第八章刚体力学第八章刚体力学

第八章 刚体力学

§8.1 刚体运动学

刚体——在任何外力作用下，形状大小均不发生改变的物体（特殊 的质点系）。

 若把刚体分为许多质元每个质元都小到可看作质点，那么刚体就 是各质元间相对位置不发生变化的特殊质点系，即：任意两点之 间的距离始终保持不变。

研究刚体力学的基本思路和方法：把质点系的一般概念、规律 应到刚体这个特殊质点系上，就可得到刚体运动的特殊规律。

对于机械运动的研究，只局限于质点的情况是很不够的。物体是有 形状大小的，它可以作平动、转动，甚至更复杂的运动。如果物体 在外力的作用下形状体积改变很小时，形变可以忽略。我们就得到 实际物体的另外一个抽象模型——刚体。

说明:

②在外力的作用下, 任意两点均不发生相对位移；

③刚体是弹性系数很大的一类物体的抽象；

④刚体内力做功为零。

①刚体是一种理想模型。

1.刚体运动——平动

刚体平动：刚体运动时，连接刚体内任意两点的直线在任意时刻 都保持平行的运动。

O

r

r

r

j i ij

r   r r

j i

dr dr dt  dt

取参考点O，图中

r

r

2 2

2 2

j i

j i

d r d r

a a

dt dt

  

j i

v  v 结论：刚体平动时,其上各点具有相同 的速度、加速度及相同的轨迹(不一 定是直线)。可用一个质点的运动代 替刚体的运动。

刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过的角度都相 同，因而用角量描述刚体的运动。

刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面)做半径不同的 圆周运动，其圆心都在这条固定不动的直线(转轴)上；

定轴转动特征

刚体运动时，刚体上的两点固定不动，根据刚体的定义可知，这两 点连线上的所有点也静止不动，过这两点的直线称为转轴，这种运 动称为定轴转动。

§10.2 定轴转动

1.刚体定轴转动的描述

①角坐标

( ) t

   定轴转动的运动学方程

P′(t+dt)

z

O

.

ω

x r

.

  由于各个质点在相同时间内都转过 ω

了相同的角度，引入角量描述将非 常方便

一般规定：面对z轴， 逆时针转动为 正，顺时针转动为负。

 ^为 t时间内刚体所转过的角度.

②角位移

③角速度（单位：弧度.秒^-1）

Δ 0

lim Δ Δ

t

d t dt

 



④角加速度（单位：弧度.秒^-2）

Δ 0

lim Δ Δ

t

d t dt

 

    角加速度:

刚体定轴转动运动方程

求导 积分

求导

积分

β(t) θ(t) ω(t)

初始条件: t=t₀时,θ=θ₀ ，ω=ω₀ 求导

积分

求导

积分

a(t) r(t) v(t)

初始条件: t=t₀时, r=r₀ ,v=v₀

( ) d  t dt

0 0^t ( )t dt

  



t dt

  

( ) d    t dt

0 0^t ( )t dt

 

 

 

0 0

0^t ( )t dt 0^t 0^t ( )t dt dt

   ^{ }  ^ ^{  }

  







( ) d t dt

  

对于匀变速转动  =常量，我们可得

2 2 2

0 0 0 0 0

1 , 2

t t 2 t

       ，          （  ）

角量与线量的关系

线量——质点做圆周运动的位移 、速度 、加速度 角量——描述刚体转动整体运动的

i i

s   R

2 i 2

in i

i

a v R

R 

 

i i

a

 

R v   R

路程:

线速率:

切向加速度:

法向加速度 :

   ^{， ，}

x

y

z

r 

z 

Ri

参考点O选在转轴上

i i

i

R z

r     

每一个质元做圆运动的角速度和角加 速度是相同的，它们是整个刚体的运 动状态量。第i个质元

r v a

O

角加速度：

d dt

  

 ^

 ^

 ^

z z

 0

 

角速度矢量：规定角速度的方向沿 转轴且与刚体转动方向成右手螺旋 系统。

刚体作定轴转动，令转轴与 z 轴 重合，则有

z z

e d e dt

   

z z

e d e dt

   

角量与线量的矢量关系式为：



α O

P

r

v    r

a d r r

 dt

 

   

