單元03-三角的和差角公式

40

甲

正弦、餘弦的和角公式與差角公式

　　第二冊已學過 _{30 ° , 45 ° 與 60 ° 等特殊角的三角比；事實上，利用這些三角} 比可進一步求得_{15 ° 與 75 ° 的三角比。一般而言，如果已經知道 a 和 b 的三角比，} 就可以求得 a+ b 的三角比，我們說明如下。

　　在圖2 中，直角三角形ABE的 ∠EAB = a；首先，在斜

邊AE 上疊上另一直角三角形 AEF，使得 ∠ FAE = b。為方 便起見，令AF = 1，此時 AE = cos b , EF = sin b。 ▲圖₂ 　　圖1 是美國華盛頓州著名的帕斯科．肯納 威克橋；其所有纜線都連接於橋的塔頂，是一 座放射性連接型的斜張橋。當我們知道橋的塔 頂高度與其寬度時，就可以利用本單元要探討 的「三角的和差角公式」來求出纜線之間的夾 角。 ▲圖₁

三角的和差角公式

3

41

3

三角的和差角公式 接著，利用圖_{2 圍出矩形 ABCD，如圖 3 所示。因為} ∠AFD= ∠FAB =a+ b 且

∠CEF=180 ° - 90 ° - ∠ AEB = 90 ° - ∠ AEB =a， 所以

AD = AF sin ∠ AFD = sin (a+ b)， 且

AD = BC = BE + CE =AE sin a + EF cos a =cos b sin a + sin b cos a。 最後，比較以上_{AD 的兩個式子，得}

sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b。

　　同理，由圖_{3 可知}

DF = AF cos ∠ AFD = cos (a+ b)， 且

DF = CD - CF = AB - CF =AE cos a - EF sin a =cos b cos a - sin b sin a。 比較以上 _{DF 的兩個式子，得}

cos (a+ b)=cos a cos b - sin a sin b。

　　以上的證明在 a_{, b , a + b 均為銳角時成立。一般而言，上述的} sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b

與

cos(a+ b)=cos a cos b - sin a sin b

兩式，在 a_{, b 為廣義角時亦成立（證明請見附錄二）。}

　　利用這兩個等式，可由_{30 ° 與 45 ° 的三角比求得 75 ° 的三角比。} ▲圖₃

42

求下列各式的值：

1 sin 75 ° 。

2 cos 23 ° cos 37 ° - sin 23 ° sin 37 ° 。

例題

1

1 sin 75 ° = sin(30 ° + 45 °)=sin 30 ° cos 45 ° + cos 30 ° sin 45 °

= 1

2× 22 + 23 × 22 = 6 + 4 2。

2 cos 23 ° cos 37 ° - sin 23 ° sin 37 ° = cos (23 ° + 37 °)=_{cos 60 ° = 12 。}

求下列各式的值：

1 cos 75 ° 。

2 sin 5 ° cos 55 ° + cos 5 ° sin 55 ° 。

　　接著，透過換算公式可以進一步求得 a- b 的三角比： 因為

cos (- b)=cos b 且 sin (- b)= -sin b， 所以

sin (a- b)=sin (a+(- b))

= sin a cos (- b)+cos a sin (- b)

= sin a cos b - cos a sin b ;

cos (a- b)=cos (a+(- b))

=cos a cos (- b)-sin a sin (- b)

