，直到兩方人數相同時，第一局結束，如圖(3-4)，第二局開始，換乙區作 為關主，結束後，第三局換丙區當關主，三局進行完後，遊戲正式結束。

2. 推推樂順逆時針方向定義

逆時針:如圖(4-1)，數字由大到小順時針排列 順時針:如圖(4-2)，數字由大到小逆時針排列

3. 以輾轉相除法表示a, b兩數的P、Q、R值 P(a, b): a, b兩數的最大公因數

Q(a, b): a, b兩數在輾轉相除法中左右的商數總和 R(a, b): a, b兩數在輾轉相除中，除數的轉換次數 例如:a = 173, b = 494

P(173,494) = 1, Q(173,494) = 22, R(173,494) = 5

a b

1 173 494 2

148 346

1 25 148 5

23 125

2 2 23 11

2 22

0 1

圖(4-1)順時針 圖(4-2)逆時針 圖(3-1) 圖(3-2) 圖(3-3)

圖(3-4)

3

1 80 60 3

60 60

20 0

P = 20 , Q = 4 , R = 1 圖(5-2)

2 80 40

80 0

P = 40 , Q = 2 , R = 0 圖(5-3)

4. 在S = 180的P、Q、R值幾何定義

(1) 從A點作分角線，用幾刀可以把△ ABC分割成最少且成對的全等△？又有幾對？如圖(5-1)

P = 20表示最後的等腰△的底角為20°

Q = 3表示共切3刀

R = 1表示第一條分角線斜率正數轉換成第二條分角線時，斜率為負，而第三條分角線 垂直𝐵𝐶̅̅̅̅，停止，故正負轉換一次，即R = 1

(2) 從B點作分角線，用幾刀可以把△ ABC分割成最少且成對的全等△？又有幾對？如圖(5-2)

(3) 從C點作分角線，用幾刀可以把△ ABC分割成最少且成對的全等△？又有幾對？如圖(5-3)

5. P、Q、R值在不同情況中的定義

6. 傑數△– 指推推樂遊戲中，各關主的倒數第二組數都相同且又和起始的那一組相同，則 該組數即為一組傑數△，例如:圖(2)

7. N(S)–在A + B + C = S的推推樂遊戲中，滿足〝傑數△〞規則的數量 例如N(30) = 3，N(180) = 10(十傑)

推推樂遊戲 輾轉相除法 分角線幾何作圖

P 最後人數相同時的值 最大公因數 等腰△底角角度 Q 遊戲運算步驟次數 左右商數總和 分角線條數(刀數) R 兩數大小轉換次數 除數轉換次數 分角線偏角方向轉換次數

2 40 60 1

40 40

0 20

P = 20 , Q = 3 , R = 1 圖(5-1)

4

二、研究架構

伍、研究結果

一、推推樂遊戲舉例觀察 (一) S = 60

發現: 1. ∵ P(15,18) = 3, P(15,27) = 3, P(18,27) = 9，∴原三數不同P，各關最後一組不同 2. 各關流程的倒數第二組數都不相同

3. 整個流程中，都沒有出現一組和原給定的那組一模一樣的三個數。

(二) S = 180

發現: 1. ∵ P(65,37) = 1, P(37,78) = 1, P(78,65) = 13，∴原三數不同P，第二關最後一

18

33 9

停

停

停

3

15 42

48

3 9

51

3 6

45 3 12 33

15 12

54

3 3

9

42 9

18 15 27 第一關

第二關

第三關

18

15 27

18

15 27

3

12 45

3

6 51

3

15 42 3

9 48

65 37 78

102 37 41

139 37 4

143 33 4

147 29 4

151 25 4

155 21 4

159 17 4

163 13 4

167

9 4

171

5 4

175

1 4

176

1 3

177

1 2

178

1 1

第一關

65 37 78

第二關 ⁶⁵

102 13

52 115 13

39 128 13

26 141 13

13 154 13 65

37 78

第三關 ²⁸

37 115

28 9 143

19 9 152

10 9 161

1 9 170

1 8 171

1 7 172

1 6 173

1 5 174 1

4 175 1 3 176

1 2 177

1 1 178

停

停

停

5

組和另兩關不同

2. 第二關的倒數第二組和另外兩關的倒數第二組不同

3. 整個流程中，都沒有出現一組和原給定的那組一模一樣的三個數。

(三) S = 60

發現: 1. ∵ P(12,33) = 3, P(15,33) = 3, P(12,15) = 3，∴原三數同P，各關最後一組相同 2. 整個流程中，都沒有出現一組和原給定的那組一模一樣的三個數

3. 倒數第二組數三者都具有相同的三個數 4. 倒數第二組數三者都是同順排列

(四) S = 180

發現: 1. ∵ P(60,28) = 4, P(28,92) = 4, P(60,92) = 4，∴原三數同P，各關最後一組相同 2. 整個流程中，都沒有出現一組和原給定的那組一模一樣的三個數

3. 倒數第二組數三者都具有相同的三個數 4. 倒數第二組數三者都是同順排列

(五) S = 60

發現: 1. ∵ P(12,27) = 3, P(21,27) = 3, P(12,21) = 3，∴原三數同P 2. 整個流程中，沒有出現一組和原給定的那組一模一樣的三個數

3. 倒數第二組數三者都相同

15 停 12 33

第一關 27

12 21

39 12 9

48 3 9

51 3 6

54

3 3 15

12 33

第二關 15

27 18

15 42 3

12 45 3

6 51 3 9

48 3

3 停 54 3 15

12 33 第三關

3 12 45

3 9 48

3 6 51

3 9 48

停

停 60

28 92

第一關 88

28 64

116 28 36

144 28 8

152 20 8

160 12 8

60 28 92

第二關 60

88 32

28 120 32

28 148 4

20 156 4 24

152 4

16 停 160 4

60 28 92

第三關 32

28 120

4 28 148

4 24 152

4

20 156 停

168

4 8

172

4 4

12 164 4

8 168 4

4 172 4

4 16 160

4 12 164

4 8 168

4 4 172

21 停 12 27 第一關

33 12 15

45 12 3

48 9 3

51 6 3

54

3 3 21

12 27 第二關

21 33 6

15 39 6

9 45 6

3 54 3 3

51 6

停

21 12 27 第三關

9 12 39

9 3 48

6 3 51

3 3 54

停

6

4. 倒數第二組數三者都是同逆排列 (六) S = 180

發現: 1. ∵ P(18,60) = 6, P(60,102) = 6, P(18,102) = 6，∴原三數同P 2. 整個流程中，各在倒數第二組數處出現相同的三數