( ) a

     r

v    r

 

dv d

a r

dt dt 

  

d dr

dt r dt

 

   

( )

r r

  

    

,

( )

a

   r a      r

O

3.刚体定轴转动的角动量



r

Ri

v

i

O

mi

z

Li

Li

如图所示，考虑以角速度 绕z轴转动 的一个刚体，其上任一质元 相对于 原点O的角动量为

 m

 

( )

i i i i i i i

L   r m v  m r    r

2 _i / 

 

由质点组角动量的定义

 

i i i i

i i

L   L   m r    r

( ) ( ) ( )

a   b c  a c b    a b c

 

2

i i i i

i

m r ^     r r ^ 

 

故角动量 与角速度 成线性关系，但一般说来它们不在同一方 向上。在直角坐标系下



i i x i y i z

,

r  x e  y e  z e    e

L

若z 轴是刚体的对称轴，前两项的贡献为零，则刚体的角动量就与 其角速度的方向相同。刚体角动量沿着角速度方向的分量为

2 2

( )

z i i i z

i

L  ^ m x  y ^  I 





所以有

2 2 2

( )=

z i i i i i

i i

I 





 

2 1

n

i i i i

i

L m r

 



 





2 2 2

( ) ( )

i i i i z i i x i y i z

i

m ^ x y z









2 2

( )

i i i x i i i y i i i z

i

i i

m x z e m y z e m x y e

   

         

 









刚体绕转轴z的转动惯量

4.转动定律

由质点系的角动量定理

ex

M dL

 dt

考虑到刚体角动量 L_z  I_z



z

M d I

dt

 

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体 的转动惯量成反比。

( _z )

z z z

d I d

M I I

dt dt

  

   刚体定轴转动定律

z z

M dL

  dt

z 0 dI

dt 

当 时，有

z z

F ma M I 

 

 



平动问题

力对转轴上任一参考点的力矩矢量沿转轴方向的分量为力对转 轴的力矩:

M   r F

: R F 

z

 d

O′ P

O

r z

讨论： ^{力对转轴的力矩}

R

Fz

F_

( R z ) ( F

F

)

   

z z

R F R F z F z F





   

   

: z F 

沿Oz轴

z

0 z F  

垂直于Oz轴

z

:

R F 

M e

  R F

结论： 力矩沿着z 轴的分量为

z

 d

O′ P

O

r z

R

Fz

F_ F

大小： ^{F R}_ ^sin



方向：沿 R F _ 方向，即沿转动轴的方向

当合外力矩M_z=0 时，刚体沿着角速度方向的角动量守恒，即

2 2 2

1 1 1

2 2 1 1

( )

z

z

t I

z z z z

t M dt I ^ d I I I



  

  

 

在 t₁ 到 t₂ 时间内：

由转动定律

5.刚体角动量守恒定律

z

=

I  const

刚体角动量守恒定律：当作用在刚体（或刚体组系统）上的外力 对固定转轴的合力矩为零时，这刚体（或刚体组系统）对该轴的 角动量守恒。

( _z )

z

M d I

dt

   M dt_z  d I( _z) ^{转动定律的微分形式}

转动定律的积分形式

刚体角动量守恒定律

说明：

角动量保持不变是转动惯量与角速度的乘积不变。 如果转动惯 量不变, 则角速度也不变; 如转动惯量改变, 则角速度也改变。

转动系统有多个物体(刚体或质点)组成 角动量守恒定律的形式为

,0 ,0

iz i iz i

i i

I   I 

 

系统内各物体的角动量必须是对同一固定轴而言。

北

南 北

南

23˚27′

① I_z不变，角速度ω的大小和方向均不变

例如:地球所受的力矩近似为零，地球自转角速度的大小方向均不 变。地球赤道平面与黄道平面（公转轨道）的夹角23˚27′保持不 变。地球在轨道上不同位置，形成春、夏、秋、冬四季的变化。

② I_z可变,ω亦可变，但I_z ω乘积不变 例如：茹可夫斯基凳

用外力矩启 动转盘后撤 除外力矩

张臂 大 小

收臂 大 小

滑冰过程中忽略脚底摩擦力矩的作用，角动量守恒

1 1



z z

I  I  



2 z z

I

 I 

张臂

大 小 先使自己

转动起来 收臂

大 小

③刚体组角动量守恒

轮、转台与人系统 初态

全静

人沿某一转 向拨动轮子

, =0

ex z iz iz i

i i

M





若 ，则

I

I

iz 0

i

L 







0

=

I I

I I

 