=cos a cos b + sin a sin b。 　　因此，我們有正弦、餘弦的和角公式與差角公式。

解

43

3

三角的和差角公式

sin (a+ b)= sin a cos b + cos a sin b , sin (a- b)= sin a cos b - cos a sin b ,

cos (a+ b)= cos a cos b - sin a sin b , cos (a- b)= cos a cos b + sin a sin b。

正弦、餘弦的和角公式與差角公式

　　利用差角公式，可由30 ° 與 45 ° 的三角比求得 15 ° 的三角比。

求下列各式的值：

1 sin 15 ° 。

2 cos 70 ° cos 40 ° + sin 70 ° sin 40 ° 。

例題

2

1 sin 15 ° = sin(45 ° - 30 °)=sin 45 ° cos 30 ° - cos 45 ° sin 30 °

= ₂2 × 3

2 - 22 × 12 = 6 - 4 2。

2 cos 70 ° cos 40 ° + sin 70 ° sin 40 ° = cos (70 ° - 40 °)=cos 30 ° = ₂3 。

求下列各式的值：

1 cos 15 ° 。

2 sin 80 ° cos 20 ° - cos 80 ° sin 20 ° 。

解

44

　　有些較複雜的式子可先透過換算公式，再用和角公式或差角公式來求值。

求下列各式的值：

1 cos 48 ° cos 12 ° - cos 42 ° cos 78 ° 。

2 sin 67 ° cos 83 ° + sin 23 ° cos 7 ° 。

例題

3

利用餘角關係與和角公式，得

1 原式 =cos 48 °cos 12 ° -sin 48 °sin 12 °=cos (48 ° + 12 °)=_{cos 60 ° = 12 。}

2 原式 =sin 67 °cos 83 ° +cos 67 °sin 83 °=sin (67 ° + 83 °)=_{sin 150 ° = 12。}

求下列各式的值：

1 cos 40 ° cos 70 ° + sin 40 ° cos 20 ° 。

2 sin 200 ° sin 10 ° - cos 200 ° sin 80 ° 。

解

45

3

三角的和差角公式 　　已知 a_{, b 的某個三角比與它們所在的象限，可利用和角公式或差角公式求} 得 a+ b 與 a - b 三角比的值。 已知_{0 < a <} r 2 , r 2 < b < r，且 cos a = 35 , sin b= 1213，求下列各式的值： 1 sin (a+ b)。　　　　2 cos (a+ b)。

例題

4

因為0 < a < r 2且cos a = 35 ，所以利用右圖可得 sin a = 4₅。 因為r 2 < b < r 且sin b = 1213 ，所以利用右下圖可得 cos b = - 5₁₃。 利用正弦、餘弦的和角公式，得

1 sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b = 4

5×

(

- 513

)

+ 35× 1213 = 1665。

2 cos (a+ b)=cos a cos b - sin a sin b = 3 5×

(

- 513

)

- 45× 1213 = - 6365。 已知 a 為第三象限角，b 為第四象限角，且 _{sin a = - 35 , cos b=} 2 3，求下 列各式的值： 1 sin (a- b)。　　　　2 cos (a- b)。 解

隨堂練習

46

乙

正切的和角公式與差角公式

　　我們可以透過商數關係_{tan A = sin A}

cos A ，及正弦、餘弦的和角公式，導出正切 的和角公式：

　　tan(a+ b)= sin_cos((a+ b) a+ b)

= sin _{cos a cos b - sin a sin b}a cos b + cos a sin b

=

sin a

cos a + sin

b

cos b 1 - sin _{cos a}a ・_{cos b}sin b

（分子與分母同除以_{cos a cos b）} = tan a+tan b 1 - tan a tan b 。 　　接著，透過換算公式可以進一步求得 a- b 的正切值： 因為 tan(- b)= -tan b， 所以

tan(a- b)=tan(a+(- b))= tan _{1 - tan a tan (}a+tan(- b)_{- b)} = tan a-tan b

1 + tan a tan b 。

tan(a+ b)= tan a+tan b

1 - tan a tan b , tan(a- b)= tan

a-tan b

1 + tan a tan b 。 其中tan a , tan b 及 tan(a±b) 皆有定義。

47

3

三角的和差角公式 　　練習一道利用正切的和角公式與差角公式之例題。 求下列各式的值： 1 tan75 ° 。

2 tan 72_{1 + tan 72 ° tan 12 °}° -tan 12 ° 。

例題

5

1 tan75 ° = tan(45 ° + 30 °)