3. 倒數第二組數三者都相同

4. 倒數第二組數三者都是同逆排列 (七) S = 180

發現: 1. ∵ P(15,30) = 15, P(15,135) = 15, P(30,135) = 15，∴原三數同P 2. 整個流程中，各出現一個和原給定的那組一模一樣的三個數，

3. 倒數第二組數三者都相同

4. 倒數第二組數三者形成順順逆排列 總結:

猜想: 1. 推推樂遊戲走到停止前的最後一組數，恆含有兩數相等，這有特別的意義嗎？

2. 倒數第二組數有時三關都相同，有時甚至和原始一開始給定的那組數相同 這些特性似乎含有特別的意義，我們是否可用S = 180的△幾何圖形去觀察呢？

二、𝐒 = 𝟏𝟖𝟎的幾何探索

在上述推推樂遊戲 S = A + B + C =定值的使用範圍中，明顯的此S值要大於3以上，一 般都取整數值，又由上面例子的發現中可看出有很多奇妙的性質躲藏其中，我們想要發 掘出來，那到底要用甚麼方法去發掘他們呢？經過長時間的討論後，我們想到當S =

18 停 60 102

第一關 78

60 42

120 18 42

138 18 24

156 18 6

162 12 6

18 60 102 第二關

18 78 84

18 96 66

18 114 48

18 150 12 18

132 30

6 停 162 12

18 60 102

第三關 18

42 120

18 24 138

18 6 156

12 6 162

停 168

6 6

6 168 6

6 6 168

30 停 15 135

第一關 45

15 120

60 15 105

75 15 90

90 15 75

105 15 60

30 15 135

第二關 30

45 105

30 75 75

30 105 45

15 150 15 30

135 15

停

30 15 135

第三關 15

15 150 停

120 15 45

135 15 30

150 15 15

定值S S=60 S=180 S=60 S=180 S=60 S=180 S=180 三數組合 (18,15,27) (65,37,78) (15,12,33) (60,28,92) (21,12,27) (18,60,102) (30,15,135)

P值是否相同 ╳ ╳ Ⅴ Ⅴ Ⅴ Ⅴ Ⅴ

每個倒數第二個△

的三數是否相同 承上，又與原三數

是否相同

Ⅴ(同逆) Ⅴ(順順逆)

╳ ╳ Ⅴ(同順) Ⅴ(同順) Ⅴ(同逆)

╳ ╳ ╳ Ⅴ

╳ ╳ ╳

7

180時，不是剛好代表△的內角和嗎？也許利用整數的三內角的操作可以充分表達A, B, C 三隊，又利用分角線操作恰好可以表達任兩內角角度的求最大公因數的輾轉相除法。我 們迫不及待的想要去探索！

(一) 以三內角為50°、60°、70°的△ 為例，分別連續求作三內角的分角線，並觀察最後一條 分角線和所對應的等腰△

說明

1. 圖(6-1)、(6-2)、(6-3)中的直線𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃、𝐿₄...代表從該圖中的某一內角 (例如∠A)開始以分角線連續作圖所得的直線群。

2. △ DEF、△ GHI、△ JKL為各自依分角線連續作圖最後所得的等腰△，如上圖，

而該等腰△上的頂角分角線都被稱為最後一刀。

3. 當得到上述三個等腰△之後，我們可用來觀察這三條最後一刀和前文推推樂遊 戲中的各關主走到的最後那組數有何特別意義。

(二)S = 180的最後一刀的探討

已知 △ ABC中，AB̅̅̅̅ > AC̅̅̅̅，AX⃗⃗⃗⃗⃗ 平分∠BAC，並交BC̅̅̅̅於 D，再以AX⃗⃗⃗⃗⃗ 為對稱軸將△ ACD摺至 △ AED上，其中E在AB̅̅̅̅，如圖(7-1)，接著做∠BED的分角線EY⃗⃗⃗⃗ ，交AX⃗⃗⃗⃗⃗ 於P。

求證 P點為△ ABC的一個旁心

圖(7-2) 圖(7-3)

圖(7-1) 圖(7-4)

P(∠B, ∠C) = 10 Q(∠B, ∠C) = 5 R(∠B, ∠C) = 2

圖(6-1)

P(∠C, ∠A) = 10 Q(∠C, ∠A) = 7 R(∠C, ∠A) = 1

∠C ∠A

1 70 60 6

60 60

10 0

圖(6-2)

P(∠A, ∠B) = 10 Q(∠A, ∠B) = 6

R(∠A, ∠B) = 1 圖(6-3)

8

證明

(1) 承圖(7-1)，延長ED⃗⃗⃗⃗⃗ , AB⃗⃗⃗⃗⃗ , AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，成圖(7-2) (5) ∵ P點為△ EBD的旁心 (2) ∵△ ACD ≅△ AED(摺疊) ∴ P點到EB⃡⃗⃗⃗ , ED⃡⃗⃗⃗⃗ , BD⃡⃗⃗⃗⃗ 等距離 ∴ ∠1 = ∠2 (旁心性質)—①

(3) 又∠1 = ∠3, ∠2 = ∠4 而EB⃡⃗⃗⃗ = AB⃡⃗⃗⃗⃗ 又BD⃡⃗⃗⃗⃗ = BC⃡⃗⃗⃗

∴ ∠3 = ∠4 (6) 又 P 在∠A的分角線上

∴ DP⃡⃗⃗⃗⃗ 為△ EBD中∠D的外角平分線 ∴ P到AB⃡⃗⃗⃗⃗ , AC⃡⃗⃗⃗ 等距離—② (4) 又EP̅̅̅̅為△ EBD中∠E的內角平分線 (7) 由①、②知 P 到AB⃡⃗⃗⃗⃗ , AC⃡⃗⃗⃗ 等距離

∴ P點為△ EBD的旁心 因此可推得 P 為△ ABC的一個旁心

證明

如圖(6-1)，不失一般性以整數內角50°, 60°, 70°的△為例，從∠A開始作分角線𝐿₁，再 以𝐿₁為對稱軸作線對稱△，所剩餘的△的兩底角各為50°, 20°，這20°就是∠C = 70°, ∠B = 50°做輾轉相除法的第一層餘數20°，而20°和∠B = 50°比大小後作第二、