 

 

 

人台 人台 轮 轮

人台 人台 轮 轮

末态

导致人台 反向转动

刚体绕定轴Oz的转动惯量





z i i i i i i i i

i i

I 





y_i x z

m_i

O

R_i

x_i y

z_i

R_i

物理意义：刚体定轴转动惯性大小的量度。

转动惯量的计算

质量离散分布的刚体 ^{z i( i2 i2)}

i

I 



m1

m2

R

R

单位：kg·m² 量纲：ML²

其中R_i为质元m_i到 转轴的垂直距离

若质量连续分布: I_z 



质量线分布(质量线密度为)：dm=dl

质量面分布(质量面密度为)：dm=dS

质量体分布(质量体密度为)：dm=dV

几种典型形状刚体的转动惯量计算

（1）均匀细棒

a) 转轴过中心与杆垂直

I   r dm

O dm z

/ 2

l l / 2 b) 转轴过棒一端与棒垂直

I   r dm

z

l

2 2 2 l

l

x m dx

 l





2 0

l m

x dx





可见转动惯量与刚体质量、质量分布、

轴的位置有关。

（2） 均匀细圆环

转轴过圆心与环面垂直，取

, dm   dl

R m

 

 2

R O

dm z

m

（3）均匀圆盘绕中心轴的转动惯量

I   R dm

R ^R dl





 ^{ mR}

m

r dr O

πR2

σ  m 在盘上取半径为r，宽为dr的圆环

r r

m 2 d

d 

 

2 3

d 2 d

dI  r m 



I 





2



2 R σ 

 圆盘绕轴的转动惯量为：

2

2

1 mR



（4）均匀薄球壳(半径R、质量m)绕直径的转动惯量 该球壳的质量面密度为

4 R2

m





将球壳划分为许多小圆环，环面积为:

r

 R



2

ds   r Rd  

4 3

2

sin

I   dI   R 

  d

2

sin

dm   dS   R   d

圆环质量：

圆环绕轴的转动惯量：

dI  r dm

所以球壳的转动惯量为

2  R

sin   d



2 2

( sin ) 2 R   R sin   d



4 3

2  R sin   d



4

0

3 1

2 cos cos 3

4 12

R



 ^   ^

      

4 2

8 2

3  R 3 mR

 

M R

dm   dV ^3m

^{r dr}

 R

4 2

3 0

2 2

5 m

I dI r dr mR

   R  

把球体看作无数个同心薄球壳的组合。在球体上取半径为r，厚 度为dr的球壳，该球壳的质量为

该球壳的转动惯量为

2 4

3

2 2

3

dI r dm m r dr

  R

该球体的转动惯量是

3

4 2

4 3

m r dr

R

 



（5）均匀球体(半径R、质量m)绕直径的转动惯量

几种常见刚体的转动惯量总结

I  mr2

r _m

质量为m的质 点绕轴转动

质量为m长为l的均匀细棒绕轴转动

1 2

I  12ml

轴在中心

1 2

I  3ml

轴在一端

1 2

I  2mR

R O m

质量为m半 径为R的均 匀 圆 盘 或 圆 柱 体 绕 轴转动

I  mR2

R O m

质量为m半 径为R的均 匀 圆 环 绕 轴转动

2 2

I  3mR

质 量 为 m 半 径 为 R 的 均 匀 薄 球 壳 绕

R 轴转动

m O

2 2

I  5mR

质 量 为 m 半 径 为 R 的 均 匀 球 体 绕 轴

R 转动

m O

说明：

①刚体的转动惯量是由总质量、质量分布、转轴的位置三个因素 决定;

②同一刚体对不同转轴的转动惯量不同, 凡是提到转动惯量, 必 须指明它是对哪个轴的才有意义。

C Ri

d 

M

N

P

Q 取两个互相平行、间距为 d 的转轴

其中一个转轴通过刚体质心C

i i

R  R   d

平行轴定理：

I

 I

 md

m

推论：刚体沿任何方向转动，绕通过质心的转轴的转动惯量最小。

(1)平行轴定理

6.有关转动惯量的定理

y_c

x_c y_i

y

y_i' y'

x_i x_i'

x x' m_i d

C O

i i i 2 i i i

i i i

m R R  m R d m d d









   

