40
甲
正弦、餘弦的和角公式與差角公式
第二冊已學過 30 ° , 45 ° 與 60 ° 等特殊角的三角比;事實上,利用這些三角 比可進一步求得15 ° 與 75 ° 的三角比。一般而言,如果已經知道 a 和 b 的三角比, 就可以求得 a+ b 的三角比,我們說明如下。
在圖2 中,直角三角形ABE的 ∠EAB = a;首先,在斜
邊AE 上疊上另一直角三角形 AEF,使得 ∠ FAE = b。為方 便起見,令AF = 1,此時 AE = cos b , EF = sin b。 ▲圖2 圖1 是美國華盛頓州著名的帕斯科.肯納 威克橋;其所有纜線都連接於橋的塔頂,是一 座放射性連接型的斜張橋。當我們知道橋的塔 頂高度與其寬度時,就可以利用本單元要探討 的「三角的和差角公式」來求出纜線之間的夾 角。 ▲圖1
三角的和差角公式
3
41
3
三角的和差角公式 接著,利用圖2 圍出矩形 ABCD,如圖 3 所示。因為 ∠AFD= ∠FAB =a+ b 且∠CEF=180 ° - 90 ° - ∠ AEB = 90 ° - ∠ AEB =a, 所以
AD = AF sin ∠ AFD = sin (a+ b), 且
AD = BC = BE + CE =AE sin a + EF cos a =cos b sin a + sin b cos a。 最後,比較以上AD 的兩個式子,得
sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b。
同理,由圖3 可知
DF = AF cos ∠ AFD = cos (a+ b), 且
DF = CD - CF = AB - CF =AE cos a - EF sin a =cos b cos a - sin b sin a。 比較以上 DF 的兩個式子,得
cos (a+ b)=cos a cos b - sin a sin b。
以上的證明在 a, b , a + b 均為銳角時成立。一般而言,上述的 sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b
與
cos(a+ b)=cos a cos b - sin a sin b
兩式,在 a, b 為廣義角時亦成立(證明請見附錄二)。
利用這兩個等式,可由30 ° 與 45 ° 的三角比求得 75 ° 的三角比。 ▲圖3
42
求下列各式的值:
1 sin 75 ° 。
2 cos 23 ° cos 37 ° - sin 23 ° sin 37 ° 。
例題
1
1 sin 75 ° = sin(30 ° + 45 °)=sin 30 ° cos 45 ° + cos 30 ° sin 45 °
= 1
2× 22 + 23 × 22 = 6 + 4 2。
2 cos 23 ° cos 37 ° - sin 23 ° sin 37 ° = cos (23 ° + 37 °)=cos 60 ° = 12 。
求下列各式的值:
1 cos 75 ° 。
2 sin 5 ° cos 55 ° + cos 5 ° sin 55 ° 。
接著,透過換算公式可以進一步求得 a- b 的三角比: 因為
cos (- b)=cos b 且 sin (- b)= -sin b, 所以
sin (a- b)=sin (a+(- b))
= sin a cos (- b)+cos a sin (- b)
= sin a cos b - cos a sin b ;
cos (a- b)=cos (a+(- b))
=cos a cos (- b)-sin a sin (- b)
=cos a cos b + sin a sin b。 因此,我們有正弦、餘弦的和角公式與差角公式。
解
43
3
三角的和差角公式
sin (a+ b)= sin a cos b + cos a sin b , sin (a- b)= sin a cos b - cos a sin b ,
cos (a+ b)= cos a cos b - sin a sin b , cos (a- b)= cos a cos b + sin a sin b。
正弦、餘弦的和角公式與差角公式
利用差角公式,可由30 ° 與 45 ° 的三角比求得 15 ° 的三角比。
求下列各式的值:
1 sin 15 ° 。
2 cos 70 ° cos 40 ° + sin 70 ° sin 40 ° 。
例題
2
1 sin 15 ° = sin(45 ° - 30 °)=sin 45 ° cos 30 ° - cos 45 ° sin 30 °
= 22 × 3
2 - 22 × 12 = 6 - 4 2。
2 cos 70 ° cos 40 ° + sin 70 ° sin 40 ° = cos (70 ° - 40 °)=cos 30 ° = 23 。
求下列各式的值:
1 cos 15 ° 。
2 sin 80 ° cos 20 ° - cos 80 ° sin 20 ° 。
解
44
有些較複雜的式子可先透過換算公式,再用和角公式或差角公式來求值。
求下列各式的值:
1 cos 48 ° cos 12 ° - cos 42 ° cos 78 ° 。
