加強學生數學能力以解決國二學生理化科學習困難之行動研究

全文

(1)國立臺中教育大學科學應用與推廣學系科學教育碩士學位碩士論文. 指導教授：黃鴻博博士. 加強學生數學能力以解決國二學生理化科學習困難之行動研究. 研究生：王偵權撰. 中華民國一○一年十二月.

(2) 謝. 誌. 在兩年半的研究所生涯裡，隨著這篇致謝詞即將畫上完美的句號。雖然在這路途上走得相當艱辛，但是收穫匪淺，在這過程中明顯的感受到自己的成長與進步。首先，很感謝我的指導教授黃鴻博博士，感謝黃老師在這段時間細心的教導，不管是在論文的指導，或者是生活中大大小小的事情，皆能用最理性且樂觀的方式，讓我對這個社會可以用更多元的角度去看待，讓我在心智上能更加圓融且成熟。在此，謹向恩師獻上最誠摯感謝之意。再者，要感謝口試委員也是系上教授的靳知勤博士，感謝靳老師在授課或者是論文指導的時候，能給予最寶貴的意見，且陶冶我的思想，讓我的心靈能更加的自由自在；並感謝同是口試委員也是在大學時候曾經教導過學生的楊瑞智博士，感謝楊老師給予論文上精闢的建議，使得論文能更加周詳、完善。修課期間，感謝所上的所有教授，帶給我豐富的知識、學問。同時身邊最親愛的同學，倩瓊、逸聰、靜儀、家美、資幸、家維、國弘、子峻、憲章、昭元、銘烽、武章以及綉婷，有你們一起陪伴，才能讓我能順利完成學業，感謝你們的幫忙，研究所生涯中，最美的風景莫過於跟你們的相處，感恩你們。此外，還有在我服務的學校，感謝同事們給我支持及幫忙，尤其是大美女碧娟，讓我可以較心無旁騖的準備研究所論文及考試。特別感謝莉涵及四位可愛學生的配合，有你們的幫忙才有這篇論文的產生，在此，獻上萬分感激！最後，要感謝我最愛的家人以及女朋友，感謝爸媽的體諒與無盡的付出，感謝妹妹及妹婿在翻譯上大力的幫忙，感謝虹如在這艱辛的路途上帶給我很多快樂及不一樣的體驗，重重壓力下陪伴我遊山玩水，使我的生活更加多采多姿，謝謝妳們！. 王偵權. 謹致. 中華民國一百零一年十二月.

(3) 中文摘要從過去文獻及教育現場工作經驗中發現：學生在理化單元的學習困難部分導因於缺乏所需數學先備知識技巧，本研究旨在探討國中學生在自然與生活科技學習領域理化相關單元學習過程中，教師在學習前診斷學生在該單元所需數學先備知識之狀況，並針對其欠缺部分設計教學活動予以強化，探討此一輔助教學活動對理化科學習的影響，並透過此一歷程與省思來增進研究者本身之專業成長。本研究以台灣中部一所市區國中兩個二年級班級及四名個案學生為研究對象，進行為期近一年之行動研究，在研究歷程中蒐集教學錄影、訪談問卷、訪談紀錄、課室錄影、研究者省思日誌及學生學習活動相關文件等資料，資料分析方法使用 Miller 和 Crabtree 所提出的編輯式資料分析模式，並進行三角校正，獲得以下結果：一、學生在理化單元的學習困難中，常因為在數學的內部連結(如：代數式的轉換、式子的計算)及外部連結(如：概念的運用、圖表判讀、將理化科待解的問題轉化成數學的問題)的能力不足所造成，教師可以透過「直接教學法」活動設計來讓學生精熟數學內部連結；可透過數理統整活動設計如以「數學擬題」方式來融合數學與理化情境知識，強化學生在數學的外部連結，降低學生學習理化單元上的困難。二、加強學生數學連結能力對於理化單元學習是有幫助的，其助益會顯示在以下兩點：（一）在正反比概念連結的提升下，學生可以在一些題目上簡化其計算，並加深在各個變項上關係的理解。（二）透過了解代數（公式）各變項間的關係，可以使學生更加理解或闡釋一些科學現象，對於理化概念認知的學習上有幫助。三、學生學習完理化單元後，對於相關數學能力的概念連結會有所提升，其中對於數學外部連結提升比對內部連結提升較為明顯，教師的數理統整教學方式上為很重要的因素之一。四、研究者在此研究歷程中，除了本身的教學方式及信念有所提升外，在對於未來十二年國民教育的數學知識多元連結性上，有更深刻的體悟。. 關鍵詞：數學擬題、行動研究、數理統整. I.

(4) II.

(5) Abstract Found from the literature and education field experience that the difficulties for students in learning science units due to lack of prior knowledge required for mathematics skills. The purpose of this study is to explore the learning process of junior high school students in the learning field of physics, chemistry and life science unit. Before students learn the units, teacher diagnoses the required prior knowledge of mathematics, and then designs teaching activities to improve the knowledge which the students are lack of. Researcher not only to explore the influence of the auxiliary teaching activities for students learning science, but also to enhance his/her own professional growth through this journey and reflection. In this research, target objects are four student cases and two second grade classes of junior high school in an urban area located at center Taiwan, using for a period of nearly a year of action research. Researchers used editing analysis style, created by Miller and Crabtree, as data analysis method to analyze the data, collected through the research, such as teaching video, questionnaires of interview, records of interview, classroom video, researcher’s reflective journals and related documents of student learning activities, etc. In addition, researchers got the following results by triangle correction. 1. Students have difficulties in learning science because they lack the mathematics concepts of the inner connection, such as the transformation of algebra and formulas computing, and outer connection, such as the operation of direct ratio and inverse ratio, the interpretation of the chart, unanswered math questions of science problems. Therefore, teacher could strengthen students to understand the inner connection of mathematic through designed activity of “direct instruction and” improve the students to comprehend the outer connection of mathematics through designed integrating mathematics activities, for example “problem posing”, to unite situations of mathematics and science. Both activities could decrease. III.