三次分角線𝐿₂、𝐿₃，對應輾轉相除法50° − 20° × 2 = 10°，剩餘的△兩底角為20°和 10°，同法再做分角線𝐿₄，得最後的△兩底角為10°, 10°為一個等腰△。因為這種分 角線作圖和該兩內角的輾轉相除法是完全對應，所以由輾轉相除法，最後必整除知 在幾何上意為最後一刀必使兩△疊合，那表示倒數第二刀完成後，圖形上必剩餘一 個等腰△，其餘兩邊也是。

性質一、如圖(7-1)，若 AB̅̅̅̅ > AC̅̅̅̅，∠A和∠BED的內角分角線交於P，則△ ABC和△ EBD共用旁心P。

性質二、如圖(7-3)，承圖(7-2)，當下又若EB̅̅̅̅ > ED̅̅̅̅，則△ ABC、△ EBD、△ FBG共用旁心P。

性質三、如圖(7-4)，承圖(7-2)，當下又若EB̅̅̅̅ < ED̅̅̅̅，則△ ABC、△ EBD、△ FGD共用旁心P。

性質四、在整數的三內角上，分別操作分角線再作此線的線對稱△，若剩餘的△兩腰未等 長，就重複操作此剩餘△的頂角分角線，直到最後，則必可在三邊上各自得出一個 等腰△。

性質五、在同一△中，依前文的分角線作圖法找到的 3 個等腰△的底邊中垂線

(即各邊上的最後一刀) 必交於一點，此點即為 Bevan Point，如圖(7-5)、(7-6)。

討論: 這性質一到性質五的作用暗示對其他S ≠ 180的最後一刀，以推推樂觀點來看是一 盞明燈，它有助於去找到各自的類Bevan Point，這也是本文未來展望的一部份。

圖(7-5) 圖(7-6)

9

圖(8-1)

∠B = ∠C = 60°

Q(∠B, ∠C) = 1

圖(8-2)

∠B = ∠C = 70°

Q(∠B, ∠C) = 1

∠B = 60°, ∠C = 80°

P(∠B, ∠C) = 20°, Q(∠B, ∠C) = 4 圖(8-3)

三、𝐒 = 𝟏𝟖𝟎的倒數第二刀的幾何和代數的相關性探討

由上圖(7-5)、圖(7-6)，觀察知三邊上的小等腰△底邊上的中垂線是最後一刀且交於一 點，很神奇，但我們更感興趣的是他們各自的倒數第二刀是否也會相交於一點，或是會 交叉形成另一△且此△會和原△相似嗎？這和S = 180的推推樂遊戲有關嗎？我們是否能 夠不經尺規作圖而能預判？

(一) 刀數(Q 值)的再說明

在這種分角線連續作圖中，如圖(8-1)、(8-2)、(8-3)，Q值代表的是分角線作圖的條數，

例如圖(8-1)中，Q(∠B, ∠C) = 1，這一條為𝐴𝐴̅̅̅̅̅，圖(8-2)中，Q(∠B, ∠C) = 1，這一條為₁ 𝐴𝐴₁

̅̅̅̅̅，圖(8-3)中，Q(∠B, ∠C) = 4，那四條按照操作次序分別為𝐴𝐴̅̅̅̅̅、𝑃₁ ̅̅̅̅̅̅、𝑃₁𝐴₂ ̅̅̅̅̅̅、₂𝐴₃ 𝑃₃𝐴₄

̅̅̅̅̅̅，其中，𝑃̅̅̅̅̅̅ ⊥ 𝐵𝐶₃𝐴₄ ̅̅̅̅視為最後一刀，𝑃̅̅̅̅̅̅視為倒數第二刀，𝑃₂𝐴₃ ̅̅̅̅̅̅視為倒數第三刀，₁𝐴₂ 餘此類推。又圖(8-1)及圖(8-2)中，從∠A只能做出一條分角線，此線即為最後一刀，因此 正△和等腰△沒有倒數第二刀。

1.正△ 2.等腰△ 3.三內角不相等的作圖

(二) 探討三邊上各自的倒數第二刀交叉形成的△可能會與原△ABC 相似嗎？

首先看圖(9-1)至圖(9-2):

1. 切∠A 得倒數第二刀為𝐿₁(紅色那條)，如圖(9-1) 2. 切∠B 得倒數第二刀為𝐿₂(紅色那條)，如圖(9-1) 3. 切∠C 得倒數第二刀為𝐿₃(紅色那條)，如圖(9-1)

合併三條倒數第二刀形成△ 𝐴′𝐵′𝐶′，發現和△ ABC不相似，如圖(9-1)

在圖(9-2)中，△ ABC為60° − 50° − 70°的△，倒數第二刀△ A′B′C′和原△ ABC相似。

我們發現倒數第二刀△和原△有時相似，有時不相似，為甚麼會這樣呢？

圖(9-1) 圖(9-2) _50°

70°

10

(三) 接下來，我們的研究目標是希望能找出一套規則可以事先判斷任何△的倒數第二刀△是 否能和原△相似。首先要說明下文中的基本定理

已知 設△ DEF為△ ABC的任意垂足△，垂足點各為 D，E，F，分別過 D，E，F 作x°的順 時針偏角，令三條偏角線兩兩相交於 A’，B’，C’，如圖(9-3)

求證 △A’B’C’ ~ △ ABC

證明 (1) 在△ AEF和△ FC’K 中，

∵ ∠A + ∠1 = ∠C’+∠2 又∠1 = ∠2 = 90° − x°

∴ ∠A = ∠C’

(2) 同理可證∠B = ∠A’，∠C = ∠B’

故△ ABC ~ △ C’A’B’及同順偏角x°，必和原△相似 (3) 同理，同逆偏角y°, 必和原△相似

順時針偏角和逆時針偏角討論與定義

分角線連續作圖法操作到最後會出現一等腰△，如圖(8-3)的△ 𝑃₃𝐴₁𝐴₃，該等腰△的底角 角度是為P值(20°)，而倒數第二刀，如圖(8-3)的𝑃⃡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和最後一刀𝑃₂𝐴₃ ⃡⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的順時針偏轉角₃𝐴₄ 度(簡稱偏角)為¹

2𝑃°，(後文有證明)，現在將順時針偏角和逆時針偏角的判斷簡圖圖示在 圖(9-4)、圖(9-5)。

證明 如圖(9-6)等腰△ DBG的底角為∠1，AG⃡⃗⃗⃗ 為倒數第二刀，偏角為∠4。

令∠1 = m°，則∠3 =^{(180°−m°)}

2 = 90° −¹

2m°

∴偏角∠4 = 90° − ∠3 = 90° − (90° −¹

2m°) =¹

2m°

即偏角=等腰△底角的一半，得證 基本定理

若𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃分別為BC̅̅̅̅、AC̅̅̅̅、AB̅̅̅̅的垂線，垂足點依次為D、E、F。經過D、E、F 三點分別有三直線𝑀₁、𝑀₂、𝑀₃，依相同的順時針或逆時針旋轉 x°，如圖(9-3)順 時針，則𝑀₁、𝑀₂、𝑀₃三直線交叉而成的△ A′B′C′，必和原△ ABC相似。

