第 1 章 極限與函數

1-1 數列及其極限

1. 判斷下列各無窮數列為收斂或發散數列﹐若為收斂數列﹐求其極限﹒

(1) n ₂1 n

 (2) 1 n2

n

 (3) 2 1 3

n

 n (4)





2 2

1 1

lim 1 lim 0

1

n n

n n n

 n 

    ﹒

(2)

2

1 lim1 lim

1

n n

n n n

 n 

   ﹐

因為當 n 趨向無限大時﹐ 1

nn 會趨向負無限大﹐

所以 1 n2

n

 為發散數列﹒

(3) 2 2 2

lim lim

1 3 1 3 3

n n

n n

n

    

  ﹒

(4) 因為 1.01  1﹐所以數列





(5) 因為 1 0.91﹐所以數列 0.9ⁿ 為收斂數列﹐且^{lim 0.9}_n

 

即^{lim 1 0.9}





 

n   n  ﹒

第 1 章 極限與函數

2. 求下列各無窮數列的極限﹕

(1)

2 2

1 1 n n



 (2) 999 999

n n



 (3)

2 2

n n n n



 (4)

2 3

2 3 4 1 n n n

 



(1)

2 2

2

2

1 1

lim 1 lim 1

1 1 1

n n

n n

n

n

 

   

  ﹒

(2)

999 1 lim999 lim 1

999 999 1

n n

n n

n

n

 

    

 

﹒

(3)

2 2

1 1

lim lim 1

1 1

n n

n n n

n n

n

 

    

  ﹒

(4)

2 3 2

3

3

2 3 4

2 3 4 0

lim lim 0

1 1 1

n n 1

n n n n n

n

n

 

 

    

  ﹒

3. 求下列各無窮數列的極限﹕

(1) 2 1

lim 2

n

n n

n n



   

  

  (2)

2 2

1 1

lim 1 1

n

n n

n n



    

   

 

(3) 1 2 ₂3

lim 1

n

n

 n

   

 (4)

2 2 2

2 3

1 2

lim 2

n

n

n n



  



(1) 2 1 2 1

lim lim lim 2 1 1

2 2

n n n

n n n n

n n n n

  

 

      

   

  ﹒

(2)

2 2 3 2 3 2 2

2 2

1 1 1 1 2 2

lim lim lim 2

1 1 1 1

n n n

n n n n n n n n n n

n n n n

  

              

     

  ﹒

(3)

 

    

2

1

1 2 3 2 1

lim lim lim

1 1 1 2 1 2

n n n

n n

n n

n n n n

  



      

    ﹒

(4)

  

 

2 2 2

2 3 2

1 2 1

1 2 6 1 1

lim lim lim

2 2 1 6 6

n n n

n n n

n n

n n n n n

  

 

      

  ﹒

4. 求下列各無窮數列的極限﹕

(1) 3 2 lim 5

n n

n n

 (2)

1 1

3 2 lim3 2

n n

n n

n



 



 (3)

2 2

3 3 4

lim 2 1 1

n

n n n

n n



    

    

  (4) 1 1 1 1₂

lim 1 1 1 1

4 9 16

n^ n

         

     

     

(1) 3 2 3 2 3 2 3 2

lim lim lim lim lim 0

5 5 5 5 5 5 5

n n n n

n n n n

n n n

n n n n n

 

 

                        ﹒

(2) 將

1 1

3 2 3 2

n n

n n







 分子分母同除以 3ⁿ得到 1 2 2

3 3 2

3

n

n

    

    

﹐

因此

1 1

2 lim 1 2 2

1 2 3

3 2 3 1 2 0 1

lim lim

3 2 2 2 3 0 3

3 lim 3

3 3

n n

n n n

n

n n n

n n

n

 

  



   

      

    

         

           

﹒

(3) 因為

2 2

2

3 1

3 3

lim lim

2 1 2 1 2

n n

n n n

n

n

 

  

 

     

  

    

 

﹐

3 4 3 4

lim lim 3

1 1 1

n n

n n

n

n

 