2 sin 67 ° cos 83 ° + sin 23 ° cos 7 ° 。
例題
3
利用餘角關係與和角公式,得
1 原式 =cos 48 °cos 12 ° -sin 48 °sin 12 °=cos (48 ° + 12 °)=cos 60 ° = 12 。
2 原式 =sin 67 °cos 83 ° +cos 67 °sin 83 °=sin (67 ° + 83 °)=sin 150 ° = 12。
求下列各式的值:
1 cos 40 ° cos 70 ° + sin 40 ° cos 20 ° 。
2 sin 200 ° sin 10 ° - cos 200 ° sin 80 ° 。
解
45
3
三角的和差角公式 已知 a, b 的某個三角比與它們所在的象限,可利用和角公式或差角公式求 得 a+ b 與 a - b 三角比的值。 已知0 < a < r 2 , r 2 < b < r,且 cos a = 35 , sin b= 1213,求下列各式的值: 1 sin (a+ b)。 2 cos (a+ b)。例題
4
因為0 < a < r 2且cos a = 35 ,所以利用右圖可得 sin a = 45。 因為r 2 < b < r 且sin b = 1213 ,所以利用右下圖可得 cos b = - 513。 利用正弦、餘弦的和角公式,得1 sin (a+ b)=sin a cos b + cos a sin b = 4
5×
(
- 513)
+ 35× 1213 = 1665。2 cos (a+ b)=cos a cos b - sin a sin b = 3 5×
(
- 513)
- 45× 1213 = - 6365。 已知 a 為第三象限角,b 為第四象限角,且 sin a = - 35 , cos b= 2 3,求下 列各式的值: 1 sin (a- b)。 2 cos (a- b)。 解隨堂練習
46
乙
正切的和角公式與差角公式
我們可以透過商數關係tan A = sin A
cos A ,及正弦、餘弦的和角公式,導出正切 的和角公式:
tan(a+ b)= sincos((a+ b) a+ b)
= sin cos a cos b - sin a sin ba cos b + cos a sin b
=
sin a
cos a + sin
b
cos b 1 - sin cos aa ・cos bsin b
(分子與分母同除以cos a cos b) = tan a+tan b 1 - tan a tan b 。 接著,透過換算公式可以進一步求得 a- b 的正切值: 因為 tan(- b)= -tan b, 所以
tan(a- b)=tan(a+(- b))= tan 1 - tan a tan (a+tan(- b)- b) = tan a-tan b
1 + tan a tan b 。
tan(a+ b)= tan a+tan b
1 - tan a tan b , tan(a- b)= tan
a-tan b
1 + tan a tan b 。 其中tan a , tan b 及 tan(a±b) 皆有定義。
47
3
三角的和差角公式 練習一道利用正切的和角公式與差角公式之例題。 求下列各式的值: 1 tan75 ° 。2 tan 721 + tan 72 ° tan 12 °° -tan 12 ° 。
例題
5
1 tan75 ° = tan(45 ° + 30 °)
= tan 45 ° + tan 30 °1 - tan 45 ° tan 30 ° =
1 + 1 3 1 - 1× 1 3 = 3 + 1 3 - 1 = 4 + 2 3 2 =2 + 3。
2 tan 721 + tan 72 ° tan 12 ° = tan° -tan 12 ° (72 ° - 12 °)=tan 60 ° = 3。
已知 a, b 為銳角,且 tan a = 12 , tan b= 1 3,求 1 tan(a+ b) 的值。 2 a + b 的度數。 解
隨堂練習
48
第二冊學過:一條非鉛直線的斜角tan 值與其斜率相等。利用此性質並搭配 正切的差角公式,可以處理兩直線夾角的問題。 在坐標平面上,已知兩直線y = 3x 與 y = 12 x 的斜角分 別為 a 與 b,如右圖所示,求 1 tan a 與 tan b 的值。 2 兩直線的夾角。例題
6
1 因為直線的斜角 tan 值與其斜率相等,所以 tan a = 3 , tan b = 1 2。 2 因為tan(a- b)= tan a-tan b
1 + tan a tan b = 3 - 1 2 1 + 3× 1 2 =1, 且 0 ° < a - b < 90 ° ,所以兩直線的其中一個夾角為 a- b =45 ° , 而另一個夾角為 180 ° - 45 ° = 135 ° 。 一般而言,求任意兩直線的夾角時,可先將直線平移使其通過原點(斜角不 變),再利用上例的方法求出夾角。 在坐標平面上,已知兩直線y = 3x 與 y = 12 x-1 的斜角分別為 a 與 b,求 1 tan a 與 tan b 的值。 2 兩直線的夾角。
隨堂練習
解49
3
三角的和差角公式
丙
倍角公式
在和角公式中,若令 a= b = i,則分別得