性質七、△ ABC中，若P(∠B, ∠C) = m°，則對應的倒數第二刀的偏角角度為¹

2m°。(註:偏角

∠𝟒指的是倒數第二刀和𝐵𝐶

逆時針偏向圖(9-5) 順時針偏向圖(9-4)

圖(9-3)

圖(9-6)

11

討論:

1. 當要使用基本定理判斷倒數第二刀△和原△是否相似時，要按下列步驟

步驟一、先觀察每一雙內角的最後等腰△的底角是否會相同? 即各自的P值是否相同？

相同才有機會相似，否則必不相似。

步驟二、再觀察各邊上的倒數第二刀與各自對應垂線的偏向，是否同時為順時針如圖 (9-4)或同時為逆時針如圖(9-5)？相同才有機會相似(不全相同時，除非在順順逆 搭配下才會相似，非常稀少，後文會探討)

2. 有沒有P值相同而三邊上的倒數第二刀偏角方向不同但仍可相似的△？

答案是有的，但是非常稀少，這是特例。

例如 以60°– 30°– 90° △ ABC為例，如圖(9-7) P(∠B, ∠C) = 30°, R(∠B, ∠C) = 0(順) P(∠A, ∠C) = 30°, R(∠A, ∠C) = 1(順) P(∠A, ∠B) = 30°, R(∠A, ∠B) = 0(逆) 𝐵𝐶̅̅̅̅邊上的等腰△為△ DBE

𝐴𝐶̅̅̅̅邊上的等腰△為△ FGH 𝐴𝐵̅̅̅̅邊上的等腰△為△ EIB 倒數第二刀依序為𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃ 這三刀交叉而成的△為△ A′B′C′

明顯的和原△ ABC相似，但是，依序觀察這三刀的偏角方向，

𝐿₁的偏角方向為順時針、𝐿₂的偏角方向為順時針、𝐿₃的偏角方向為逆時針 它們非同順或同逆，明顯的和基本定理條件不同，但仍會相似，順逆和R的對應 關係是如何？又這種△到底有多少個呢？這就是我們接下來要探討的方向。

(四) 經過大量作圖後(見附件一)，我們有下列十項發現

發現一、如圖(9-1)，△ ABC三內角依序為40° − 30° − 110°，兩兩內角的P值皆為10°，

即各邊上的等腰△底角皆為10°，在各等腰△底角旁的倒數第二刀𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃ 交叉而成的△ A′B′C′三內角依序為50° − 30° − 100°，明顯的，兩者不相似。

說明 原三內角按(中、小、大)排列，依據倒數第二刀偏角方向定義知，𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃ 的偏角方向依序為順、逆、順，非全順亦非全逆亦非特例，根據基本定理知兩 者不相似。

發現二、如圖(9-2)，△ ABC三內角依序為60° − 50° − 70°，兩兩內角的P值皆為10°，即 各邊上的等腰△底角皆為10°，在各等腰△底角旁的倒數第二刀𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃交叉 而成的△ A′B′C′三內角依序為60° − 50° − 70°，明顯的，兩者相似。

說明 依據倒數第二刀偏角方向定義知，𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃的偏角方向依序為順、順、順，

為全順，根據基本定理知相似。

發現三、如圖(9-7)，△ ABC三內角依序為30° − 60° − 90°，兩兩內角的P值皆為30°，即 各邊上的等腰△底角皆為30°，在各等腰△底角旁的倒數第二刀𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃交叉 而成的△ A′B′C′三內角依序為30° − 60° − 90°，明顯的，兩者相似。

說明 依據倒數第二刀偏角方向定義知，𝐿₁、𝐿₂、𝐿₃的偏角方向依序為順、順、逆，

非全順亦非全逆，是個特例，兩者相似，這特例可用附件總表證明。

圖(9-7)

12

發現四、當一個△，它的三雙搭配內角以連續分角線作圖切到的最後成等腰△而底角不 相等(及P 值不同)則倒數第二刀所交叉而成的△必不相似，就算最後等腰△底角 相等時，也未必相似，我們可用附件總表說明。

發現五、在兩兩內角的P值都相等(爾後都簡稱同P)且三內角的大小順序規定為(中、小、

大)時，偏角方向不論是(順、逆、順)、(逆、逆、順)、(順、逆、逆)、(逆、

順、順)、(逆、順、逆)，依據本報告的附件發現都不會相似。

發現六、在同P且三內角依序為(中、小、大)，當偏角方向是 (順、順、逆)時，依據附 件總表，只有少許△會相似，絕大部分都不會相似，會相似時，原三內角有一 定的比例。

(五) 直角△的倒數第二刀交叉形成的△偏角非同順或非同逆，但仍可相似的例外探討

1. 整數內角共有多少個？詳見下表(一)共有2700個 表(一)

2. 根據上表(一)，整數內角的直角△共有 45 個，非常特別的是，這 45 個直角△中，每一 個直角△的兩兩內角都同 P 值 (實際上，一般△的三內角不一定同P值。

證明 給定直角△三內角為(x°, y°, x° + y°)

令x = p × s , y = p × t，最大公因數(s, t) = 1 則(x, x + y) = (p × s, p × s + p × t) = p(s, s + t) = p

∵ s , t互質，∴ s + t不會有比s大的倍數，故(s, s + t) = 1，得證。

3. 以整數內角的直角△為例，列出所有同P的直角△，並觀察何者的倒數第二刀△能與原△

保持相似。

步驟 1: 找出90的所有因數:1、2、3、5、6、10、15、18、30、45、90。

步驟 2: 設其他兩內角分別為a、b。其算式如下，a + b + 90 = 180。接著把要找的底角 角度(90的因數之一)帶入，以底角10°為例:a = 10x、b = 10y、90 = 9 × 10 則10x + 10y + 9 × 10 = 180，化簡後為x + y = 9。此時x、y、9要兩兩互質，

滿足上述條件共可取得三組答案，分別為(1,8,9) (2,7,9) (4,5,9)。接著把底角 角度10代入，得三組△ (10,80,90) (20,70,90) (40,50,90)。所以底角P值為10的 原直角△有3個。其餘底角角度以此類推，最後共有45個能同P的直角△。

