2. 一元一次不等式：

第九章 不等式及其應用

9-1 一元二次不等式與絕對不等式

一元一次不等式

1. 不等式之基本性質：

設_a、_b、_c為實數

(1)若a b 且_{b c} ，則_{a c} 。 (2)若a b ，則_{a c b c  } 。 (3)若a b 且_c0，則_{ac bc} 。 (4)若a b 且_c0，則_{ac bc} 。

2. 一元一次不等式：

設_a、_{b R} 且_a0，則_{ax b 0}、_{ax b 0}、_{ax b 0}、_{ax b 0}稱為一元一次不等式。

不等式 解 圖示

0 a

0

ax b 

b

x

 

a

0

ax b 

b

x

 

a

0 a

0

ax b 

b

x

 

a

0

ax b 

b

x

 

a

空心圓圈「」表示圖形不包含此點；實心圓圈「^{」表示圖形包含此點。}

一元一次不等式 試求滿足不等式2 5 7

4 3

x

 

x

 的最大整數。

不等式兩邊同乘 12 原式

 3(2 x   5) 4( x  7)

6x15 4 x28 2x 43

43 1

2 21 2

   x  

∴ 滿足不等式的最大整數為

 22

解不等式 1

2 3 3

x x

    ，並圖示其解。

不等式兩邊同乘 6

原式    6x 3 2x18    8x 21 

21

x  8

一元二次不等式

1. 一元二次不等式的定義：

設_a、_b 、_c為 實 數 ， 且_a0， 則

ax

²

bx c

  、0

ax

² 

bx c

  、0

ax

²

bx c

  、0

2 0

ax



bx c

  等形式，均稱為

一元二次不等式。

解一元二次不等式可先限制a ，若0 a 可將不等式兩邊同乘以 10  ，使二次項 係數為正。以下討論均限制a 。 0

2. 一元二次不等式的解法與圖示：

設一元二次方程式

ax

²

bx c

  有兩相異實根0  、



^（其中

 

 ）

不等式 解 圖示

(

x





)(

x





) 0



 

x 

(

x





)(

x





) 0



 

x 

(

x





)(

x





) 0

x

 或



x (

x





)(

x





) 0

x

 或 x







一元二次不等式 試求不等式3

x

²2

x

 1 4

x

² 之解。 2

原式 

x

²

 2 x   3 0



( x  3)( x   1) 0

 x3或_{x 1}

試求不等式 

x

² 3

x

  之解。 4 0 原式 

x

²

 3 x   4 0



( x  4)( x   1) 0

   1 x 4

參考 NO.1

反求一元二次不等式 若 不 等 式  

x

²

ax b

  的 解 為0 x2 或

x 3，試求_{a b} 之值。

∵ ^x2或x 3

∴

( x  3)( x  2) 0 



x

²

   x 6 0



    x

²

x 6 0

∴ a 1，b6  a b 5

若不等式

ax

²

bx

  的解為6 0   1 x 3，試 求_{a b} 之值。

∵   1 x 3

∴

( x  1)( x   3) 0



x

²

 2 x   3 0



2 x

²

 4 x   6 0

∴ a2，b 4  a b  2

參考 NO.2、NO.3

絕對值不等式 設a0、b0，則

1. | ( ) |

f x

  ( )

a

 

a f x

 。

a

2. | ( ) |

f x

  ( )

a f x

 或 ( )

a f x

  。

a

3. | ( ) | | ( ) |

f x



g x

 [ ( )]

f x

² [ ( )]

g x

²。

4. | ( ) |

a



f x

  ( )

b a



f x

 或

b

 

b f x

( )  。

a

絕對值不等式 試求下列不等式之解：

(1)| 2

x

  (2)1 |3 | 9 

x

  。 2 | 7 (1)原式  2x 3 9或_{2x  3 9}

 x6或_{x 3}

(2)原式  1  x 2 7或_{    7 x 2 1}    1 x 5或_{   9 x 3}

試求下列不等式之解：

(1)| 3 2 | 7

x

 (2) 2 |

x

  。 5 | 6 (1)原式    7 3 2x7

   10 2x4    2 x 5

(2)原式  2  x 5 6或_{    6 x 5 2}  7 x 11或_{  1 x 3}

參考 NO.4、NO.5

絕對值不等式 試求不等式|

x

   之解。 5 | | 3

x

|

兩邊平方得

( x  5)