(6) difficulties in learning science. 2. It is helpful to improve students’ connection ability for learning scientific subjects. The two advantages are the following. (1) In the improvement of the concept of direct ratio and inverse ratio, students can simplify the calculation process of some questions and understand the relationships of each variable more. (2) It is easier to understand and explain some scientific phenomenon by realizing the relationship of algebra in each variable. 3. After students learned scientific subjects, they will improve the connection concept of mathematical abilities. The math of outer connection is more obvious improvement than the math of inner connection. It is one of important factor for teachers to integrate the teaching methods. 4. In the research process, the researchers realize the diversity of mathematics in the future 12 years national education, in addition to the enhancement of their teaching method and belief. Key words: problem posing, action research, integration of mathematics and science. IV.

(7) 目次中文摘要.......................................................... 中文摘要..........................................................Ⅰ ..........................................................Ⅰ Abstract........................................................... ..........................................................Ⅲ ..........................................................Ⅲ 目次.............................................................. 目次..............................................................Ⅴ ..............................................................Ⅴ 表目次.................................................. 表目次............................................................ ............................................................Ⅶ ..........Ⅶ 圖目次............................................................ ............................................................Ⅷ Ⅷ 圖目次............................................................ 第壹章緒論...................................................... ......................................................1 1 緒論...................................................... 第一節. 研究背景與動機..........................................1. 第二節. 研究目的與待答問題......................................3. 第三節. 名詞解釋................................................4. 第四節. 研究範圍與限制..........................................6. 第貳章文獻探討.................................................. 文獻探討..................................................7 ..................................................7 第一節. 從學習觀點探討數學對科學的學習遷移......................7. 第二節. 數理課程統整對科學與數學學習之影響.....................12. 第三節. 數學與理化科的連結教學.................................19. 第參章研究設計與方法........................................... 研究設計與方法...........................................27 ...........................................27 第一節. 研究對象與研究情境.....................................27. 第二節. 理化科的教材分析.......................................34. 第三節. 研究設計與流程.........................................38. 第四節. 研究工具...............................................43. 第五節. 資料分析...............................................48. 第六節研究倫理...............................................51. V.

(8) 第肆章研究發現與討論...................... 研究發現與討論............................ ...........................................53 .....................53 第一節. 理化科的數學先備知識連結之輔助教學活動設計.............53. 第二節. 加強理化科有關數學的先備知識對四位學生學習之影響.......75. 第三節. 研究者省思與專業成長..................................103. 第伍章結論與建議................................ 結論與建議...............................................117 ...............................................117 第一節. 研究結論..............................................117. 第二節. 研究建議..............................................119. 參考文獻........................................................ 參考文獻........................................................123 ........................................................123 一、中文部分..................................................123 二、英文部分..................................................127 附錄一. 密度訪談單............................................133. 附錄二. 比熱學習調查問卷......................................134. 附錄三. 酸鹼濃度學習調查問卷..................................135. 附錄四. 壓力學習調查問卷......................................136. 附錄五. 診斷測驗試卷：指數運算及科學記號......................137. 附錄六. 診斷測驗試卷：代數式與指數綜合運算能力................138. 附錄七. 診斷測驗試卷：正比與反比..............................139. 附錄八. 數學擬題學習單........................................140. 附錄九. 數學與理化課程擬題學習單..............................141. 附錄十. 理化教師訪談大綱............................... ......142. VI.

(9) 表目次. 表 2-2-1 「溫度與熱」單元自然與生活科技領域與其所需數學領域能力指標對照表...............................................13 表 2-3-1 數學「連結」能力指標內容..................................20 表 3-1-1 預定研究對象資料..........................................31 表 3-1-2 研究對象基本資料表........................................33 表 3-2-1 國中二年級理化科教材內容分析..............................34 表 3-2-2 對應理化科教材內容分析....................................37 表 3-4-1 指數運算及科學記號試卷能力指標對應表......................44 表 3-4-2 代數式與指數運算能力試卷能力指標對應表....................44 表 3-4-3 正比與反比試卷能力指標對照表..............................45 表 3-4-4 省思日誌範例.............................................46 表 3-4-5 待答問題與資料收集來源對照表..............................47 表 3-5-1 資料對象與單元代碼說明....................................48 表 3-5-2 資料來源代碼說明..........................................49 表 4-1-1 密度學習困難對照表........................................57 表 4-1-2 比熱學習困難對照表........................................61 表 4-1-3 學習困難與數學相關程度對照表..............................62 表 4-2-1 數學連結能力指標..........................................76 表 4-2-2 輔助教學活動影響比較表...................................101 表 4-2-3 理化科學習對數學能力影響比較表...........................102 表 4-3-1 教學方式比較表...........................................108. VII.

(10) 圖目次. 圖 2-1-1 五種表徵類型關係圖.........................................9 圖 2-1-2. 1 的表徵方式...............................................9 4. 圖 2-1-3 學習遷移的過程與表徵的關係圖..............................12 圖 2-2-1 統整學習對於數學與科學的關係圖............................19 圖 3-1-1 教學的一般模式............................................30 圖 3-3-1 研究架構圖................................................39 圖 3-3-2 密度及莫耳濃度公式比較....................................40 圖 3-3-3 研究流程圖................................................42 圖 3-5-1 編輯式資料分析模式........................................50 圖 4-1-1 密度單元 S3 學習困難#20111020..............................55 圖 4-1-2 密度單元 S4 學習困難#20111020..............................56 圖 4-1-3 比熱單元 S2 學習困難#20111205 (比熱第一堂課)...............59 圖 4-1-4 比熱單元 S1 學習困難#20111205 (比熱第一堂課)...............60 圖 4-1-5 酸鹼單元 S3 學習困難#20120330(酸鹼濃度第二堂課)............64 圖 4-1-6 酸鹼單元 S4 學習困難#20120330(酸鹼濃度第二堂課)............65 圖 4-1-7 酸鹼單元 S2 學習困難#20120402(酸鹼濃度第一堂課)............67 圖 4-1-8 酸鹼單元 S3 學習助益#20120330(酸鹼濃度第二堂課)............68 圖 4-1-9 酸鹼單元 S4 學習助益#20120330(酸鹼濃度第二堂課)............68 圖 4-1-10 酸鹼單元 S2 學習助益#20120402(酸鹼濃度第二堂課)............68 圖 4-1-11 酸鹼單元 S1 學習困難#20120402(酸鹼濃度第一堂課)............69 圖 4-1-12 酸鹼單元 S2 學習困難#20120402(酸鹼濃度第二堂課)............70 圖 4-1-13 良好的數理科學習過程.....................................73. VIII.