步驟 3: 列出上文中的45個直角△，並用尺規作圖實作畫出各自的倒數第二刀△的三內 角，並記錄在附表中，接著將彼此的三內角轉換關係列成圖並圖示如下:

13

變化循環第一群 變化循環第三群 變化循環第六群

變化循環第七群 變化循環第五群

變化循環第四群 變化循環第二群

52,38,90 69,21,90 75,15,90

59,31,90

50,40,90 58,32,90

55,35,90

60,30,90 66,24,90 30,60,90

80,10,90 70,20,90 68,22,90 67,23,90 85,5,90

71,19,90 65,25,90

88,2,90 86,4,90

89,1,90 62,28,90 64,26,90

61,29,90

54,36,90 72,18,90 81,9,90

63,27,90

74,16,90 73,17,90

77,13,90 76,14,90 56,34,90

57,33,90 46,44,90

48,42,90 53,37,90 49,41,90

51,39,90

47,43,90

84,6,90 78,12,90

79,11,90 87,3,90

82,8,90 83,7,90

45,45,90

上表中所對應操作出的這些倒數第二刀看似雜亂無章(最大角為 90°)，

但其實彼此之間有些可以循環轉換且內含諸多項性質，我們先整理並分成七群如下:

發現七、所有具整數內角的直角△，其倒數第二刀△的循環變化共可分成七群，同一群 中的兩組三內角不一定同P。

發現八、除了第五群外，每一群內都有一對能互相轉換的核心三內角(指成可逆轉換的 那對三內角)。

發現九、在發現八中的互相轉換的每對核心三內角(指成可逆轉換的那對三內角)兩者度 數大部分都不同，其中最有特色的是第二群那對三內角的度數竟相同，可稱為 黑洞數△或卡布列克常數△。

發現十、觀察這一對黑洞數(60°, 30°, 90°) ↔ (30°, 60°, 90°)，它們的倒數第二刀偏角方 向依序為(順、順、逆)，非同順亦非同逆但仍可相似，稀有少見(這就是本報告 的研究主題「十傑」的概念由來)。

另外又以最大內角 162°為例，共分為六群(這可以和直角△做比較)

最大角為162°

變化循環第一群 變化循環第二群

變化循環第五群 變化循環第六群

變化循環第三群

變化循環第四群

11,7,162 12,6,162 6,12,162 17,1,162 16,2,162 14,4,162 12,10,158 12,8,160 12,4,164

14,2,164

15,3,162 15,6,159 P值不同

13,5,162 14,5,161

10,8,162 10,6,164 9,9,162

同順

同逆

性質八、在三內角皆為整數的直角△中，只有 30°-60°-90°的直角∆能使倒數第二刀交叉而成 的△與原△相似。

性質九、在三內角皆為整數的直角△中，倒數第二刀交叉而成的△必為直角 △且共分成七 群相關的△，每一群都以兩個能互相轉換的直角△為核心，除 45°- 45° - 90°外。s

14

說明

(1) 的橢圓代表非同順或非同逆，但仍相似的△，即黑洞數。

(2)有記號 的△代表同順或同逆，必然相似的△

(3)有記號 的△代表沒有倒數第二刀的等腰△

(4)有紅色字的△代表兩兩內角的 P 值不同，但再變化下去仍可回到同P狀態。

(六) 如何由給定的整數三內角，不必經過作圖而直接用輾轉相除法推算出倒數第二刀的△的 三內角

因為在S = 180推推樂流程的倒數的第二組數指的是幾何分角線作圖的倒數第二刀所在

的△三內角，並非三邊上各倒數第二刀交叉成的△三內角，因此目前為止，無法直接用

1. 探討幾何作圖上倒數第二刀與各對應邊的垂線(即最後一刀)偏角方向的決定方法？

(1)規定△三內角的最小角為∠B，最大角為∠C，三內角擺放方式為(中、小、大)

(2)∵ ∠A、∠B、∠C已於(1)中規定，∴由輾轉相除法的轉換次數R值的奇偶性，可經由下 表(二)轉換成倒數第二刀的順逆偏向

說明 例如圖(10-1)中，從∠A開始以分角線連續作圖，可知𝐿₅為倒數第二刀，

∵ R(∠B, ∠C) = 1為奇數，由表(一)知𝐿₅的偏角方向為逆時針。同法可得其餘 討論 以上文最大內角為90°及162°為例，要把任意整數內角△的倒數第二刀交叉△用尺作

圖逐一畫出是一件累人的事，應該要另闢巧徑。

切∠A 切∠B 切∠C

相關的兩內角 R(∠B,∠C) R(∠A,∠C) R(∠A,∠B)

R的奇偶性 奇 奇 奇

偏角方向 逆 順 順

R的奇偶性 偶 偶 偶

偏角方向 順 逆 逆

表(二)

∠C ∠B

4 90 20 2

80 20

10 0

R(∠B, ∠C) = 1 圖(10-1)

倒數第二刀: 逆時針偏向

15

又當推推樂A當關主(如同幾何作圖上的切∠A)時:

例如圖(10-2)中，從∠B開始以分角線連續作圖，可知𝐿₅為倒數第二刀，

∵ R(∠A, ∠C) = 2為偶數，由表(一)知𝐿₅的偏角方向為逆時針。

當推推樂B當關主(如同幾何作圖上的切∠B)時:

例如圖(10-3)中，從∠C開始以分角線連續作圖，可知𝐿₅為倒數第二刀，

∵ R(∠A, ∠B) = 1為奇數，由表(一)知𝐿₅的偏角方向為順時針。

當推推樂C當關主(如同幾何作圖上的切∠C)時:

經過圖(10-1)到圖(10-3)的印證後，可得知利用輾轉相除法即可判斷出△ ABC的倒數第二 刀的偏角方向依序為(逆、逆、順)，同時我們使用由大到小的順序觀察推推樂倒數第二

組數也可推知幾何分角線作圖的倒數第二刀的順逆偏向。同理利用上文方法，我們將△

三內角所有倒數第二刀偏角方向組合敘述如下:

70

第一關 90

20 70

110

130

150

160

由大→小:逆

70

20

第二關

90

50

110

30

130

10

150

10 停

160

由大→小:逆

70 20

90 第三關

50 20

110

30 20

130

10 20

150

10

10

160

由大→小:順

∠C ∠A

1 90 70 3

70 60

2 20 10

20 0

圖(10-2) R(∠A, ∠C) = 2

倒數第二刀: 逆時針偏向

∠A ∠B

3 70 20 2

60 20

10 0

圖(10-3) R(∠A, ∠B) = 1

倒數第二刀: 順時針偏向

16

2. 建立倒數第二刀順逆偏角方向的八種搭配圖

在圖(10-4)中，△三邊上倒數第二刀的順時針逆時針偏向共交叉搭配出八種可能的△，

列如下表(三):

3. 在同𝐏下，倒數第二刀交叉△的八種順逆組合的三內角計算公式及相似性對應規則探討

證明

不失一般性，以(70°, 20°, 90)為例

在圖(10-5)中，△ LMD為(順、順、逆)偏角方向△

根據性質六知，∠5 = ∠6 = ∠9 = 90° −¹

2P°

在四邊形DXCY中，∵ ∠5 = ∠6 = 90° −¹

2P°

∴四邊形DXCY為圓內接四邊形

∴ ∠7 = 180° − ∠C = 180° − 90° = 90°，即∠LDM = 90°

∴ ∠9 = ∠10 = 90° −¹

2p°，∴ ∠11 = ∠12 − ∠7 = 70° + ∠6 − ∠7

= 70° + 90° −1

2p° − 90° = 70° −1 2P°

性質十、在同P交叉△三內角的計算，利用順逆轉換偏角搭配出+P或−P有如下的四條規則:

規則一、當全順時，直接相似，即得到與原三內角相等的三內角 規則二、當全逆時，直接相似，即得到與原三內角相等的三內角

規則三、當順比逆多，逆的位置角度不變，接著觀察若逆排在前面則小角−P°、大角 +P°、中角不變。若逆不排在前面則不變之角除外，較小角+P°、較大角−P°。

圖(10-5) 切∠A 切∠B 切∠C

一 順 順 順 △DNF 紅色

二 順 逆 順 △JKF 橙色

三 順 順 逆 △DLM 黃色 四 順 逆 逆 △JHM 綠色 五 逆 順 順 △ENO 桃紅 六 逆 逆 順 △OGK 紫色

七 逆 順 逆 △ELI 粉紅

八 逆 逆 逆 △GHI 藍色

表(三)

圖(10-4)

17

原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大)

R值 R值 R值 R值

奇偶 偶 奇 奇 奇偶 偶 偶 奇 奇偶 偶 奇 偶 奇偶 偶 偶 偶

順逆 順 順 順 順逆 順 逆 順 順逆 順 順 逆 順逆 順 逆 逆

不變 不變 不變 不變 不變 不變

二刀△ N F D 二刀△ K F J 二刀△ L M D 二刀△ H M J

三內角 三內角 三內角 三內角

是否相似 是否相似 是否相似 是否相似

原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大) 原△ x°(中) y°(小) z°(大)

R值 R值 R值 R值

奇偶 奇 奇 奇 奇偶 奇 偶 奇 奇偶 奇 奇 偶 奇偶 奇 偶 偶

順逆 逆 順 順 順逆 逆 逆 順 順逆 逆 順 逆 順逆 逆 逆 逆

不變 不變 不變 不變 不變 不變

二刀△ N O E 二刀△ K O G 二刀△ L I E 二刀△ H I G

三內角 三內角 三內角 三內角

是否相似 是否相似 是否相似 不相似 是否相似 相似

第一種可能對應 表(四) 第二種可能對應 表(五) 第三種可能對應 表(六) 第四種可能對應 表(七)

第六種可能對應 表(九)

第五種可能對應 表(八) 第七種可能對應 表(十) 第八種可能對應 表(十一)

相似 ^{唯獨此處有機會出十傑}

不相似

不相似 不相似

不相似

P P

P

P +𝑃 −𝑃 P

x° + 𝑃

P P P

x° y° ° y° ° − x° − 𝑃 y° + 𝑃 ° x° y° + 𝑃 ° −

x° − 𝑃

x° y° − 𝑃 ° + 𝑃 x° + 𝑃 y° − 𝑃 ° y° ° + 𝑃 x° y° °

+𝑃 +𝑃

+𝑃 +𝑃 +𝑃

−𝑃 −𝑃

−𝑃 −𝑃 −𝑃

∠8 = 180° − ∠10 − ∠11 = 180° − (90° −1

2P°) − (70° −1

2P°) = 20° + P°

∴ ∠DML = ∠8 = 20

+ P°，又∠DLM = ∠7 − ∠DML = 70° − P°

同理當△ ENO(逆順順)，逆排在前面則小角−P°、大角+P°、中角不變，而(順逆順)則小 角不變，中角+P，大角−P，見△ JKF。

證明

在圖(10-5)中，△ HMJ為(順、逆、逆)偏角方向△

在規則三的證明中，∠HMJ = ∠8 = 20°

+ P°

根據性質十六知，∠DYZ = ∠JZY = 90° +¹

2P°

在四邊形DYZJ中，∠MJH = ∠DJZ = 360° − ∠DYZ − ∠JZY − ∠7 = 360 − (90° +¹

2P°) − (90° +¹

2P°) − 90° = 90°

− P°

∴ ∠MHJ = 180° − ∠8 − ∠DJZ = 180° − (20° + P°) − (90° − P°) = 70°得證 (順逆逆) → (不變, +P, −P)，如△ HMJ

同理當△ MIN(逆順逆) → (−P, 不變, +P)，又當△ JOG(逆逆順) → (+P, −P, 不變)

利用上述輾轉規則，我們將它拆解成八種組合，建立成八個表(表((四)~表(十一))，當使 用者用R值的奇偶性，推得順逆偏向，可直接對應適當的表，進而算出三內角或斷定相 不相似。

規則四、當逆比順多，順的位置角度不變，接著觀察若順排在前面則小角+P°、大角

−P°、中角不變。若順不排在前面則不變之角除外較小角−P°、較大角+P°。

18

4. 使用方法:

由同P值的三內角，求出各自對應的R值，再依照 R 值的奇偶性，接著再在各對應邊上 觀察其順逆方向，對應填入上述八種可能的對應表中，即可判定相不相似。

例如:

(1) 以∠A = 70°，∠B = 30°，∠C = 80°為例，先求得P值= 10°，再求得R 值，依序為 2、1、1，奇偶性依序為偶、奇、奇，與原圖比對，轉換成順、順、順，由表(四)得 知，必與原△相似。