²

  (3 x )

²



x

²

 10 x  25  x

²

 6 x  9

 16x 16

 x 1

試求不等式| 2

x

   之解。 1| |

x

1|

兩邊平方得

(2 x  1)

²

 ( x  1)

²



4 x

²

 4 x   1 x

²

 2 x  1



3 x

²

 6 x  0



3 ( x x  2) 0 

 x0或_{x 2}

參考 NO.6

絕對不等式

1. 算幾不等式：（算術平均數

幾何平均數）

設

a 、

₁

a 、…、

₂

a 均為正數，則

_n a¹ a² a^{n n} _{1 2 n}

a a a

n

  

   

  。

2. 柯西不等式：

設

a 、

₁

a 、…、

₂

a 及

_n

b 、

₁

b 、…、

₂

b 均為實數，則

_n

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2

(a a   a_n )(b b   b_n ) ( a b a b   a b_{n n}) 。 算幾不等式

設_a、_b為二正數，且_ab45，試求_5a4b的 最小值。

∵ a、_b為二正數



5 4

5 4 2

a b

a b

  



5 4

20 45 30 2

a  b

  

 5a4b60

∴ _5a4b的最小值為60

若x0，

y

 ，且 30

x

2

y

12，試求

xy 的

最大值。

∵ x0，

y  0



3 2

3 2 2

x y

x y

  



12

2  6 xy



6 xy  36



xy  6

∴

xy

的最大值為6

參考 NO.7

算幾不等式 設_a、_b為二正數，且

a b

² 27，試求_{2a b} 的

最小值。

∵ a、_b為二正數

 ^{3 2}

3 a a b

   a b



2

³

3 27 3 a b   

 2a b 9

∴ _{2a b} 的最小值為9

若_x0，

y

 ，且0

x y

  ，試求6

x y 的最

² 大值。

∵ x0，

y  0



2 2

³

( )( )( )

3 2 2

x x

y x x

y

  

 2 ^{3 1 2} 4x y

 

1

²

8  4 x y



32 x y 

²

∴

x y

² 的最大值為32

參考 NO.8、NO.9、NO.10

柯西不等式 若x、

y 為實數，且 x

²

y

² 20，試求2x y

的最大值與最小值。

2 2 2 2 2

(2 x y  )  (2  1 )( x  y )



(2 x y  )

²

  5 20



  10 2 x y   10

∴ 最大值為 10，最小值為10

若x、

y 為實數，且 3 x

4

y

 ，則15

x

²

y

²的 最小值。

2 2 2 2 2

(3 x  4 ) y  (3  4 )( x  y )



15

²

 25 (  x

²

 y

²

)



x

²

 y

²

 9

∴ 最小值為 9

參考 NO.11

( Ｃ ) 1. 若一元二次不等式

x

²2

x

  的解為3 0 a x b，則_{a b }？ (A) 3 (B) 1

(C) 2 (D) 3。 【106 商】

( Ｃ ) 2. 已知

ax

² 2

x



c

0的解為₁x₃，則

a

 之值為何？ (A) 4

c

 (B) 2 (C) 2

(D) 4。 【105 商】

( Ｂ ) 3. 若一元二次不等式

ax

²

bx

  的解為6 0 2 x 3， 則 數 對( , )

a b 為下列何者？

(A) ( 1 , 5)  (B) ( 1 , 5) (C) (1 , 5) (D) (1 , 5) 。 【107 商】

( Ｄ ) 4. 不等式| 3

x

  的解為整數者共有多少個？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。 5 | 9

【93 商】

( Ｄ ) 5. 已知4 (2

x

3)² 25 ， 試 求_x的 範 圍 為 何 ？ (A) 5 1

x

2

   (B) 3 2

x

1

    或

5 4

2  (C)

x

  1 x 4 (D) 1 1

x

2

   或5

2  。

x

4 【91 商】

( Ｂ ) 6. 下列何者為不等式 x  5 2 x 的解？ (A) 3 2

x

2

   (B) 3

x

  (C)2   5 x 0

(D)x 5。 【96 工】

( Ｃ ) 7. 若想要利用一條繩子圍出一個面積至少為 25 平方公尺的矩形花園，則所需要的繩子 總長度至少須為多少公尺？ (A) 12 (B) 16 (C) 20 (D) 24。 【104 商】