(11) 圖 4-1-14 學生的數理科學習過程....................................73 圖 4-1-15 擬題學習單 S1#20120531 .................................75 圖 4-2-1. 壓力單元 S1 學習助益#20120607(壓力第一堂課)..............77. 圖 4-2-2. 壓力單元 S1 學習困難#20120611(壓力第二堂課)..............78. 圖 4-2-3. 壓力單元 S4 學習助益#20120608(壓力第三堂課)..............81. 圖 4-2-4. 擬題學習單 S4#20120604...................................86. 圖 4-2-5. 壓力單元 S3 學習助益#20120606(壓力第一堂課)..............89. 圖 4-2-6. 壓力 S3 學習助益#20120607(壓力第二堂課)..................90. 圖 4-2-7. 比熱 S2 學習困難#20111208(比熱第五堂課)..................93. 圖 4-2-8. 卷 S2 酸-20120403(酸鹼濃度第三堂課) .....................94. 圖 4-2-9. 卷 S2 壓-20120607(壓力第一堂課) .........................95. 圖 4-2-10 擬 S2-20120601...........................................96 圖 4-2-11 段考考題...............................................98 圖 4-2-12 數學概念與理化科學習關係圖.............................103 圖 4-3-1. 教學回動回饋單 1........................................109. 圖 4-3-2. 教學回動回饋單 2........................................110. 圖 4-3-3. 數學學習比較表(張同學) ................................115. IX.

(12) 第壹章緒論本章共分成四節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究的目的與待答問題，第三節說明研究內文中出現的專有名詞，並解釋與界定範圍，第四節為研究範圍與限制。. 第一節. 研究背景與動機. 教育部(1998)在九年一貫課程綱要修定，將以前分科課程逐漸轉型為合科、統整課程，在科學與數學的連結性應該要有所提升，生活即是科學，而數學在生活中隨處可見，由此可見兩者密不可分。在國中階段，科學與數學的關聯性比起小學提升不少，科學課程常需要數學輔助，運用其數學觀念、計算來簡化數據，理解其科學知識。Farenga 和 Joyce(1999)研究指出，學生在科學學習上的困難常源自於數學學習上的困難，學生在數學上的障礙常使得學生在學習科學的態度上有負面的影響。Potgieter(2008)等人的研究也指出若學生對於數學的方程式有問題，會使得他們在化學的學習產生困難。而數學能力不只在計算能力方面，還涉及收集資料、圖表能力、尋找模式等等的數學素養，在科學的應用上也都必須受到重視，因此數學絕不會是科學的幫傭。但是很多國中學生認為數學只是幫自然科計算用的工具，殊不知在某些自然課程中兩者關聯性甚高，並且在學習上具有相輔相成的影響。美國科學促進協會在推動的 2061 課程計畫之研究報告-全民的科學《Science for All Americans》(American Association for the Advancement of Science﹝AAAS﹞,1990)當中額外有一章來探討數學與科學的相關性，強調數學是科學的一部分，並且將數學當成一種科學間溝通的語言，以呈現數學在科學中的重要性。在研究者國中階段的求學時代，很多家長都會有孩子數學好，理化科就會好，數學不好，理化科就會學不好的刻板印象，其研究者本身的父母也不例外。. 1.

(13) 研究者本身在數理科的能力就比語文好，在國中階段學習數學以及理化鮮少遇到困難，在當時似乎也認為數理本一家。然而到了高中自然組，科學課程分門別類專業化下，物理、生命科學讓研究者感到相當困難，研究者當時不再認為數學好，科學課程的學科就會學得好。蔡淑君和段曉林(2006)指出數理教師對於科學及數學的學習受先天或後天影響的看法有些為差異，數學教師認為天生的能力會影響數理兩者學科學習的成效。天生具有良好邏輯推理、抽象能力的學生在學習數學的過程中比較不會受到挫折。而天生對自然環境現象有興趣、感到好奇的學生，在學習科學時他們比較容易理解科學，因為數學是學習科學需要具備的基本能力，因此數學能力較好的學生，他們在學習科學的過程中也比較容易達成學習的目標。在看待數學學習方面，科學老師亦有同感，但對科學學習則認為每位學生都有具備學好科學的能力，不受先天能力所影響。研究者本身為數學教師，任教以來，若有任課國二的班級，或多或少都會有學生除了請教數學問題外，也會來請教理化科的問題，有時研究者覺得學生會有數學老師理化科應該也學得不錯的迷思。在 99 學年度的任課班級中，研究者遇到國一學生詢問，「數學學不好，二年級理化也會學不好嗎？」，研究者當時也無法和學生作全盤的回應，且提問的學生學習態度良好，但是在數學學習上有點挫折，因此研究者給予較激勵、正向的回答，「數學和理化科會有關係，但是不會數學學不好，理化科就一定學不好」。然而這個問題一直在研究者心中擱著，幾次在學校遇到自然科的同事，便也會請教他們關於在教學上發現學生的學習困難，結果不管是國一的生物教師或者是理化教師都舉出一些學生因為數學能力不足而使得學生在學習上感到困難的例子，只是學科內容不同而使得這種情況的比例會有所不同。理化科包含物理及化學，其每個單元的內容之間有的差異很大，有的連數學的簡易計算或觀念都沒有，在這樣的內容下，學生所遭遇到的學習困難應該也會有所不同。. 2.