MN i i i i i i

i i

I 





2 2

i i 2 i i

i i

m R  m R d md







2

IC md

 

2

C i i

i

I 



x

x

y y

Ri

z

m

对于如图所示的薄板状刚体，取z 轴垂直此平面，x、_{y轴取在平面。}

2

y i i

i

I 



垂直轴定理：

z y

x

I I

I  

(2)垂直轴定理（适用于二维平面刚体）

(3)组合定理

薄板绕Ox轴的转动惯量：

2

x i i

i

I 



薄板绕Oy轴的转动惯量：

薄板绕Oz轴的转动惯量：

2

z i i

i

I   m R

由几个部分组成的刚体对某轴的转动惯量，等于刚体各部分对该 轴的转动惯量之和——转动惯量的组合定理。

2 2

i i i i

i i

m y m x

    ^{  I}

^I

例题1: 如图,圆环质量 ,半径R，短棒质量 ，长度d，

求对l轴的转动惯量。

m

 

1 2

1

1

2

1 m R m R d

I   

d l

m

2

2

1 2

1 I m R I

I







 

1 2

1 2

2

2

1 3

1 m d m R m R d

I    

I_x

解：圆环转轴通过直径的转动惯量，

根据正交轴定理有

根据平行轴定理，圆环对转轴l的转动惯量为

因此，整个元件对l轴的转动惯量为

7.转动定律应用举例

当系统中既有转动物体,又有平动物体时, 用隔离法解题。对转动 物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方程。

①明确已知条件和待求量，确定研究对象；

应用转动定理和牛顿第二定律解题的思路

②取隔离体，受力分析；

④计算力矩和转动惯量；

③选坐标，应用转动定理或牛顿第二定律列方程；

⑤由约束关系补充运动学方程；

⑥求解，讨论。

z z

F  ma , M  I



Cm3

A B

R

例题2：如图，一轻绳跨过一定滑轮C，滑轮视为匀质圆盘，绳的 两端分别悬有质量为m₁和m₂的物体A和物体B，m₁<m₂．设滑轮的 质量为m₃，半径为R，滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计，绳与 滑轮之间无相对滑动．试求：(1) 物体的加速度和绳的张力；(2) 若不计滑轮质量，结果如何？

解：(1)分别取A、B为质点，取图示Oy坐标系，受力分析如图。

m g1

m g2

T2

a

T'1 T'₂ T1

a



C绕定轴转动，由转动定理得

由角加速度和切向加速度的关系得



   

a m g

m T

a m g

m T

2 2

2

1 1

1

: B

: A

2 1

T R T R^  ^  I





由牛顿第二定律得

C为刚体，受力分析如图。

O y

联立以上各式得

m g m

m

m a m

3 2

2 1

1 2





 

2

3 1 1 2 2

1

I  2 m R ，TT ，T T

m g m

m

m m m

T m

2 2 2

3 2

1

1 3 2

1

1  

 

m g m

m

m m m

T m

2 2 2

3 2

1

2 3 2

1

2  

 

(2)当m₃=0时有

m g m

m T m

T

2 1

2 1 2

1

2

 

 g

m m

m a m

2 1

1 2



 

T₁≠T₂

例题3： “打击中心”问题

细杆：质量为m，长度为l ，轴O，在竖直位置静止。

若在某时刻有力作用在A处，求轴对杆的作用力。

l

.

.

.

F

F

mg

F

如图示，除力F外，系统还受重力、

轴的支反力等。但这两个力对轴的力 矩＝0。只有F对细杆的运动有影响，

对转轴O的力矩为：

解：可通过转动定律求细杆的转动，

再求质心加速度。利用质心运动定理 求支反力。

应用转动定律

M  l F0

( _{x x y y}) _c F  mg  F e  F e  ma

l

.

.

.