sin 2i = sin (i+ i)=sin i cos i + cos i sin i = 2 sin i cos i ;
cos 2i = cos (i+ i)=cos i cos i - sin i sin i = cos2 i - sin2 i ;
tan2i = tan(i+ i)= tan i + tan i
1 - tan i・tan i = 2 tan i1 - tan2 i 。
又因為sin2 i + cos2 i = 1,所以
cos 2i = cos2 i - sin2 i =(1 - sin2 i)-sin2 i = 1 - 2 sin2 i,
且
cos 2i = cos2 i - sin2 i = cos2 i -(1 - cos2 i)=2 cos2 i - 1。
將以上的公式整理如下。
sin 2i = 2 sin i cos i ,
cos 2i = cos2 i - sin2 i = 1 - 2 sin2 i = 2 cos 2i-1 ,
tan 2i = 2 tan i
1 - tan2 i (其中tan i 有定義且 tan
2
i≠1)。
二倍角公式
50
已知 i 的某個三角比與其所在的象限,可利用二倍角公式求得2i 的三角比。
已知r
2 < i < r,且sin i = 35 ,求 sin 2i, cos 2i 與 tan 2i 的值。
例題
7
因為r 2 < i < r 且sin i = 35 ,所以利用右圖可得 cos i = - 45且 tan i = - 3 4。 利用二倍角公式,得sin 2i = 2 sin i cos i = 2× 35×
(
- 45
)
= - 2425 ; cos 2i = 1 - 2 sin2 i = 1 - 2× 925 = 7 25 ; tan 2i = 2 tan i 1 - tan2 i = 2×(
- 3 4)
1 -(
- 3 4)
2 = - 247 。已知270 ° < i < 360 ° ,且 cos i = 34 ,求 sin 2i, cos 2i 與 tan 2i 的值。
解
51
3
三角的和差角公式
已知 sin i + cos i 或 sin i - cos i 的值,可利用二倍角公式求得 sin 2i 的值。
已知sin i + cos i = 15 ,求 sin 2i 的值。
例題
8
將原式的等號兩邊平方,得
(sin i + cos i)2= 1 25 , 展開得
sin2 i + 2 sin i cos i + cos2 i = 125 , 利用平方關係式及二倍角公式,得
1 + sin 2i = 1 25。 故sin 2i = - 24
25。
已知sin i - cos i = 13 ,求 sin 2i 的值。
解
52
利用二倍角公式來求三角形的邊長。
如右圖,在△ABC 中, ∠ C = 90 ° 且 ∠ BAD = ∠ DAC = i。 已知AC =2 , AD = 5,求 AB 的長度。
例題
9
因為cos 2i = 2
AB且cos i = 25,所以利用二倍角公式cos 2i = 2cos
2 i - 1, 得 2 AB =2×
(
2 5)
2 -1 = 2× 4 5 -1 = 35 , 解得AB = 10 3 。如右圖,在△ABC 中, ∠ C = 90 ° 且 ∠ BAD = ∠ DAC = i。 已知AC = 2 , CD = 1,利用正切的二倍角公式求 BD 的長度。
有了二倍角公式之後,可透過和角公式導出正弦的三倍角公式: sin 3i = sin (2i + i)
= sin 2i cos i + cos 2i sin i
= 2 sin i・cos2 i +(1 - 2 sin2 i)・sin i = 2 sin i(1 - sin2 i)+(1 - 2 sin2 i)・sin i
= 3 sin i - 4 sin3 i。
解
53
3
三角的和差角公式
仿照以上的方式,可得餘弦的三倍角公式(同學可以自行練習): cos 3i = 4 cos3 i - 3 cos i。
已知sin i = 13 ,求 sin 3i 的值。
隨堂練習
丁
半角公式
二倍角與半角為一體兩面的關係,利用二倍角公式可以導出半角公式: 因為
cos 2a = 1 - 2 sin2a 且 cos 2a = 2 cos2 a - 1,
所以
sin2 a = 1 - cos 22 a 且 cos2 a = 1 + cos 2a 2 。 令 a= i 2,分別代入上式,得 sin2 i2 = 1 - cos i 2 且 cos2 i 2 = 1 + cos 2 i 。 將以上的公式整理如下。 sin i2 =± 1 - cos i 2 , cos i2 =± 1 + cos i 2 , 其中正負號是由i 2所在的象限來決定。
正弦、餘弦的半角公式
54
因為正切的半角公式較為複雜,所以求半角的正切值時,可先求出正弦和餘 弦的值,再利用商數關係式來求得。以下舉例說明。
求sin 22.5 ° , cos 22.5 ° 與 tan22.5 ° 的值。
例題
10