(14) 在這樣的動機之下，研究者便想要朝這方面著手，從自身的教學環境中去探討學生在學習數學及理化科之間，其數學能力對於理化科學習有何影響？並且在某些單元中去提升學生該單元所需要的數學先備知識，協助學生學習理化。. 第二節. 研究目的與待答問題研究目的與待答問題. 研究者本身在教學的時候，遇到比較抽象的概念都會試圖著用較淺顯易懂或者具體的例子去解釋給學生聽，再透過一些反覆練習讓學生精熟。王婉馨(2005) 發現成功的數學類比遷移所需的要素有「憶取」、「映射」、「調適」三要素，此三要素隱含於成功的數學類比遷移者的解題思維中，有的學生只需提供一個要素即能成功的進行數學類比遷移，有的學生需要兩個或三個要素的提示，也有的學生未能進行數學類比遷移。研究者幾年下來的教學觀察，很多學生對於數學的認知只停留在計算的階段，很難類比、遷移到其他相似的概念，這讓研究者在一些數學單元的教學上也想有所改進其教學，以促進學生的學習遷移。若在學校遇到與自身同一個教學班級的理化教師時，偶而也會互相分享教學心得，理化教師總是會抱怨學生怎麼諸如正反比的概念都沒有之類的話語，使得他們在教學上有時需要獨立拉出時間來替學生補強該有的數學能力，然而數學並不是理化課的主軸，因此理化教師本身也不可能花很多時間再次幫學生複習已經學過的概念知識，所以學校的理化教師也會反應，學生在這樣子的條件所能獲得的數學概念，也是偏向以記憶性為主，學生透過強記解決理化科的問題，當單元結束後，數學能力也會遺忘得很快。蔡淑君、段曉林(2004)指出，數學語言的意義包含在所使用的情境脈絡之中，當我們使用數學語言時，需要同時考慮所使用數學語言存在的脈絡情境，才能發覺數學的意義，如果學習者在科學情境中運用數學語言，那麼學生更能夠學習並了解數學的意義。因此研究者認為學生在學習完數學之後，本身具備. 3.

(15) 一定的數學能力，若再學習需要相關能力的理化單元，原本比較抽象的數學內容透過理化科的運用後，應該可以使得學生對於原本的數學知識更加的了解，本行動研究目的有以下兩點： (一) 透過事前的教學設計，加強學生的理化科有關數學先備知識的連結能力，改善學生理化科的學習困難。 (二) 研究者透過此一歷程省思數學與自然科學學習的關連性，並增進本身之專業成長。根據上述研究目的，研究者形成對本研究五個待答問題： (一) 個案學生的理化科學習困難，哪些是數學能力不足所造成的？ (二) 如何根據個案學生學習困難設計輔助教學活動以加強學生有關數學的先備知識？ (三) 加強個案學生理化科有關數學先備知識的連結能力，對於學生學習理化科有何幫助？ (四) 個案學生學習理化科後，對於相關數學能力的概念連結是否有所提升？ (五) 在此研究歷程中，研究者的專業成長為何？. 第三節名詞解釋為了使對本研究的範圍能更清楚明白，以下將對本研究有關的重要名詞加以界定、解釋，如下：一、理化在 90 學年度九年一貫課程實施下，將原先國民中學 21 個教學科目(教育部，1994)融合成七大教學領域，其中將原先的生物、理化、地球科學、家政與生活科技、電腦等科目形成「自然與科技」，課本也只有一本，但是在教學上，和原來國編版的課程教學仍類似，一年級的自然課本主要範疇為原先的生物，. 4.

(16) 二年級主要範疇為原先的理化，理化為物「理」、「化」學的簡稱。本研究預介入的教學單元便是國中二年級的物理、化學部分，然而國二的自然課本中還包括了生活科技的內容，方便起見，仍沿用「理化」此名詞讓讀者更明確的了解研究範圍。二、先備知識 Glaser和De Corte(1992)認為先備知識是結構完整且具一致性的知識基礎，並且可以啟發個體的推理、概念化及獲取知識。而先備知識也是預測學習者的學習況狀最好的因子(Alexander & Jetton,2000)。在本研究所指理化科的先備知識，簡言之可以解釋成在理化科教學單元中學生應具備的知識，使在學習理化時，不會因為缺少了這些知識而感到學習困難。而本研究的先備知識聚焦在關於數學知識部分，並針對這一部分去設計教學。三、行動研究林生傳(2003)認為行動研究起於問題，而這些問題大多是在實際的工作中所產生，雖不一定具有學術價值，但是具有重大的實際意義。在整個研究的過程中，教師就是研究者也是行動者，透過計畫、行動、觀察、反省、修正這樣子的螺旋式循環來解決問題(Elliott,1991)。本研究的行動研究乃指研究者在教學工作中，遭遇到學生有學習上的問題所解決問題的研究，其中包含兩次教學單元的觀察，以及兩個循環的教學活動。四、數學連結能力本研究指的數學連結能力是根據教育部(2008)修訂的《國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域》，其連結能力有分成「內部連結」，指學生知識面解題的連貫，和數學數與量、幾何、代數和統計與機率的連結；「外部連結」指數學內部能力與理化科(其他學科)知識層面的情境連結，為本研究重點。. 5.

(17) 第四節研究範圍與限制本研究採用行動研究法，加強數學先備知識於國二學生，探討其理化科的學習情況以及數學概念的認知是否有所提升。然而行動研究仍有許多研究上的限制，分別將本研究的範圍與限制整理如下：本研究的研究對象為研究者本身服務學校的國二學生，其地域性與其他學校不盡相同，學校招收學生來源的地區廣大，學生同儕間的次文化也跟其他學校的學生有所不同，在 4 名研究對象學生的班級氣氛與成長經歷也皆不同。而學生在數學與理化的思維方式與遭遇問題都有所差異性。理化教師的教學方式及內容也會影響學生的學習，即使同一個教師面對不同班級的學生在教學上也會有所因應及調整。蘇家琳(2010)指出不同的教學方式對學生的「學習動機」以及「學習成效」有顯著差異，而對學生的「學習策略」上並無顯著。因此研究者在收集資料證據也盡量多元，並在分析資料的時候作三角校正，以求研究的客觀性，但是在教材上只選定 4 個單元去討論，且在詮釋資料的時候，難免會加入本身的主觀信念，加上每個學生都是獨立的個體，其差異點皆不同，因此本研究結果不適宜作過度的推論，但是可以提供給教育界各先進參考。. 6.

