2020届高三下学期3月质量检测数学（文）试题

2020

届高三质量检测

文科数学试卷

（满分：150 分　　考试时间：120 分钟） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．

第Ⅰ卷（选择题共 60 分）

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． (1) 已知集合A



x x2  x 6 0



，B



x yln



x1





，则 A B  （A）



x1 x 2



（B）



x1 x 2



（C）



x1 x 3



（D）



x1 x 3



(2) 已知复数 z 满足z



1  i



1 3i ，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 已 知 圆









2 _{2 2} : 1 0 C x y r r ， 直 线 : 3l x4y  ．若2 0 圆 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 (4) 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A） 3 （B） 1 （C）1 （D）3 (5) 甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个 座位．已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座． 如果丁坐在 B 座，那么可以确定的是： （A）甲坐在 A 座 （B）乙坐在 D 座 （C）丙坐在 C 座 （D）戊坐在 F 座 (6) 如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的 是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A）2 2 5 （B）4 2 5 （C）2 3 5 （D）4 3 5 (7) 下列图象中，函数 f x

 





exex



sinx，x 



 ,



_图象的是 （第 4 题图） （第 6 题图）

（A） （B） （C） （D） (8) 已知x 0,2    _   ，y 0,2    _   ，

cos sin 1 cos 2

cos sin sin 2

x x y x x y  _   _，则 （A）y x _{4 （B） 2} 4 y x  _（C） 2 y x  _{（D） 2} 2 y x  (9) 将函数 f x

 

sin x 3     _  _   的图象横坐标变成原来的 1 2 （纵坐标不变），并向左平移 3  个 单 位 ， 所 得 函 数 记 为 g x ． 若

 

x x1, 2 0,₂    _   ， x1x2， 且 g x

 

1 g x

 

2 ， 则



1 2



g x x  （A） 1 2  （B） 3 2  （C） 0 （D） 3 2 (10)已知正方体ABCD A B C D 1 1 1 1 的棱长为 2，AC1  平面．平面 截此正方体所得的截面 有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为3 3 则正确结论的编号是 （A）①④ （B）①③ （C）②③ （D）②④ (11)若函数

 

1 x f x k x    有两个零点，则 k 的取值范围是 （A）



0,



（B）

  

0,1  1,



（C）

 

0,1 （D）



1,



(12)已知抛物线y2 2px p



0



的焦点为 F，与双曲线





2 2 2 2 :x y 1 0, 0 C a b a b    的一条渐近 线交于 P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q．若 PQ  PF ，则双曲线 的渐近线方程为 （A）y x （B）y  2x （C）y  3x （D）y 2x

第Ⅱ卷（非选择题共 70 分）

本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题~_{第 24 题为选考题，考生根据要求做答．} 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． (13)已知a  a b    ，



a b

 

 a b



    ，则 a与 b的夹角为 (14)已知实数 , x y满足约束条件 3 0, 2 4 0, 2 0, x y x y x y      _{  }      则x2y的最小值为 (15)《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题： “今 有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分 别为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内 切圆内的概率是

(16)设△ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b 3，



2a c



cosB 3 cosC ， 则△ABC面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)（本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向． （Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统 计如下表: A B C D E 公务员 ○ ○ × ○ × 教师 ○ × ○ × ○ 金融 ○ ○ ○ × ○ 公司 × × ○ ○ ○ 自主创业 × ○ × ○ × 其中“○”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向． 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少有 一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率． (18)（本小题满分 12 分） 已知数列

 

an 的前 n 项和为Sn_，满足2anSn2

（Ⅰ）求an ； （Ⅱ）若数列

 

b 满足n



*



1 4 _n n n n a b n N S S   ，求

 

b 的前 n 项和n T ．n (19)（本小题满分 12 分） 在 三 棱 柱 ABC A B C 1 1 1 中 ， 已 知 AB  侧 面 BB C C1 1 ， BC 2， AB BB 12 ， 1 4 BCC   _{ ，E 为} 1 BB 中点， （Ⅰ）求证：ACBC1 （Ⅱ）求 C 到平面AC E1 的距离． (20)（本小题满分 12 分） 已知椭圆





2 2 2 2 :x y 1 0 C a b a b    的右焦点为 F，离心率 2 2 e ，过原点的直线（不与 坐标轴重合）与 C 交于 P，Q两点，且 PF QF 4 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 P 作 PE  x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P．

(21)（本小题满分 12 分） 已知函数

 

2 ln f x  x mx



m R



的最大值是 0， （Ⅰ）求 m 的值； （Ⅱ）若 f x

 

 ₂1_ex2ax b ，求b_{a 的最小值．} 请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多 做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 (22) （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为 2 3 2 2 1 2 x t y t          ( t为参数)，在以坐标原点为极 点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的方程为4cos6sin. （Ⅰ）求 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设 C 与l交于点 M N， ，点A的坐标为

 

3,1 ，求 AM  AN . (23)（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 f x

 

 2x 1 ax1 , （Ⅰ）当a 时,求不等式2 f x

 

1的解集； （Ⅱ）当x

 

1, 2 时,不等式f x

 

 1 x恒成立,求实数 a 的取值范围.