= tan 45 ° + tan 30 °_{1 - tan 45 ° tan 30 °} =

1 + 1 3 1 - 1× 1 3 = 3 + 1 3 - 1 = 4 + 2 3 2 =2 + 3。

2 tan 72_{1 + tan 72 ° tan 12 ° = tan}° -tan 12 ° (72 ° - 12 °)=tan 60 ° = 3。

已知 a_{, b 為銳角，且 tan a = 12 , tan b=} 1 3，求 1 tan(a+ b) 的值。 2 a + b 的度數。 解

隨堂練習

48

　　第二冊學過：一條非鉛直線的斜角_{tan 值與其斜率相等。利用此性質並搭配} 正切的差角公式，可以處理兩直線夾角的問題。 在坐標平面上，已知兩直線y = 3x 與 y = 12 x 的斜角分 別為 a 與 b，如右圖所示，求 1 tan a 與 tan b 的值。 2 兩直線的夾角。

例題

6

1 因為直線的斜角 tan 值與其斜率相等，所以 tan a = 3 , tan b = 1 2。 2 因為

tan(a- b)= tan a-tan b

1 + tan a tan b = 3 - 1 2 1 + 3× 1 2 =1， 且 0 ° < a - b < 90 ° ，所以兩直線的其中一個夾角為 a- b =45 ° ， 而另一個夾角為 180 ° - 45 ° = 135 ° 。 　　一般而言，求任意兩直線的夾角時，可先將直線平移使其通過原點（斜角不 變），再利用上例的方法求出夾角。 在坐標平面上，已知兩直線_{y = 3x 與 y = 12 x-1 的斜角分別為 a 與 b，求} 1 tan a 與 tan b 的值。 2 兩直線的夾角。

隨堂練習

解

49

3

三角的和差角公式

丙

倍角公式

　　在和角公式中，若令 a= b = i，則分別得

sin 2i = sin (i+ i)=sin i cos i + cos i sin i = 2 sin i cos i ;

cos 2i = cos (i+ i)=cos i cos i - sin i sin i = cos2 i - sin2 i ;

tan2i = tan(i+ i)= tan i + tan i

1 - tan i・tan i = 2 tan i_{1 - tan}2 _i 。

又因為_sin2 _{i + cos}2 _{i = 1，所以}

cos 2i = cos2 i - sin2 i =(1 - sin2 i)-sin2 i = 1 - 2 sin2 i，

且

cos 2i = cos2 i - sin2 i = cos2 i -(1 - cos2 i)=2 cos2 i - 1。

將以上的公式整理如下。

sin 2i = 2 sin i cos i ,

cos 2i = cos2 i - sin2 i = 1 - 2 sin2 i = 2 cos 2i-1 ,

tan 2i = 2 tan i

1 - tan2 i （其中tan i 有定義且 tan

2

i≠1）。

二倍角公式

50

　　已知 i 的某個三角比與其所在的象限，可利用二倍角公式求得_{2i 的三角比。}

已知r

2 < i < r，且sin i = 35 ，求 sin 2i, cos 2i 與 tan 2i 的值。

例題

7

因為r 2 < i < r 且sin i = 35 ，所以利用右圖可得 cos i = - 4₅且 tan i = - 3 4。 利用二倍角公式，得

sin 2i = 2 sin i cos i = 2× 3₅×

(

- 4

5

)

= - 2425 ; cos 2i = 1 - 2 sin2 i = 1 - 2× 9₂₅ = 7 25 ; tan 2i = 2 tan i 1 - tan2 i = 2×

(

- 3 4

)

1 -

(

- 3 4

)