(18) 第貳章文獻探討為了達成本研究目的，改善學生理化科的學習困難，必須先了解學生理化科的學習困難，聚焦在數學的部分，並且針對研究單元數學能力部分去做教學設計。因此本文獻探討於第一節整理數學對理化科學習的影響；第二節則是從數理統整的觀點來看待理化科對數學學習的影響；第三節對於研究者在數學的連結及教學設計上作文獻的探討。. 第一節從學習觀點探討數學對科學的學習遷移本節共分成二部分，第一部分探討數學表徵，從表徵的角度發現數學能力如何以不同型式轉換到類似情境的理化科單元；第二部分探討學習遷移如何產生，在表徵與學習遷移中存在的關係。一、數學表徵表徵(representation)是用某一種形式，將一種事物或想法，重新表現出來，以達成溝通的目的(蔣治邦，1994)。在數學學習中，表徵可用來呈現數學概念與思維，它除了是數學本質上的一環，也是數學概念外在具體化的呈現形式(陳霈頡，2005)。在理化科的學習過程中，除了需要對理化科知識有所了解以外，常發現解決問題的過程中都以數學為工具，換言之，若學生在數學學習時，對於問題的情境若能以一種更有意義的方式來做表徵，則學生對於問題的情境也會更加的清楚、明白，並且在需要相仿數學能力不同情境的理化科學習中，也會有助於學生的學習。楊瑞智(1994)指出解題者基於相關問題的知識，會對問題的詮釋建構出一個認知結構，人類有不同的方式用來形成問題的表徵。也就是說表徵是一種人類對於解題歷程的表達方式，具備此問題的表徵表示對於問題的情境會更加理. 7.

(19) 解。羅素真(1996)認為解題者會將問題的內在表徵，以外在的表徵形式來呈現，藉此達到溝通、解題的目的。例如在解含有未知數的應用問題時，在各個文字敘述上寫出數學代數符號，將文字敘述轉換成數學式子，輔助其解題者思考。 Lesh、 Post 與 Behr（1987）指出，數學學習和數學解題分為五種不同的表徵類型： (一) 真實腳本(real script)：知識是由真實世界所發生的事情組織而成，我們需要利用這些事情的經驗來解決其他的問題情境，亦即將生活經驗放入解題當中。例如在計算兩棟建築物的距離這個問題情境，可以先將距離視為一個線段，接著用腳步長或生活週遭的一些工具，如繩子、皮尺等長器物去量測腳步長的大小，而求出其概略距離。在此我們運用了生活週遭的實體去概算其長度，來陳述問題情境並且解決問題。 (二) 操作型式（manipulatable model）：如積木、算數表、圓形分數版、數字卡......等教具，這些教具可以適用於很多日常生活中的問題情境。 (三) 圖表（static pictures）：利用數線、長條圖……等統計圖表的操作來建立心象。 (四) 口說語言（spoken languages）：日常生活溝通的語言，也包括了特定領域的語言、專有名詞，例如邏輯、百分比。 -2. (五) 書寫符號（written symbols）：數學算式或符號，如 x-4=8，1%=10 。. Lesh 等人(1987)認為，在數學學習中，這些表徵類型雖然重要，但是若能根據問題的情境，在這五種表徵之間做轉換，則更應該去注意，如圖 2-1-1，而且學生在這些數學表徵的轉換過程，便能得知學生在數學概念上所了解的程度多寡。國內學者游自達(1995)也認為數學學習需要注重不同表徵系統的連結，並且能以多樣化的表徵型式來代表數學概念。而表徵系統又分成兩類，一個是. 8.

(20) 在同一個表徵系統中去做轉換，第二個是在不同的表徵系統去轉換(Brenner et al,1999；Dreyfus & Eisinberg,1996)。例如在符號表徵中，我們可以將 1%轉 -2. 換成 0.01、10 ，或是. 1 ，這是屬於在同一個表徵系統內轉換；如果將 1%用圖 100. 表、口說語言、操作型式來表示，就是在不同的表徵系統轉換。圖表. 操作型式. 書寫符號. 真實腳本. 圖 2-1-1. 口說語言. 五種表徵類型關係圖 (譯自 Lesh 等人) 1 4. 而在不同表徵間的轉換，以 Rowan(1990)所舉的分數為例，他將「」用不同表徵的圖示，如圖 2-1-2。. 圖 2-1-2. 1 的表徵方式(Rowan et al,1990；取自陳霈頡，2005) 4. 9.

(21) 常見於教師在教學時無意識的以不同表徵符號呈現，導致學生產生混淆而不解其意義，符號的操弄是數學抽象化特徵的精髓，也因如此，在科學教學中常用符號來進行解題或解釋說明，但符號操弄的數學知識應與科學知識、情境相互結合，否則容易演變成數理知識分割的情形，而讓數學在科學中的角色只作為計算的工具(蔡淑君，2010)。透過數學表徵的轉換，可以幫助學生更有意義的學習數學概念，還能提供學生很多在認知失衡時的轉機(Behr,Wachsmuth,Post & Lesh,1984)。如學生遇到一個問題情境時，可以透過多種表徵系統對問題做詮釋，再由不同表徵系統的轉換來增強對於數學概念的理解。Dreyfus 與 Eisinberg(1996)也指出靈活運用表徵系統的轉換是數學思考能力的一項特徵。若學生能對於問題的情境做不同表徵之間的轉換，則不僅表示學生對數學概念有較深的了解，並且也能將其他情景與數學概念做一個更有效的連結而產生其學習上的遷移。. 二、學習遷移 Bigge 和 Schermis(1992)指出學習遷移是個體在情境中的學習，會影響其他情境的學習和成效。國外一些學者(Ormrod,1995；Singley&Anderson,1989) 也指出學習者若能將先前學習到的知識帶到新情境來運用，則學習遷移就會成功產生。以下將探討三項過去關於學習遷移的研究理論，以了解學習遷移如何產生。 (一)同元素論(Identical Elements Theory) 十九世紀末期，Thorndike 利用迷籠實驗，而提出系統學習理論，其中一點提到了個體在某種刺激情境中學到的刺激-反應連結，將有助於在其他類似情境中學習心的刺激-反應連結，此種現象稱為訓練遷移或學習遷移；按照 Thorndike 的解釋，學習遷移只有在前後兩次的刺激情境中有共同元素時才會發生，而相. 10.

