3-2-4空間中的直線與平面-直線方程式

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(1)第三冊 2-4 空間中的直線與平面-直線方程式【思考】平面上的直線是利用直線的傾斜程度(斜率)、方向向量或法向量來描述的，再加上直線上一點，就可以求出直線方程式。那麼空間中的直線是如何來描述的？是否也可以用傾斜程度、方向向量或法向量，然後再加上直線上一點以求出直線方程式？【定義】 1. 直線方向向量：與直線 L 平行的任意一個非零向量，都稱為直線的方向向量。 2. 直線方程式-參數式： v 設 v = (l , m, n) 為直線 L 的方向向量，且 A( x0 , y 0 , z 0 ) 為 L 上一點， ⎧ x = x0 + lt 則 ⎪⎨ y = y 0 + mt , t 為實數，稱為直線 L 的參數式，其中 t 稱參數。 ⎪ z = z + nt 0 ⎩ 註：. v v v. O P = O A + A P = ( x0 , y0 , z 0 ) + t (l , m, n) = ( x0 + lt , y0 + mt, z 0 + nt ) 。 v v A P L. O 3.. 直線方程式-對稱比例式(點向式)： v 設 v = (l , m, n) 為直線 L 的方向向量，其中 l , m, n 均不為 0 ，且 A( x0 , y0 , z0 ) 為 L 上一點， x − x0 y − y0 z − z0 則 = 稱為直線 L 的對稱比例式。 = l m n ⎧ x − x0. y − y0 m 。 ⎪⎩ z − z0 = 0. (1)若 n = 0 且 l , m 均不為 0 時，直線 L 可表示為 ⎪⎨ l. =. ⎧ x − x0 ⎪ l =t (2)若 m = n = 0 且 l 不為 0 時，直線 L 可表示為 ⎪⎨ y − y = 0 。 0 ⎪z − z = 0 0 ⎪ ⎩. 4.. 直線方程式-兩面式：設兩相異平面 E1 : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 , E2 : a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 不平行， ⎧a x + b1 y + c1 z + d1 = 0 則⎨ 1 表示兩平面 E1 與 E2 的交線， ⎩a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 依此可求出交線的參數式或對稱比例式。. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P17.

(2) 5.. 直線方程式-兩點式：過 A( x1 , y1 , z1 ) ， B ( x2 , y2 , z2 ) 兩點之直線方程式為. ⎧ x = x1 + ( x2 − x1 )t x − x1 y − y1 z − z1 ⎪ = = L: 或 ⎨ y = y1 + ( y2 − y1 )t , t ∈ R 。 x2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1 ⎪ ⎩ z = z1 + ( z 2 − z1 )t 【問題】 1. 直線的參數式、對稱比例式、兩點式與兩面式之間是否可以互相轉換？ ⎧x + y − 2z = 0 ⎪ 2. ⎨ x − 2 y + z = 1 是否表示空間中的直線？ ⎪ 2x − y − z = 1 ⎩ ⎧x + y = 0 是否表示空間中的直線？ ⎩x − y = 0. 3. ⎨. ⎧x = 0 是否表示空間中的直線？ ⎩y = 0. 4. ⎨. ⎧ x = 1 + 2t , t ∈ R 是否表示空間中的直線？ ⎩ y = 3 − 4t. 5. ⎨. ⎧ x = 1 + 2t ⎪ 6. ⎨ y = 3 − 4t , t ∈ R 是否表示空間中的直線？ ⎪ z=4 ⎩. 7. 2 x + 3 y + 6 = 0 是否表示空間中的直線？【問題】 1. 試問如何判斷空間中兩直線 x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 L1 : = = , L2 : = = 的交點為無限多點(重 a1 b1 c1 a2 b2 c2 合)、一點(共平面)或無交點(歪斜或平行)？解： (1)若兩直線方向向量平行，則表示兩直線平行或重合。接著判別 L1 上的點是否在 L2 上，即可分辨出為平行或重合。 (2)若兩直線方向向量不平行，則個別設參數後，判斷為沒有交點或是交一點，即可分辨歪斜或交一點。 2. 試問如何判斷空間中直線是在平面上？直線與平面交於一點？直線與平面沒有交點(平行)？解： (1)若直線的方向向量與平面的法向量平行，則表互相垂直，故交一點。 (2)若直線的方向向量與平面的法向量垂直(內積為零)，則表互相平行或直線在平面上，接著判別直線上的點是否在平面上，即可辨別出平行或直線在平面上。 (3)若直線的方向向量與平面的法向量的內積不為零，則表示有交點，再利用直線的參數式代入平面可求出交點。. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P18.