2 = - 247 。

已知_{270 ° < i < 360 ° ，且 cos i = 34 ，求 sin 2i, cos 2i 與 tan 2i 的值。}

解

51

3

三角的和差角公式

　　已知 _{sin i + cos i 或 sin i - cos i 的值，可利用二倍角公式求得 sin 2i 的值。}

已知_{sin i + cos i = 15 ，求 sin 2i 的值。}

例題

8

將原式的等號兩邊平方，得

(sin i + cos i)2= 1 25 ， 展開得

sin2 i + 2 sin i cos i + cos2 i = 1₂₅ ， 利用平方關係式及二倍角公式，得

1 + sin 2i = 1 25。 故sin 2i = - 24

25。

已知_{sin i - cos i = 13 ，求 sin 2i 的值。}

解

52

　　利用二倍角公式來求三角形的邊長。

如右圖，在△_{ABC 中， ∠ C = 90 ° 且 ∠ BAD = ∠ DAC = i。} 已知_{AC =2 , AD = 5，求 AB 的長度。}

例題

9

因為cos 2i = 2

AB且cos i = 25，所以利用二倍角公式cos 2i = 2cos

2 _{i - 1，} 得 2 AB =2×

(

2 5

)

2 -1 = 2× 4 5 -1 = 35 ， 解得AB = 10 3 。

如右圖，在△_{ABC 中， ∠ C = 90 ° 且 ∠ BAD = ∠ DAC = i。} 已知_{AC = 2 , CD = 1，利用正切的二倍角公式求 BD 的長度。}

　　有了二倍角公式之後，可透過和角公式導出正弦的三倍角公式： sin 3i = sin (2i + i)

= sin 2i cos i + cos 2i sin i

= 2 sin i・cos2 i +(1 - 2 sin2 i)・sin i = 2 sin i(1 - sin2 i)+(1 - 2 sin2 i)・sin i

= 3 sin i - 4 sin3 i。

解

53

3

三角的和差角公式

仿照以上的方式，可得餘弦的三倍角公式（同學可以自行練習）： cos 3i = 4 cos3 i - 3 cos i。

已知_{sin i = 13 ，求 sin 3i 的值。}

隨堂練習

丁

半角公式

　　二倍角與半角為一體兩面的關係，利用二倍角公式可以導出半角公式： 因為

cos 2a = 1 - 2 sin2a 且 cos 2a = 2 cos2 a - 1，

所以

sin2 a = 1 - cos 2₂ a 且 cos2 a = 1 + cos 2a 2 。 令 a= i 2，分別代入上式，得 sin2 i₂ = 1 - cos i 2 且 cos2 i 2 = 1 + cos 2 i 。 將以上的公式整理如下。 sin i_{2 =}± 1 - cos i 2 , cos i_{2 =}± _{1 + cos i} 2 ， 其中正負號是由i 2所在的象限來決定。

正弦、餘弦的半角公式

54

　　因為正切的半角公式較為複雜，所以求半角的正切值時，可先求出正弦和餘 弦的值，再利用商數關係式來求得。以下舉例說明。

求_{sin 22.5 ° , cos 22.5 ° 與 tan22.5 ° 的值。}

例題

10

因為22.5 ° 為第一象限角，所以 sin 22.5 ° 與 cos 22.5 ° 均為正數。 利用半角公式，得 sin 22.5 ° = 1 - cos 45 ° 2 = 1 - 2 2 2 = 2 - 2 2 , cos 22.5 ° = 1 + cos 45 ° 2 = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 2， 再利用商數關係式，得

tan 22.5 ° = sin 22.5 °_{cos 22.5 °} = 2- 2

2 + 2 =

(

2 - 2

)

2

(

2+ 2

)(

2 - 2

)

= 2- 2 2 = 2 - 1。 利用半角公式求sin 15 ° 與 cos 15 ° 的值。 解

隨堂練習

55

3

三角的和差角公式 　　已知 i 的某個三角比與其所在的象限，可利用半角公式求得i 2的三角比。 已知_{180 ° < i < 270 ° ，且 sin i = - 45 ，求 sin} i 2 , cos i2與tani2的值。

例題

11

因為180 ° < i < 270 ° 且 sin i = - 4 5 ，所以利用右圖可得 cos i = - 3₅。 又因為90 ° < i 2 < 135 ° ，所以 sin i 2 >0 , cos i 2 <0。 利用半角公式，得 sin i₂ = 1 - cos i 2 = 1 + 3 5 2 = 45 = 2 55 , cos i₂ = - 1 + cos i 2 = - 1 - 3 5 2 = - 15 = - 55， 再利用商數關係式，得 tani₂ = sin i 2 cos i₂ = 2 5 5 - 5 5 = -2。