(22) 同元素越多時，學習遷移的效應越明顯，這種解釋稱為同元素論(張春興， 1996)。也就是說，新的學習其內容知識、情境與舊學習越是相似，則過去舊學習的經驗越能對新學習產生學習遷移作用。 (二)類化論(Generalization Theory) Judd(1908)認為舊學習的知識若要能遷移到新的學習，學習者必須要從中去找出在這兩個學習活動的概括原則，而新舊學習活動中相似的部分則是產生遷移的必要前提。以 Judd 的「水下擲靶」實驗為例，則是類化的典型實驗，在兩組測試組別中，一組教導過「水中折射原理」，一組則未教過，兩組用標槍投擲水下的標靶，研究結果發現經過水中折射原理教學的組別較能擊中目標。因此類化論者認為學習之間的共同元素只是產生學習遷移的條件之一，而真正產生學習遷移的關鍵是在學習者是否能找出其中的共同原理原則。而教師可以在兩個學習活動之間的相似部分去設計類似的問題，幫助學生做類似的推理，有助於學生產生學習遷移(Holding,1989)。 (三)能力論(Ability Theory) Klausmeier 與 Ripple(1971)提出學習遷移是因為能力的增加而產生，若在新學習情境中所需要的能力已在過去的學習經驗中獲得，則遷移的效果是可以預期的。而能力論者主張舊經驗能幫助新學習的關鍵，是在於學習者是否能在舊經驗中學到新學習所需要的原理原則(張春興，1996)。由上述理論研究可知，學習遷移所需的條件和表徵之間的轉換是類似的。在新舊學習中若要產生學習遷移，除了在兩者間的情境儘可能雷同外，學習者需要增進自身能力了解在兩個學習情境中共同知識的原理原則以產生學習遷移；而要跨情境去了解其知識的概括原則，則學習者需能將知識做不同表徵的轉換，以帶到新學習中方能產生學習遷移。故此，研究者認為在與數學連結較多的理化單元中，其中學習材料的共同. 11.

(23) 元素(表徵)也會比較多，若學習者能內化這些表徵，以各種不同型式轉換，了解在數學與理化單元中，關於數學知識部分只是表徵上的轉換帶到一個新的情境(原理原則)，便能產生學習遷移，以圖 2-1-3 說明之。. 數學知識. 學習遷移. 理化知識. (不同情境中，發現共同原理原則) 數學知識. 表徵的轉換. 理化知識. 共同元素(表徵) 數學知識. 理化知識. 圖 2-1-3 學習遷移的過程與表徵的關係圖. 第二節數理課程統整對科學與數學學習之影響 Cartrette 和 Bodner(2009)提及，學生過度倚賴數學公式來解釋化學問題，但是根本性問題並沒有釐清，而用基本概念去理解能讓學生較享受其學習樂趣，然而必要時還是需要藉由數學去運用，因此在數學與科學的學習上，科學課程內容有時需將數學做額外的學習。Rief（1983）在早期的研究中也指出，學生在科學解題傾向用記憶或套公式的方式來解題，因此他們只能藉由一些數據的運算或符號回答一些量化層面的問題，並沒有嘗試了解問題中的概念知識層面。. 12.

(24) 以上研究可發現，學生在科學解題的過程，為求方便、快速，常常只是模仿教師利用數學方法這部分，在概念理解及單元的知識常常一知半解，在數學表徵間無法有效做轉換，以至於到新情境的學習沒有有效的學習遷移，只將數學當作是計算工具，對於數學概念也無法有更深入的了解。而在數學與自然科的教材編制上，有許多能力指標是相似的，蔡淑君和段曉林(2004)針對「溫度與熱」此單元和數學能力指標作一對照表，如表 2-2-1。. 表 2-2-1「溫度與熱」單元自然與生活科技領域與其所需數學領域能力指標對照表自然與生活科技領域 7~9 年級，課程能力指標. 圖表的能力. 數學領域課程能力指標. 範例或說明. A-3-11 能理解平面直角 1.紀錄每隔一分鐘溫度 1-4-5-2 由圖表、報告中解讀座標系，並畫出線型函數計的讀數於表格中，從數資料，瞭解資料具有的內涵圖形。據中辨識其規則性。性質。 D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應表格。 2.由實驗數據，做出溫度 D-2-01 能報讀生活中有序與加熱時間的關係圖。資料的統計圖。 D-2-04 能將有序資料整理 3.從加熱時間與溫度的成折線圖，並抽取折線圖中關係圖中，找出加熱 5 分有意義的資訓加以解讀。鐘，100 克的水與 200 克 D-4-03 能辨識具規則性的的水，其溫度分別升高幾度？數列 A-3-12 能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。. 13.

(25) 數. 據. 分. 析. 的. 能. 力. 3-4-0-7 察覺科學探究的活動並不一定要遵循固定的程序，但其中通常包括蒐集相關證據、邏輯推論及運用想像來構思假說和解釋數據。. A-3-07 能運用變數表示 1.從加熱時間與溫度的式，說明數量樣式之間的關關係圖中，找出加熱時間係。與溫度變化的關係。. A-3-14 能利用一次式解決 2.相同的熱量 H，分配給具體情境中的問題。 200 克水時，每克水得到 2-4-1-2 由情境中，引導學生的熱量為 H/200。 A-3-08 能熟練一元一次方發現問題、提出解決問題的程式的解法 3.40 卡的熱，可使質量策略、規劃及設計解決問題 1g、溫度 20 度的水，溫的流程，經由觀察、實驗， A-3-04 能用未知數的等式度上升到幾度？或種植、搜尋等科學探討的或不等式表示生活中或算過程獲得資料，做變量與應數中的問題，並解釋算式與 4.比較攝氏 50 度及華氏變量之間相應關係的研判，原問題情境的關係。 50 度何者代表的溫度較並對自己的研究成果，做科高？ A-3-05 能理解生活中常用學性的描述。的數量關係，並恰當運用於 5.質量 1g 的鐵，溫度上 1-4-3-1 統計分析資料，獲得解釋問題或將問題列成算升 1 度，大約 0.1 卡的有意義的資訊。式。熱，試問 10 卡的熱，可使質量 1g 的鐵，溫度上 1-4-3-2 依資料推測其屬性 A-3-06 能發展策略，解決升幾度？及因果關係。含未知數之算式題，並能驗算其解的合理性。 1-4-4-3 由資料的變化趨勢，看出其中蘊含的意義及 N-3-05 能理解比、比例、形成概念。比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題。 1-4-2-2 知道由本量與誤差量的比較，瞭解估計的意義。N-3-07 能熟練比例式的基本運算。. 判斷的能力推理的. 1-4-1-3 能針對變量的性 N-2-15 能認識測量的普通 1.單位的使用或換算，如質，採取合適的度量策略。單位，並處理相關的計算問溫度單位攝氏及華氏、重量單位、時間單位等。題。 1-4-5-1 能選用適當的方式登錄及表達資料。 N-2-16 能理解普遍單位間的關係，並在描述一個量 1-4-2-3 能在執行實驗時，操時，做不同單位間的換算。控變因，並評估「不變量」假設成立的範圍。 6-4-2-1 依現有的理論，運用 C-S-04 能運用解題的各種 1.兩者能力指標中皆涉類比、轉換等推廣方式，推方法：分類、歸納、演譯、及演譯、推理、推論、類測可能發生的事。推理、推論、類比、分析、比等。變形、一般化、特殊化、模 6-4-2-2 依現有理論，運用演型化、系統化、監控等。. 14.