  

 

     

  

    

 

﹐

所以

2 2

3 3 4

lim 2 1 1

n

n n n

n n



    

    

 

2 2

3 3 4 3 9

lim lim 3

2 1 1 2 2

n n

n n n

n n

 

       

             ﹒

(4) 因為 1 1 1 1₂

1 1 1 1

4 9 16 n

           

       

       

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 2 3 3 4 4 n n

             

                          

1 3 2 4 3 5 1 1

2 2 3 3 4 4

n n

n n

 

     

          

1

2 n

n

  ﹐

所以 ₂

1 1

1 1 1 1 1 1

lim 1 1 1 1 lim lim

4 9 16 2 2 2

n n n

n n

n n

  

 

           

     

      ﹒

5. (1)已知

2 4

lim 3

2 3

n

an bn

 n

  

 ﹐求常數 a ﹐ b ﹒ (2)已知

2 1

lim 2

1

n

n an b

 n

    

  

  ﹐求常數 a ﹐ b ﹒

(1) 因為

2

4

lim 4 lim 3

2 3 2 3

n n

an bn an b n

n

n

 

     

 

﹐所以a0﹐而 3 2

b ﹐即b6﹒

(2)

2 2 2

1 1

lim lim

1 1

n n

n n an an bn b

n an b n

 

           

     

   





  



lim 1

n

a n a b n b

 n

    

 

    



1

lim 2

1 1

n

a n a b b n n



    

 

 ﹒

因此﹐ 1 a 0﹐^{ }





6. 已知 3

lim 2

3 2

n n

n a

 n

 

 ﹐且 lim ⁿ

n

a

 n 存在﹐求 lim ⁿ

n

a

 n ﹒

因為 3

lim 2

3 2

n n

n a

 n

 

 ﹐且 lim ⁿ

n

a

 n 存在﹐將 3

lim 2

3 2

n n

n a

 n

 

 變形為

lim 3

3 3 lim

lim3 lim 2

3 2 3 2 3 3

n n n

n n

n

n n

a a a

n a n n n

n

n

 

 

  

   

     

  ﹐

因此可得 3 lim ⁿ 6

n

a

 n

  ﹐所以 lim ⁿ 3

n

a

 n   ﹒

7. 若數列 1

3n5﹐ 5

3n5﹐ 9

3n5﹐ ﹐4 3 3 5

n n



 為等差數列﹐且這 n 項的算術平 均數為a ﹐則 lim_{n n}

n a

  ﹒

 

2

1 5 9 4 3

1 1 5 9 4 3

3 5 3 5 3 5 3 5 3 5

n

n n

a n n n n n n n

    

  

           

 

2

2 2

1 4 3 2 2

3 5 3 5

n n

n n

n n n n

 

  

  ﹐

所求

2 2

2 1

2 2

lim lim lim

3 5 3 5 3

n n n n

n n n

a n n

n

  

 

  

  ﹒

8. 試證﹕當正整數n2時﹐不等式 1 1 1 1

2 3 4 1 1

n

n n

    

  恆成立﹒

(1) 當n2時﹐左式 1 1 5 2 3 6

   ﹐右式 2

 3﹐因此5 2

6 3﹐原式成立﹒

(2) 設 nk（k2）時原式成立﹐即1 1 1 1

2 3 4 1 1

k

k k

    

  ﹐則

當n k 1時﹐

左式 1 1 1 1 1 1

2 3 4 1 2 1 2

k

k k k k

       

    ﹐

右式 1

2 k k

 

 ﹐ 將兩式相減﹐得

左式右式 1 1

1 2 2

k k

k k k

   

   ^







因此左式大於右式﹐即1 1 1 1 1 1

2 3 4 1 2 2

k

k k k

      

   ﹐

所以原式在n k 1時也成立﹒

故由數學歸納法可知﹕

當正整數n2時﹐不等式1 1 1 1

2 3 4 1 1

n

n n

    

  恆成立﹒