(2) 以∠A = 63°，∠B = 48°，∠C = 69°為例，先求得P值= 3°，再求得R 值，依序為 3、2、2，奇偶性依序為奇、偶、偶，與原圖比對，轉換成逆、逆、逆，由表(十一) 得知，必與原△相似。

(3) 以∠A = 36°，∠B = 18°，∠C = 126°為例，先求得P值= 18°，再求得R 值，依序為 0、1、0，奇偶性依序為偶、奇、偶，與原圖比對，轉換成順、順、逆，由表(六)得 知，可能與原△相似。

5.不同𝐏的整數內角△的倒數第二刀交叉△三內角的計算公式

當△兩兩內角P值不一定相同時，倒數第二刀△的三內角計算公式如下(表十二):

證明 如圖(10-6)，

∠DEF = 180° − ∠𝐵₂𝐸𝐴₂ (為四邊形𝐵₂𝐸𝐴₂𝐶的一內角)

= 180° − [360° − ∠EA₂C − ∠C − ∠EB₂C]

= 180° − [360° − (90° −1

2P_a) − ∠C − (90° +1 2P_b)]

= 180° − [180° +¹

2P_a− ∠C −¹

2P_b]

= ∠C +¹

2P_b−¹

2P_a = 84° + 14° − 2° = 96° 正確

∠DFE = 180° − ∠C₂FA₂ (為四邊形𝐶₂𝐹𝐴₂𝐵的一內角) = 180° − [360° − ∠FC₂B − ∠B − ∠FA₂B]

= 180° − [360° − (90° −¹

2P_c) − ∠B − (90° +¹

2P_a)]

= 180° − [180° +¹

2P_c− ∠B −¹

2P_a]

= ∠B +¹

2P_a−¹

2P_c = 40° + 2° − 4° = 38° 正確

性質^十_一、以分角線分別切完△ ABC三內角後，當各邊上的倒數第二刀偏角方向依序為 (順順順)時，則三條倒數第二刀所交叉而成的△必與原△相似且三內角的計算公 式分別為:(∠A +¹

2𝑃_𝑐 −¹

2𝑃_𝑏 , ∠B +¹

2𝑃_𝑎−¹

2𝑃_𝑐 , ∠C +¹

2𝑃_𝑏−¹

2𝑃_𝑎)

19

∠EDF = 180° − ∠DEF − ∠DFE = 180° − [∠C +¹

2P_b−¹

2P_a] − [∠B +¹

2P_a−¹

2P_c] = 180° − ∠C − ∠B −¹

2P_b+¹

2P_c

= ∠A +¹

2P_c−¹

2P_b = 56° + 4° − 14° = 46° 正確 其他不同的順逆組合的證明都類似

表(十二)不一定同𝐏的八種順逆排列倒數第二刀交叉△三內角計算總表 表(十二)

說明

(1) 無論∆兩兩內角 P 值是否相等，都能利用此表計算出倒數第二刀交叉∆的三內角角度 (2) 以∠A = 60°、∠B = 40°、∠C = 80°為例，P_𝑎 = 40、P_𝑏 = 20、P_𝑐 = 20。

𝑅_𝑎 = 0、R_𝑏= 1、R_𝑐 = 1轉換為順逆偏向後為順、順、順。對照上表:

∠𝐴₁ = ∠A + (¹

2P_c) − (¹

2P_b) = 60° +¹

2× 20° −¹

2× 20° = 60°

∠𝐵₁ = ∠B + (¹

2P_a) − (¹

2P_c) = 40° +¹

2× 40° −¹

2× 20° = 50°

∠𝐶₁ = ∠C + (¹

2P_b) − (¹

2P_a) = 80° +¹

2× 20° −¹

2× 40° = 70° 兩△不相似 圖(10-6)

20

6. 在順順逆的搭配組合中，探討能與原△相似的特別案例條件並找出十傑。

依不同的最大內角(但同P)，做出該類△的倒數第二刀△會相似的統計總表(見研究日誌) 我們將所有內角為整數的三角形一一列出，如表(一)，去除掉等腰三角形後，總共有 2700 個△，我們利用剛才報告中所提到的同P倒數第二刀轉換規則，將每一個倒數第二 刀交叉△的角度運算出來，再統計如下

(1) 同順…(直接相似，共 307 個) (2) 同逆…(直接相似，共 240 個)

(3) 十傑(偏角方向為順順逆且符合b < a < c，a = 2b , c = kb)，其中k為大於2的奇數…

(可相似，共 10 個) 證明

由已知條件三內角兩兩同P，角度大小排列次序(a, b, c) = (中, 小, 大)，

且a = 2b, c = kb，k為大於2的奇數，又對應到表(六)的順順逆排列，則根據規則 三，順比逆多，逆的位置角度不變，逆不排在前面時，對應出來的倒數第二刀交叉 之△的三內角計算方式為(−p, +p, 不變)，即(a − p, b + p, c)，因b = p，即(2b − b, b + b, kb) → (b, 2b, kb)此三內角和原△三內角(2b, b, kb)相同，只是位置改變，根 據AAA △相似定理知，此兩△相似。

(4) 偏角方向亦為順順逆，不符合a = 2b , c = kb的△…(不相似，共 185 個)並列於附件一

證明 ∵只有同P △才有機會相似，∴ 令 P值為b°

∴依順順逆 P的規則知，(2b, b, c) ⟶ (b, 2b, c)

∴ c值具有公因數b且不可為2的倍數，∴ c = kb, k 為大於 1 的奇數，

故(2b, b, kb) ⟶ (b, 2b, kb)，得證

(七) 有金黃色橢圓和 記號的△的倒數第二刀會相似，在其他△中我們也有發現某些△也 會這樣，圖示如下:

討論:

根據基本定理，同順相似、同逆相似，這是天經地義，但是像(順、順、逆)，

本來應該是不相似的，但因合乎特殊條件竟然可以變成相似，這些是非常難得 的△，共有十個，故我們稱它為十傑。

性質^十二、若a, b, c為△ ABC的三內角角度，b < a < c，a = 2b , c = kb , k > 2

，

又此三內角之P值皆為 b，則倒數第二刀△的偏角方向排列成(順、順、逆)，非同 順逆但必和原△相似。

性質^十三、從1°到179°的所有整數度數中，∆的三內角合乎性質十二中的關係式且呈 (順順逆)排列條件，共有十組依序為(2°, 1°, 177°)、(4°, 2°, 174°)、(6°, 3°, 171°)、

(10°, 5°, 165°)、(12°, 6°, 162°)、(18°, 9°, 153°)、(20°, 10°, 150°)、(30°, 15°, 135°)、