(26) 能. 繹推理，推斷應發生的事。. 力. 由以上可知其數學和科學的關係密不可分，但是在科學學習對於數學的過度依賴性有時候往往是造成學生科學學習一知半解的問題來源。Berlin 和 White(1998)指出統整數學與科學已被作為提升學生理解、成就、態度的一項途徑，認為科學與數學的統整策略很可能會幫助學生獲得兩學科間緊密的連結與相關。由此可知，學生在數學知識及科學知識的學習上需要做整合性的思考，教師是讓學生有此能力的關鍵人物，在教學中需要注重科學與數學的統整，以下就科學與數學的統整作相關文獻的探討。課程統整（curriculum integration）係指針對學生學習內容加以有效的組織與連續，打破現有學科內容的界限，讓學生獲得較為深入與完整的知識。近代課程統整觀念的發展，可說源起於 1892 年所創立的赫爾巴特（Herbart, 1776-1841）學會，該學會的學者們紛紛提倡學生學習內容的統整性，認為學生的學習不能孤立於生活之外；或者與實際生活相脫節，所以應該重視學科與學科之間的關連性，美國晢學家兼教育家杜威（J. Dewey, 1859-1952）所提倡的「教育即生活」，就是典型的代表人物。在針對科學與數學兩門學科的統整方面，Berlin 和 White（1992）提出兩項明確的定義： (一) 統整是將數學方法融入科學之中，並將科學方法融入數學之中，變成無法區分是數學還是科學。 (二) 統整是混合數學的量化層面與科學的情境層面。. 15.

(27) 而在課程統整的方法上，列舉出以下學者的研究。Davison、Miller 與 Metheny(1995)提出科學與數學統整方法的五種類型： (一) 特定學科的統整（discipline specific integration）：以輔助特定學科的學習為目的，如為了輔助科學學科的學習當中有涉及數學計算，特別在數學課程中加強，包含計算、代數式運算、概算能力，或計算機的使用等，作為科學與數學的整合方式。 (二) 特定內容的統整（content specific integration）：以解決情境問題為目的，如求得大樓高度的問題，為統整數學中的相似形概念和科學中光的概念，在解決問題的過程中可以同時學習到科學與數學兩方面的知識。 (三) 過程的統整（process integration）：以學習實用生活技能為目的，如「測量」的概念及技能在科學與數學的學習過程中為必備的基本能力，因而在針對測量的部分進行整合。 (四) 教學方法上的統整（methodological integration）：因使用好的教學技巧而統整，如「學習環」的教學策略中，提供學生建構新的想法，進而將所學到的科學與數學知識整合。 (五) 主題統整（thematic integration）：以主題學習為目的，選擇一個統整各學科的主題，如以油輪漏油這一個環境保育為主題，我們可以用數學方法計算污染海洋的表面積、體積，用科學方法計算油的密度，以及探討這樣的事件對環境保育及社有什麼衝擊，在這過程中已無分學科界線，但是可以包含各種學科如數學、科學、人文、社會議題在其中。. 16.

(28) 另外，Steen（1994）也提出五種進行科學與數學課程統整的方法： (一) 只在科學教學中使用數學方法。 (二) 只在數學教學中使用科學的範例或方法。 (三) 數學教學完全視為科學教學的一部份-當作語言或是工具。 (四) 科學教學完全視為數學教學的一部份-當作原理的應用。 (五) 在科學教學中使用數學方法，同時在數學教學中使用科學的方法，兩門學科達到足夠的協調使得統整是可行的。而 Steen 認為上述五種方式以第五種方式的統整較為合宜、可行的。由上述研究反思國內現行教育體制下的教科書，在數學與科學的統整仍有很大的進步空間。教科書的編審需要經過繁密的過程，對於大部分的教師很難去影響其內容，但是教師在自身的教材設計及教學上仍可以有很多作為，以下為 White 和 Berlin (2006)在新世紀科學教育暨師資研討會上提出整合方案及教師的作法(引自賴燕慶，2007)： (一) 系列整合：將學習主題和單元重新編排成一系列課程，使得原本在各自獨立單元中相似的概念得以統整，使得學生在解決問題時，具備所需相關的能力。 (二) 分享整合：部份重疊概念的兩門學科要能分享教案及教學活動，藉此強化學生所學的知識與技能。 (三) 網狀整合：將富含創意的課題綿密排入課程規劃與學科中，各學科章節藉此課題來篩選分出概念、主題、思維。 (四) 連結整合：課程規劃需與社會技能、思考技能、多元智能及各學科的學習技能產生連結。. 17.

(29) (五) 統籌整合：相吻合的主題與概念融會貫通於可信的統合架構中，將相關的知識發展出概念構圖，促進學生整合的能力。而教師在教學上可以採取以下作法： (一) 要求學生製作曲線圖並嘗試解析圖表的意義。 (二) 平時收集有關數學與科學整合優良的活動。 (三) 要求學生參加科學與數學整合有關的親子活動。 (四) 閱讀有關整合的學習理論。 (五) 對於有關科學與數學的學生作品，每週能維持實證上的記載。除此之外，White 和 Berlin(2006)還提出幾點數理統整對於學習者的潛在幫助(引自賴燕慶，2007)： (一) 可以幫助學生體認到數學與科學是無所不在的。 (二) 提供了創意相互激盪及深刻理解的機會。 (三) 促進學科整合和社會技能的發展。 (四) 協助抽象與具體之間的轉換。 (五) 引導學生的學習由整體進展到部分，提供高於知識水平的指導。 (六) 使學生更能融入操作的情境。 (七) 協助學生在有關情境下的鑑賞與明白表示其觀點。 (八) 使學生增進了科學的連結。 (九) 對學生所學的概念得到更深刻的理解。. 故此，由本節的文獻探討中得知，教師需在科學教學將數學融入統整後，再將其統整知識傳遞給學生，並且幫助學生在學習科學時，進行統整概念的思考，才能使學生了解完整的科學概念知識，並且對於數學的應用知其所以然，在新學習情境下，更加能產生學習遷移，以圖 2-2-1 說明之。. 18.