( Ｄ ) 8. 設x0、

y

 、0

x y

  ，則6

xy 之最大值為何？ (A)16 (B)18 (C)25 (D)32。

²

【103 工】

( Ｃ ) 9. 設x、

y 、 z 皆為正實數，且 xy yz zx

  27，則

xyz 之最大值為何？ (A)

12 2³

(B)18 (C)27 (D)27 2³ 。 【103 商】

( Ｄ ) 10. 已知x、

y 、 z 均為正實數。若

x、

y 、 z 滿足 2 x

3

y z

 12，則下列何者為真？

(A) xyz 的最大值為 12 (B)

x y z 的最大值為 32 (C)

^{2 3}

xyz 的最大值為 48 (D)

²

xy z 的

²

最大值為18。 【102 商】

( Ａ ) 11. 已知x、

y 為實數且 x

3

y

 ，則1

x

² 

y

²的最小值為何？ (A) 1

10 (B) 1 10

(C) 10 (D) 10。 【101 護】

9-2 二元一次不等式的圖形與線性規劃

二元一次不等式的圖形

1. 二元一次不等式的定義：

設_a、_b、_c為實數，且_a、_b不同時為0，則

ax by c

   、0

ax by c

   、0

ax by c

   、0 0

ax by c

   等形式，均稱為

二元一次不等式。

2. 二元一次不等式的圖形：（左、右側半平面）

設直線

L ： ax by c

   ，且0 a0，則

不等式

ax by c

   0

ax by c

   0

ax by c

   0

ax by c

   0

圖形

備註 大於  右側 小於  左側

(1)若二元一次不等式中x 的係數a 時，務必移項整理，使得 x 的係數為正。 0 (2)若圖形包含直線 L ，則直線 L 以實線畫出；若圖形不包含直線L ，則直線 L 以虛線

畫出。

3. 二元一次不等式的圖形：（上、下側半平面）

設直線

L ： y k

 ，（即直線 L ：

ax by c

   中，當0 a0時），則

不等式

y k



y k



y k



y k



圖形

備註 大於  上方 小於  下方

4. 二元一次聯立不等式的圖形：

(1)兩個或兩個以上的二元一次不等式並列，稱為

二元一次聯立不等式。

(2)二元一次聯立不等式的圖形為各二元一次不等式圖解的交集。

二元一次不等式的圖形 圖示下列二元一次不等式的解：

(1) 3    (2)

x y

6 0

y

 。 3 (1)原式 

3 x y    6 0

令

3 x y   6

^x 0 2

y 6 0

(2)令

y  3

^x 0 3 y 3 3

圖示下列二元一次不等式的解：

(1) 4

x

3

y

 4 2

x

4

y

(2)x 3。 (1)原式 

2 x y   4

令

2 x y   4

^x 0 2 y 4 0

(2)令x 3 x 3 3

y

0

 3

參考 NO.1

聯立不等式的圖形 圖解二元一次聯立不等式 3 6 0

2 6 0

x y

x y

  

   

 。

令

3 x y    6 0

^x 0 2

y  6

0 令

x  2 y   6 0

^x 0 6

y 3 0

圖解二元一次聯立不等式 3

2 3 6

x y

x y

  

  

 。

令

x y   3

^x 0 3

y  3

0 令

2 x  3 y  6

^x 0 3

y 2 0

參考 NO.2

聯立不等式區域面積 試求不等式組：x0，

y

 ，0

x

3

y

30，

2

x y

 20所圍成的區域面積。

令

x  3 y  30

^x 0 30 y 10 0 令

2 x y   20

^x 0 10

y 20 0

3 30

2 20

x y x y

 

   



 交點

(6,8)

∴ 所圍區域面積

 2

個三角形面積之和

1 1

10 8 10 6

2 2

     

70

試求聯立不等式 0

3 6

2 3 6 0 y

x x y

 

  

   



所圍成的區

域面積。

令

2 x  3 y   6 0

^x 0 3

y

2 0

3 x x6

∴ 所圍區域面積

(4 6) 3 2 15

   

參考 NO.3、NO.4

不等式區域面積 試求不等式| | | | 6

x



y

 所圍成的區域面積。

令

| | | | 6 x  y 

當_x0，

y   6

當

y  0

，_{x 6}

∴ 所圍區域面積

1

4 4 6 6 72

       2

求聯立不等式 | | 6

| | 6

x y x y

 

  