已知_{45 ° < i < 90 ° ，且 cos 2i = - 45 ，求 sin i, cos i 與 tani 的值。}

解

56

　　最後來看一道應用問題。 一 座 斜 張 橋 如 右 圖。 已 知 _{OC = AC = 60 公 尺，} BC =24 公尺，求 tan a 的值。

例題

12

令 ∠COB = b，如右圖所示。因為 tan(a+ b)= 60 60 =1 且 tan b = 2460 = 25， 所以利用正切的和角公式

tan(a+ b)= tan a+tan b

1 - tan a tan b ， 得 1 = tan a + 25 1 - tan a× 2₅ ， 解得tan a = 3 7。 如 右 圖， 一 足 球 場 寬 _{65.88 公} 尺， 球 門 寬 _{7.32 公 尺； 某 足 球} 員沿邊界帶球突破，並在距球門 線 _{36.6 公 尺 P 處 起 腳 射 門。 設} 此時 _{P 對球門所張的角為 i，求} tan i 的值。 解

隨堂練習

57

3

三角的和差角公式

3

觀念澄清 下列敘述對的打「」

1 sin (a+ b)=sin a + sin b。

2 cos (8 ° + 2 °)=cos 8 ° cos 2 ° + sin 8 ° sin 2 ° 。

3 cos 100 ° = 1 + cos 200 °

2 。

4 sin 15 ° = 2 sin 7.5 ° cos 7.5 ° 。 5 sin 3i = sin 2i cos i + cos 2i sin i。

一、基礎題

求下列各式的值：

1 sin 27 ° cos 33 ° + cos 27 ° sin 33 ° 。

2 cos 82 ° cos 38 ° - sin 82 ° cos 52 ° 。 3 tan 10_{1 - tan 10 ° tan 50 °}° +tan 50 ° 。

已知 i 為第二象限角且_{sin i = 45 ，求 cos}

(

i+ r

3

)

的值。

已知 _{tan a = 1 , tan}(a- b)=2，求 tan b 的值。

58

已知 r < i < 3r

2 且 cos i = - 45 ，求下列各式的值：

1 sin 2i。　　2 cos 2i。　　3 tan 2i。

如右圖，在△ _{ABC 中，已知 ∠ B = 90 ° , AC = 3AB，且} ∠CAD = ∠ DAB = i，求 sin i 的值。

如右圖，_A1, A₂, A₃, … , A₈八個點，將單位圓的圓周八 等分，求圓心 _{O 到 A1A2}的距離。

已知 270 ° < i < 360 ° 且 cos i = 13 ，求下列各式的值：

1 sin i₂。　　2 cos i₂。　　3 tani₂。

如右圖 ，在山壁上鑿出一半徑為 10 公尺的 半 圓 形 倉 庫 ， 欲 將 一 長 方 體 箱 子 放 入 倉 庫 裡 ，試問 ： 右圖中矩形 A B C D 的面積最大 值為多少平方公尺？

59

3

三角的和差角公式

二、進階題

如右圖，直角三角形 AEF 內接於矩形 ABCD 中，AF = 1 , ∠FAE = 20 ° , ∠ EAB = 40 ° 。選出正確的選項。

1 AE =cos 20 °

2 BE = cos 20 ° sin 40 °

3 ∠ CEF =40 °

4 CE = sin 20 ° sin 40 °

5 AD = sin 20 ° cos 40 ° + cos 20 ° sin 40 ° 。

在△ _{ABC 中，已知 cos A = 35 且 tanB=7，求}

1 tan C 的值。　　　　2 ∠ C 的度數。

如右圖，在△ _{ABC 中，AB = AC , D 在 AB 上}

且_{CD ⊥ AB。已知 BC = 5 , BD = 3，求 cos ∠ ACD 的值。}

1 化簡 _{1 - tan i}1 - 1

1 + tan i。