(3) 3. 試問如何求出空間中兩平面的交線？解： (1)利用兩平面法向量外積，求出直線的方向向量。 (2)令 z = 0 ，任取兩平面上之任一共同點，即直線上之點。 (3)寫出直線參數式。【定義】 1. 歪斜線： x − x2 y − y2 z − z2 x − x1 y − y1 z − z1 空間中兩直線 L1 : = = , L2 : = = 既不平行 a2 b2 c2 a1 b1 c1 也沒有交點，稱此兩直線互為歪斜線。 2. 公垂線：與兩歪斜線都垂直相交的直線稱為公垂線。註：設 P ∈ L1 , Q ∈ L2 且 PQ = d ( L1 , L2 ) ，則直線 PQ 即是公垂線。 3. 兩歪斜線的距離：公垂線在兩歪斜線間的線段長度，稱為兩歪斜線的距離。註：設 L1 , L2 為不平行且不相交的兩直線，則在 L1 , L2 上分別有一點 A, B 使直線 AB 為 L1 , L2 的公垂線，此時 AB 即為 L1 , L2 兩線間的距離。【方法】 1. 點到直線的距離： ⎧ x = x0 + at ⎪ 空間中點 P( x1 , y1 , z1 ) 到直線 L : ⎨ y = y0 + bt ( t 為實數)的距離求法有如下幾 ⎪ z = z + ct 0 ⎩ 種： (1)(求交點法)(平面適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的直線 L' ，再求兩直線的交點 Q ，求出 PQ 即可。 (2)(配方法)(平面及空間都適用) 求出直線 L 上的點 Q 的參數，再配方(或用微分)求出 PQ 的極小值即可。 (3)(面積法)(平面及空間都適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，. vv v v v v v v v v v v v. 則以 P Q , P R 所圍成的三角形面積為 1 | P Q |2 × | P R |2 − ( P Q ⋅ P R ) 2 ， 2 故 d ( P, L ) =. | P Q |2 × | P R |2 − ( P Q ⋅ P R ) 2. v v v. | PQ × PR |. 。 = | QR | | QR | (4)(商高定理法)(平面及空間都適用) v QP ⋅ u | Q P |2 −( v ) 2 即是所求，其中 Q( x0 , y0 , z0 ) 為直線上的任一點。 |u |. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P19.

(4) (5)(夾角法)(平面及空間都適用) v 若 Q 為直線上任一點，方向向量 v = (a, b, c) ， v 求出 P Q , v 的夾角 θ ，. v v v v v v v v v. 則 | P Q | sin θ 即是所求。 (6)(內積法)(平面及空間都適用) v 若 Q 為直線上任一點，方向向量 v = (a, b, c) ， v 求出使 P Q ⊥ v 的參數 t ，則 | P Q | 即是所求。 (7)(外積法)(空間適用) 若 Q, R 為直線上任兩相異點，求出 Q R × Q P 即表示所圍成平行四邊形的面積，則. QR × QP. 即是所求。 | QR | (8)(平面法)(空間適用) 求過點 P 且與直線 L 垂直的平面 E ，再求出直線 L 與平面 E 的交點 Q ，求出 PQ 即可。 2. 兩歪斜線的距離：空間中兩歪斜線 L1 :. x − x1 y − y1 z − z1 x − x2 y − y2 z − z2 = = = , L2 : = 的距離 a1 b1 c1 a2 b2 c2. 求法有如下數種： (1)分別假設公垂線與兩直線的交點 P, Q 的參數式 ( x1 + a1 s, y1 + b1 s, z1 + c1 s ) 與 ( x 2 + a 2 t , y 2 + b2 t , z 2 + c 2 t ) ，. v. 則 P Q 與兩直線的方向向量都要垂直，如此可以求出兩個參數值，進而得出公垂線與兩直線的交點 P, Q 。 (2)求包含 L1 且與 L2 平行的平面 E 的方程式，再求 L2 上任一點到平面 E 的距離即是。. 第三冊第二章. 空間中的直線與平面 — P20.

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