因為22.5 ° 為第一象限角,所以 sin 22.5 ° 與 cos 22.5 ° 均為正數。 利用半角公式,得 sin 22.5 ° = 1 - cos 45 ° 2 = 1 - 2 2 2 = 2 - 2 2 , cos 22.5 ° = 1 + cos 45 ° 2 = 1 + 2 2 2 = 2 + 2 2, 再利用商數關係式,得tan 22.5 ° = sin 22.5 °cos 22.5 ° = 2- 2
2 + 2 =
(
2 - 2)
2(
2+ 2)(
2 - 2)
= 2- 2 2 = 2 - 1。 利用半角公式求sin 15 ° 與 cos 15 ° 的值。 解隨堂練習
55
3
三角的和差角公式 已知 i 的某個三角比與其所在的象限,可利用半角公式求得i 2的三角比。 已知180 ° < i < 270 ° ,且 sin i = - 45 ,求 sin i 2 , cos i2與tani2的值。例題
11
因為180 ° < i < 270 ° 且 sin i = - 4 5 ,所以利用右圖可得 cos i = - 35。 又因為90 ° < i 2 < 135 ° ,所以 sin i 2 >0 , cos i 2 <0。 利用半角公式,得 sin i2 = 1 - cos i 2 = 1 + 3 5 2 = 45 = 2 55 , cos i2 = - 1 + cos i 2 = - 1 - 3 5 2 = - 15 = - 55, 再利用商數關係式,得 tani2 = sin i 2 cos i2 = 2 5 5 - 5 5 = -2。已知45 ° < i < 90 ° ,且 cos 2i = - 45 ,求 sin i, cos i 與 tani 的值。
解
56
最後來看一道應用問題。 一 座 斜 張 橋 如 右 圖。 已 知 OC = AC = 60 公 尺, BC =24 公尺,求 tan a 的值。例題
12
令 ∠COB = b,如右圖所示。因為 tan(a+ b)= 60 60 =1 且 tan b = 2460 = 25, 所以利用正切的和角公式tan(a+ b)= tan a+tan b
1 - tan a tan b , 得 1 = tan a + 25 1 - tan a× 25 , 解得tan a = 3 7。 如 右 圖, 一 足 球 場 寬 65.88 公 尺, 球 門 寬 7.32 公 尺; 某 足 球 員沿邊界帶球突破,並在距球門 線 36.6 公 尺 P 處 起 腳 射 門。 設 此時 P 對球門所張的角為 i,求 tan i 的值。 解
隨堂練習
57
3
三角的和差角公式3
觀念澄清 下列敘述對的打「」1 sin (a+ b)=sin a + sin b。
2 cos (8 ° + 2 °)=cos 8 ° cos 2 ° + sin 8 ° sin 2 ° 。
3 cos 100 ° = 1 + cos 200 °
2 。
4 sin 15 ° = 2 sin 7.5 ° cos 7.5 ° 。 5 sin 3i = sin 2i cos i + cos 2i sin i。
一、基礎題
求下列各式的值:
1 sin 27 ° cos 33 ° + cos 27 ° sin 33 ° 。
2 cos 82 ° cos 38 ° - sin 82 ° cos 52 ° 。 3 tan 101 - tan 10 ° tan 50 °° +tan 50 ° 。
已知 i 為第二象限角且sin i = 45 ,求 cos
(
i+ r3
)
的值。已知 tan a = 1 , tan(a- b)=2,求 tan b 的值。
58
已知 r < i < 3r
2 且 cos i = - 45 ,求下列各式的值:
1 sin 2i。 2 cos 2i。 3 tan 2i。
如右圖,在△ ABC 中,已知 ∠ B = 90 ° , AC = 3AB,且 ∠CAD = ∠ DAB = i,求 sin i 的值。
如右圖,A1, A2, A3, … , A8八個點,將單位圓的圓周八 等分,求圓心 O 到 A1A2的距離。
已知 270 ° < i < 360 ° 且 cos i = 13 ,求下列各式的值:
1 sin i2。 2 cos i2。 3 tani2。
如右圖 ,在山壁上鑿出一半徑為 10 公尺的 半 圓 形 倉 庫 , 欲 將 一 長 方 體 箱 子 放 入 倉 庫 裡 ,試問 : 右圖中矩形 A B C D 的面積最大 值為多少平方公尺?
59
3
三角的和差角公式
二、進階題
如右圖,直角三角形 AEF 內接於矩形 ABCD 中,AF = 1 , ∠FAE = 20 ° , ∠ EAB = 40 ° 。選出正確的選項。
1 AE =cos 20 °
2 BE = cos 20 ° sin 40 °
3 ∠ CEF =40 °
4 CE = sin 20 ° sin 40 °
5 AD = sin 20 ° cos 40 ° + cos 20 ° sin 40 ° 。
在△ ABC 中,已知 cos A = 35 且 tanB=7,求
1 tan C 的值。 2 ∠ C 的度數。
如右圖,在△ ABC 中,AB = AC , D 在 AB 上
且CD ⊥ AB。已知 BC = 5 , BD = 3,求 cos ∠ ACD 的值。
1 化簡 1 - tan i1 - 1
1 + tan i。