 圖形的區域面積。

原式 

6 6

6 6

x y x y

   

    





6 6 6

6 x y x y x y x y

  

   

   

    



∴ 所圍區域面積

1

4 4 6 6 72

       2

參考 NO.5、NO.6

線性規劃

以二元一次聯立不等式來表示問題中的限制條件，再以線性函數

f x y 表示問題中想要達成

( , ) 的目標（稱為目標函數）。利用二元一次聯立不等式的圖形所圍成的區域（稱為可行解區域）， 求出目標函數

f x y 的最大值與最小值（稱為

( , )

最佳解）

，此類問題稱為線性規劃。

目標函數 f x y( , )的最佳解，必發生在可行解區域的各頂點坐標上。

線性規劃

在 不 等 式

0

0 5

4 0 2 0

y

x x y x y

 

  

   

   



的 條 件 下 ， 求 函 數

( , )

f x y

5

x

2

y

 的最大值和最小值。 3 令

x y    4 0

^x 0 4

y 4 0

令

x y    2 0

^x 0

 2

y 2 0

4 0 2 0 x y

x y

  

    



 交點

(1,3)

( , ) x y (4,0) (5,0) (5,7) (1,3) ( , )

f x y

17 22 36 8

∴ 最大值 36，最小值 8

在 不 等 式 0 0

5 0

2 2 0

x y x y

x y

 

 

   

   



的 條 件 下 ， 求 函 數

( , ) 2 5

f x y



x



y

的最大值和最小值。

令

x y    5 0

^x 0 5

y 5 0

令

2 x y    2 0

^x 0

 1

y 2 0

5 0

2 2 0

x y x y

  

    



 交點

(1, 4)

( , ) x y (0,0) (5,0) (1, 4) (0, 2) ( , )

f x y

0 10 18 10

∴ 最大值 10，最小值18

參考 NO.7、NO.8、NO.9、NO.10、NO.11

( Ｂ ) 1. 在直角坐標平面上，設點 (1, )

b 滿足不等式 ax

3

y

  ，則數對 ( , )6 0

a b 可為下列何

者？ (A) (1,1) (B) ( 5,5) (C) ( 1, 1)  (D) (5, 5) 。 【100 商】

( Ｄ ) 2. 已知點

Q 為二元一次聯立不等式

2 3 6 0 5 4 20 0

x y x y

  

   

 圖形上的一點，則

Q 之坐標可能為

下列何者？ (A) ( 5,0) (B) ( 2,0) (C) (0,5) (D) (0,6) 。 【101 商】

( Ｃ ) 3. 在坐標平面上，已知

R 為二元一次聯立不等式

12 6 0 0

x y y x y

  

 

 

 

所圍的區域。試問

R 的面積

為何？ (A) 36 (B) 48 (C) 54 (D) 72。 【103 藝】

( Ａ ) 4. 在坐標平面上，滿足聯立不等式

9 3 5

0 0

x y x y x y

  

  

 

 



區域的面積為何？ (A)77

2 (B)79 2

(C)81

2 (D)83

2 。 【104 護】

( Ｂ ) 5. 在坐標平面上，求二元一次聯立不等式 | 2 | 2

| 2 | 2

x y x y

 

  

 的解所成的區域面積。 (A) 2

(B) 4 (C) 6 (D) 8。 【102 護】

( Ｄ ) 6. 聯立不等式 | | 8

| | 8

x y x y

 

  

 之圖形區域面積為何？ (A) 64 (B) 86 (C) 100 (D) 128。

【96 商】

( Ｄ ) 7. 在 | | | | 1

x



y

 的條件下，求函數 ( , ) 2

f x y



x

3

y

的最大值為何？ (A)3 (B) 2

(C) 2 (D) 3。 【103 護】

( Ｃ ) 8. 若x與

y 滿足聯立不等式

2 8

3 9 0 , 0 x y x y

x y

  

  

  



，則

f x y

( , ) 2

x

3

y

的最大值為何？ (A) 6

(B) 8 (C) 12 (D) 16。 【107 護】

( Ｃ ) 9. 在聯立不等式

0 6

2 2

x y y

x y

  

 

  