F

F

mg F

M  I

进一步应用质心运动定律可得

0 0

2

3 l F l F M

I I ml



   

质心运动定律分量式：

0 2

3l F

  ml

0

2

3

2 2

2 0

x c

n y cn

l l

F F F ma m F

l F F mg ma m l

  



     



    



3 0

2 1

y

x

F mg

F l F

l



    

  



所以有

0

0, 2

x 3

F  l  l

0

0, 2

x 3

F  l  l

0

0, 2

x 3

F  l  l

35

• 网球拍

the sweet spot

解：取子弹与杆组成的系统作为研究对象。系统角动 量守恒

 

,

0

1

mv l mvl 3 Ml 

0

1 v  4 v

9

4 mv

  Ml 故可得

再次见到，用系统的方法处理问题，

简捷明了。

例题4：一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出 后速度损失 3/4，求子弹穿出后棒的角速度  ^。已知

轴处自由 。

mv M

mv₀

l

§10.3 刚体定轴转动的动能定理

i i i

dW  F dr 

对有限角位移

作用于刚体的外力的功，等于外力对该轴 的合力矩与转角的乘积。

力矩的功率： ^{P dW}

 dt 1.力矩的功

Fi

O

z

d

m_i

ri

dri

 刚体中质元 m_i 上的外力 F_i 的作用下位移 dr_i , 则元功为

注：力矩的功实际上是力的功在转动中的特殊形式！

( ) ( ) a  b c   b a c

vi

( )

i i

F  r dt

  

i i

F v dt

  ( r

F dt

)



      M dt

,

M

 dt

  M d



0 0

zd

W dW M

 

 

^







i i

dW dW

  

i

M d  M d 

  

z z

M d M

dt

 

 

2. 定轴转动刚体的动能

当刚体绕定轴转动时，其动能为所有质点作圆周运动动能的总和。

任意质元m_i的动能为：

2 k

1

i 2 i i

E  m v

k ki

E 



则刚体的动能为 1 2

2m v^{i i}









2 k

1 2 ^z

E  I  刚体转动动能 3. 定轴转动刚体的动能定理

0 z

W ^ M d

 





外 z

I d d dt 











0

k k

W

 E  E

上式即为：

注：刚体的内力不作功。

刚体定轴转动的动能定理：作用于刚 体的外力 对固定轴的力矩所做的功等 于刚体绕定轴转动动能的改变量。

4. 刚体的重力势能

刚体和地球系统的重力势能：

m g

r

O r

以地面为零势能点，质元 m_i的重力势

z

能为

p i i

i

E m gz

 



刚体的重力势能与质量集中在质心上的一个质点的重力势能相同。

i i i

m z mg m

 

 

  



mgzc



若刚体在转动过程中, 只有重力矩做功, 则刚体系统机械能守恒:

1 2

const.

2 I^z



质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)

质点的平动 刚体的定轴转动

速度 角速度

加速度 角加速度

质量m, 力F 转动惯量I _z, 力矩M_z

力的功 力矩的功

动能 转动动能

重力势能 重力势能

v dr

 dt

dt d 

  a dv

 dt

dt d 

 

2

2

1 mv

E

 1

k

2

E  I 

b

W  

F dr 

W

M d





 

E

 mgz E

 mgz

质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(二)

质点的平动 刚体的定轴转动

运动定律 转动定律

动量定理 角动量定理

动量守恒 角动量守恒

动能定理 动能定理

机械能守恒 机械能守恒

F  ma M

 I



( ) F d mv

 dt (

)

z

d I ω M  dt

const.

k p

E  E 

W   E

. const

 

i

i i

v

m  I

  const.

W   E

const.

k p

E  E 

例题5: 均质杆的质量为m，长为l,一端为光滑的支点。最 初处于水平位置，释放后杆向下摆动，如图所示。

（1）求杆在图示的竖直位置时，其下端点的线速度v；

（2）求杆在图示的竖直位置时，杆对支点的作用力。

O

FN

e

e

1

2 0

mgz

 I  

c 2

z   l ²

3 1 ml I 

联立得 3

g 3

v l l gl



  

C E_p=0

W

(2)根据质心运动定理 F_N W  ma_c 分量式

2 Nn

N

c c c

F mg m v r F _ ma _

  



 