(36°, 18°, 126°)、(60°, 30°, 90°)，被稱為𝐒 = 𝟏𝟖𝟎的十傑。

21

(八) 十傑的幾何性質探討

我們發現十傑三角形具有連續作圖仍能維持相似的特性，但我們又想知道這些相似△所 處的位置之間是否有位似關係，因此實際做了例子試探。

以30° − 60° − 90° △為例，連續操作如圖(11-1)到圖(11-2)。

∠A ∠B ∠C 其他同順或同逆相似

30 15 135

36 18 126

18 9 153

20 10 150

4 2 174

12 6 162

6 3 171

165 5 10

60 30 90

十傑

2 1 177

52,38,90 69,21,90 75,15,90

59,31,90

50,40,90 58,32,90

55,35,90

60,30,90 66,24,90 30,60,90 2,1,177 1,2,177 4,2,174 2,4,174 6,3,171 3,6,171 10,5,165 5,10,165 11,7,162 12,6,162 6,12,162

18,9,153 9,18,153

22,8,150 20,10,150 10,20,150 23,7,150

29,16,135 30,15,135 15,30,135 36,18,126 18,36,126

22,5,153

21,9,150 17,13,150 5,4,171

…

23,22,135

24,22,134

26,20,134

32,13,135

32,14,134

31,14,135

性質^十_四、在S = ∠A + ∠B + ∠C = 180°的幾何平面上

(1) 記號 的△共有 559 個 (2) 橢圓的△共有 10 個，我們稱之為二刀流十傑

圖(11-1)十傑△連續作圖 虛線部分放大

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虛線部分放大 圖(11-2)十傑△，有相似中心點T

說明

我們從∆ABC 開始做倒數第二刀交叉的△ 𝐴₁𝐵₁𝐶₁，接著再從△ 𝐴₁𝐵₁𝐶₁做△ 𝐴₂𝐵₂𝐶₂， 依同樣的方法連續做出△ 𝐴₃𝐵₃𝐶₃、△ 𝐴₄𝐵₄𝐶₄、△ 𝐴₅𝐵₅𝐶₅…如圖(11-1)、圖(11-2)、

圖(11-3)，因為對應邊長呈等比數列縮小，故圖形很快速的集中成一坨，分辨不太 出來，但具有下列性質。

性質^十五、十傑∆的任一△按倒數第二刀作圖法連續作圖所得出的△ 𝐴_𝑛𝐵_𝑛𝐶_𝑛， n = 1、2、3、4、5…。

則:(一)點𝐴_(2k+1)共線，k = 0、1、2、3…，同理點𝐵_(2k+1)共線、

點𝐶_(2k+1)共線，且三條共線交於同一點T，即△ 𝐴_(2k+1)B_(2k+1)C_(2k+1) 具 有相同的投影中心T。

(二)點𝐴_2k共線，k = 0、1、2、3…，同理點𝐵共線、點𝐶_2k共線，且三條共線 交於同一點 T，即△ 𝐴_2kB_2kC_2k和△ 𝐴_(2k+1)B_(2k+1)C_(2k+1)的投影中心共點。

(三)△ 𝐴_kB_kC_k，k = 0、1、2、3…，對應邊長呈等比數列。

性質^十_六、在五百五十九個同順和同逆的△中，按倒數第二刀作圖法連續作圖所得出的

△ 𝐴_nB_nC_n，n = 1、2 、3、4、5…，如圖(11-2)，則每一個△ 𝐴_iB_iC_i ，皆比前 一個相似△ 𝐴_(i−1)B_(i−1)C_(i−1)呈螺旋線形偏轉^{180°−𝑝°}

2 ，對應邊長呈等比數列縮 小，最後趨近到螺旋中心點。

圖(11-3)同順相似△，呈螺旋排列，沒有相似中心點 虛線部分放大

23

四、對任意正整數𝐀, 𝐁, 𝐂探討求算𝐍(𝐬)的規則，其中𝐒 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂，𝐒 > 𝟑

因為接下來要探討S = A + B + C =任意正整數定值(S > 3)時的傑數求算法。而之前傑 數的概念是建立在S = 180的幾何觀點上。雖然分角線作圖和推推樂運算兩者的P, Q, R 值，本文已介紹清楚，但對於S ≠ 180的情況，他們的傑數要如何推導計算呢？這部分 仍要再給幾個例證，做確實的聯結。在S = 180時，一般人會誤以為推推樂流程的倒數 第二組數即為分角線連續作圖的倒數第二刀交叉所成的△，這是錯誤的，推推樂倒數第 二組數是分角線作圖倒數第二刀所在的△的三內角，在前文的表(二)中，將推推樂的倒 數第二組數由大到小讀取順逆時針方向可恰巧吻合倒數第二刀的順逆偏向(傑數，太神

奇了)，這就和分角線作圖的倒數第二刀的偏向聯結上了，接著再聯結表(六)就可以確定

(一) 利用S = 180時，觀察倒數第二刀的幾何作圖法和推推樂求算法的相關性

1. (1)分角線幾何作圖法:(72°, 18°, 90°) → (54°, 36°. 90°)同P但不相似，倒數第二刀為順順逆

(2)推推樂求算法:(72,18,90) → 倒數第二組數的順逆排列: 順順逆 → (54,36.90)同P但不相似 討論: 1. 不失一般性，給定(72°, 18°, 90°)，得倒數第二刀偏向為(順順逆)，又由推推樂得

倒數第二組數由大到小的輪動偏向亦為(順順逆)，兩者都屬於表(六)吻合一致，

表(六)雖然有機會相似，但因72 ∶ 18 ∶ 90 ≠ 2 ∶ 1 ∶ k(k > 2的奇數)，故它們的倒 數第二刀交叉△與原△不相似。

2. 倒數第二刀交叉△的三內角計算法是大角不變、中角−P、小角+P，即得 (54°, 36°, 90°)，故僅依推推樂亦可算出倒數第二刀交叉△的三內角，進而判定 兩者相不相似，如圖(12-4)。

3. 因為表(六)是出產傑數的唯一機會，所以若倒數第二組數為順順逆排列且原三數 比為2 ∶ 1 ∶ k，(k > 2的奇數)，就能算是傑數之一了。

圖(12-2)

72

90 18

90

18 72

72

90 18

54 18 108 72當關主

18當關主

90當關主

54 108 18

停

停

72

18 90

停

108

18 54

126

18 36

144 18 18

36 126 18 18

144 18

36 18 126

18 18 144

圖(12-1)