的條件下，若

f x y

( , ) 

x

2

y

的最大值為

M ，最小值為

m，

則

M m

  ？ (A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8。 【106 護】

( Ａ ) 10. 已知x0，

y

 且 20

x y

 20，求

x y

  之最小值為何？ (A) 16 (B) 17 (C) 18 6

(D) 19。 【99 商】

( Ｄ ) 11. 在坐標平面上，在|

x

 1| |

y

  的平面區域中，3 | 2

x

2

y

的最大值為何？ (A) 3

(B) 5 (C) 9 (D) 11。 【97 商】

( Ｂ ) 1. 滿足不等式2 1 3

3

x

  1 2

x

 的最大整數為 (A) 24  (B) 1 (C) 0 (D) 1。 【9-1】

( Ｂ ) 2. 設不等式

ax

 2 4(

x

 之解為1) x3，則_a之值為 (A) 2 (B) 2 (C)6 (D) 6。

【9-1】

( Ｄ ) 3. 滿足不等式| 2

x

  的整數解共多少個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。 【9-1】 3 | 5 ( Ｃ ) 4. 設x為整數，則1 |   之解共有 (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 個。 【9-1】

x

1| 5 ( Ｃ ) 5. 求不等式3 5

x

2

x

²  的解為 (A)0 x2或 1

x

  (B)2 1

x

 或2 x 3

(C) 1

3

x

2

   (D)1

2  。

x

3 【9-1】

( Ａ ) 6. 設a、b為實數，若不等式

ax

²4

x b

  之解為0 5 1 2

x

2

   ，則a b  (A) 1

 2 (B) 3

 (C)2 1

2 (D)3

2。 【9-1】

( Ａ ) 7. 設x為實數，不等式|

x

 2 | | 2

x

 之解為 (A)1| 1

x

 或3 x 3 (B)x1或x 1

(C) 1

3

x

3

   (D)  1 x 1。 【9-1】

( Ａ ) 8. 設x、

y 均為正實數且8 x

5

y

20，則

xy 的最大值為 (A)

5

2 (B)15

2 (C) 10

(D) 20。 【9-1】

( Ｂ ) 9. 設x、

y 均為正實數，若 xy

100，則_{x y} 的最小值為 (A) 10 (B) 20 (C) 100

(D) 200。 【9-1】

( Ａ ) 10. 設

x y

  ，則1

x

²

y

²之最小值為 (A)1

2 (B)1

3 (C)1

4 (D)1

5。 【9-1】

( Ｄ ) 11. 求函數 ( ) |

f x



x

 2 | |

x

 的最小值為何？ (A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7。 【9-1】 5 |

( Ｃ ) 12. 聯立不等式

1 2 1 x y x y

  

  

  



所圍成的區域面積為 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。 【9-2】

( Ｂ ) 13. 求聯立不等式 0 0

10 2 12

x

y x y x y

 

 

  

  



所圍成的區域面積為 (A) 32 (B) 34 (C) 36 (D) 38。

【9-2】

CHAPTER 9 不等式及其應用

( Ｃ ) 14. 不等式3

x

2

y

 的圖形不通過第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 【9-2】 6 ( Ａ ) 15. 不等式 6

x

7

y a

   之圖解不包含原點，則3 0 a的範圍為 (A)a3 (B)a3

(C)a3 (D)a3。 【9-2】

( Ｂ ) 16. 已知 (5, )

k 為聯立不等式

2 3 0

3 8 0

x y x y

  

   

 的解，則k的範圍為 (A)7 k 13

(B)  7 k 13 (C)7 k 9 (D)  7 k 9。 【9-2】

( Ｃ ) 17. 在不等式組 0 0 2 3 12

2 4

x y

x y x y

 

 

  

  



的條件限制下，目標函數

f x y

( , ) 5

x y

  的最大值為 M ，1

最小值為_m，則_{M m } (A) 5 (B) 8 (C) 11 (D) 14。 【9-2】

( Ｄ ) 18. 在

0 0

2

3 6

x y

x y x y

 

   

  



，

的條件下，

f x y

( , ) 

x

3

y

的最大值為 (A) 4 (B) 6 (C) 8 (D) 10。

【9-2】

( Ｃ ) 19. 坐標平面上，| | | | 3

x



y

 所圍成的區域面積為 (A) 9 (B) 12 (C) 18 (D) 36。

【9-2】

( Ｃ ) 20. 在 3 | | 2 | | 6

x



y

 的條件下， ( , ) 2

f x y



x

3

y

的最大值為 (A) 4 (B) 6 (C) 9

(D) 12。 【9-2】