杆处于铅直位置时不受力矩作用，由转动定理，角加速度为零, 所 以

c c

0

a

  r   F

 0

1 1

, 3

2 2

c c c

r  l v 



2

N Nn

3 5

2 2

c c

F F mg m v mg mg mg

   r   

【思考题】杆子在任意位置时的角速度、角加速度以及对支点处 的作用力。

§10.4 平面平行运动

刚体作平面平行运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离，

或者说刚体中各点都平行于某一平面而运动。

1.刚体的平面运动特点

2.平面平行运动的运动方程

建立坐标系Oxyz，使平面图形在Oxyz面内, z轴与屏幕垂直。

①每一质元轨迹都是一条平面曲线；

②刚体内垂直于固定平面的直线上的各点，运动状况都相同；

③可用与固定平面平行的平面在刚体内截出一平面图形来代表刚体。

C C r

r A

1 2

2´

O

x

y

x

y

刚体平面运动 = C点平动 + 绕C点的定轴转动

在平面上任取一点C，称为基点，通常我们选择质心为基点，以基 点C为坐标原点建立坐标系Cxyz ，两坐标系对应的坐标轴始终两 两平行。

( ) ( ) ( ) ( )

C C x C y

r t x t e y t e

  t

 

 

 

转轴与固定平面垂直

平面平行运动的运动方程

刚体上任意一点A点相对于Oxyz系的位置矢量 r

r   r

r

C

C

dr dr dr

v v v

dt dt dt

 

    

是A点相对于C点的位矢，由平动参考系的速度合成率可得

刚体绕过基点的转动角速度为



v ^    r ^ v  v

   r ^

2. 刚体平面运动的基本动力学方程

质心的运动

利用质心运动定理，求质心的运动

ex c

F  ma

刚体绕质心的转动

平面平行运动有3个自由度，利用上述三个方程完全描述运动，称 为刚体平面运动的基本动力学方程。

选质心坐标系 Cxyz ,设z为过质心而垂直于固定平面的轴， 在 质心系中，角动量定理的形式和惯性系中相同

( _cz )

z

z cz

d I

M dL I

dt dt

 

    

z cz

M   I 

( )

a  a

     r ^    r ^

刚体上任意一点的加速度为：

,

,

c ex x

c ex y

mx F my F

 

 



刚体平面平行运动 = C点平动 + 绕C点的定轴转动

3. 刚体平面运动的动能和功能原理

由质点系动能的柯尼希定理知，刚体平面平行运动中动能可以表 为质心的平动动能与绕质心的转动动能之和，即

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

k C i i C cz

E  mv   m v ^  mv  I 

由质心运动定理

2 2

c

ex

m d r F

dt  ²

1

2 2

0

1 1

( ) ( )

2 2

r

c c ex c

mv t  mv t 



cz z

I d M

dt

 _{ } ²

1

2 2

0

1 1

( ) ( )

2 I^cz t 2 I^cz t ^ M d^z

   



2 2

1 1

( ) ( )0 ^r

k k ex c z

E t E t W r F dr ^ M d

 ^ 

  





如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然导致机械能守恒，即

2 2

1 1

2mv^c  2 I^cz  E^p  const

当柱体绕中心转动，其中心轴前进的距离

x

 R  v

 R  a

 R 



R 

R

x

C

2R 对时间微分

4. 滚动

有滑滚动——接触面之间有相对滑动的滚动(摩擦力不够大)；

①纯滚动的运动学判据：

x

 R   v

 R   a

 R 

再对时间微分

无滑滚动——接触面之间无相对滑动的滚动(摩擦力足够 大) 也 称纯滚动。

②静摩擦力不作功

如图，静摩擦力做功可以用刚体平 面平行运动的功能原理写为

c z

W   f dr    M d ^ 

根据运动学判据， 有

x R 

  

  ⁰

W f x R 

     





x

v

R

f x fR 

   

③确定静摩擦力的方向：假定两刚性表面不存在摩擦，判 定刚体与承滚面相接触的那一点将向何方运动，则作用在此 刚体的静摩擦力方向必与其反向。

例题6：一质量为m,半径为R的均质圆柱,在水平外力F作用下,在 粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离 为L,求: 质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。

F

m

R ac

f 解: 设静摩擦力f 的方向如图所示, 则由质心运动方程

F  f maC

圆柱对质心的转动定律：

FL fR  IC



aC  R



圆柱对质心的转动惯量为 1 2

C 2

I  mR

L