(30) 數學能力. (未經統整的科學學習). 科學知識. (經教師統整教學、學生. 數學能力. 整合思考的科學學習). 數學能力. (未能進行有效的學習遷移). 科學知識. (較零散的科學知識概念). 數學能力 (能有效遷移到相似的學習情境) 科學知識 (能得到較完整的科學知識概念). 科學知識. 圖 2-2-1 統整學習對於數學與科學的關係圖. 第三節數學與理化科的連結教學在前兩節的文獻中，不管是表徵的轉換、學習遷移以及數理的統整上，在其理論上皆含有「連結」的概念，因此教師在數學教學上，在課程與教學設計均要將其涵蓋其自身的教學中，NCTM(2000)在「學校數學原則與標準」中指出：數學思考著重在尋求連結，產生連結可建立對數學的理解，若無連結，學生則必須學習且記憶太多孤立的知識與技能，透過連結，學生可在先備知識基礎上建立新的了解。數學本身是一個嚴謹的知識體系，不同於科學學科的知識時常被驗證、推翻，而它的敘述是一種抽象形式的語言，表徵的連結上也較難以親近。教育部 (2008)指出數學課程的設計應重視其內在結構的連結，以及數學在生活情境和其他學科(如自然科學)的連結，在數學內容的五大能力指標中，最後一項為「連結」，其內容如表 2-3-1。. 19.

(31) 表 2-3-1 數學「連結」能力指標內容連結 ◎察覺 C-R-01. 能察覺生活中與數學相關的情境. C-R-02. 能察覺數學與其他領域之間有所連結. C-R-03. 能知道數學可以應用到自然科學或社會科學中. C-R-04. 能知道數學在促進人類文化發展上的具體例子. ◎轉化 C-T-01. 能把情境中與問題相關的數、量、形析出. C-T-02. 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出. C-T-03. 能把情境中與數學相關的資料資訊化. C-T-04. 能把待解的問題轉化成數學的問題. ◎解題 C-S-01. 能分解複雜的問題為一系列的子題. C-S-02. 能使用合適的數學表徵. C-S-03. 能瞭解如何利用觀察、分類、歸納、演繹、類比等方式來解決問題。. C-S-04. 能多層面的理解，數學可以用來解決日常生活所遇到的問題。. C-S-05. 能瞭解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。. ◎溝通 C-C-01. 能理解數學語言(符號、用語、圖表、非形式化演繹等)的內涵。. C-C-02. 能理解數學語言與一般語言的異同。. C-C-03. 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。. C-C-04. 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。. 20.

(32) C-C-05. 能用數學語言呈現解題的過程。. C-C-06. 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。. C-C-07. 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性. C-C-08. 能尊重他人解決數學問題的多元想法。. ◎評析 C-E-01. 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。. C-E-02. 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。. C-E-03. 能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。. C-E-04. 能評析解法的優缺點。. 從以上能力指標可把數學的連結分成「內部連結」及「外部連結」，內部連結貫穿數與量、幾何、代數、統計與機率四項能力指標，強調的是知識面數學解題的連貫；外部連結則是強調與其他學科或生活領域中，在數學的察覺、轉化、解題、溝通與評析能力的培養。郭重吉(1992)以建構主義的觀點，探討學生如何學習數理概念，他認為學生利用他們原有的概念架構來解釋和了解老師所講授的內容以及課本知識，學習數學知識需要與學生原有的知識和經驗相連結，才能產生有意義的學習。本研究重點在於數學與理化科學習的關係，主要著重在外部的連結，從表徵的遷移至知識的統整，強調數學應與理化科情境知識做連結，楊瑞智(1999) 所提出的「生活化數學課程設計的理論模式」中，將學生遭遇到的數學問題情境分成三種不同類型： (一) 真實(real)生活的問題情境：指學生在真實生活中遇到的問題。學生解. 21.

(33) 決這類的問題，是在此情境脈絡中，用情境的知識和策略解決問題。 (二) 擬真實(authentic)生活的問題情境：指教師(或教科書等教材)設計模擬真實世界可能會遭遇到的問題給予學生，這些問題在學生發展數學概念為相當重要的角色。 (三) 形式(formal)的數學問題情境：以形式化數學知識的問題，學生用數學符號、運算規則來解決。在生活化的數學課程設計取向中，是從真實的情境過渡到形式上的數學問題情境，並且以擬真實的的問題情境當媒介，其教材設計在這一部分顯得格外重要。但是很多學生在對於教科書上的題目進行解題時，常常著眼於題目上的表面數字，並未思考題目的深層意涵，對題目呈現的情境也毫不關心(楊惠如， 2000)，學生只學到片段的數學抽象概念，而無法將數學概念應用在實際生活的困境中。在本研究的研究對象，相對於一個班級人數少上許多，在設計輔助教學活動上，除了可以使用一些數學教學方法外，還可參照一些補救教學策略來設計，以下為一些相關探討文獻： (一) 直接教學法這種教學策略適用於教導學生記憶事實，學習動作技能，以及簡單的讀、寫、算技能。美國學者Rosenshine和Madeline Hunter是主要的提倡者。根據他們的主張，教師主要負起組織教材和呈現教材的責任，學生主要的任務是在接受學習(張新仁，2001)。其教學步驟如下(張新仁，1995；引自張新仁，2001)： 1.復習舊有相關知識 2.呈現新的教材 (1)陳述教學目標 (2)組織教材，一次教一個重點 (3)示範個別步驟. 22.

(34) (4)教完一個步驟，立即檢查是否學會 3.學生在教師指導下做練習 4.提供回饋和校正 5.學生獨立做練習 6.每週和每月作總復習 (二) 個別化教學個別化教學非指師生一對一進行教學，而是教師的教學能適應學生個別差異，使學生以最合適的方式進行學習，發展個人潛能(黃政傑，1997)。其教學方法有很多種，如編序教學、凱勒教學模式……等。 (三) 後設認知教學策略模式關於後設認知的意義較難清楚的描述，而Flavell(1976)指出，後設認知是個人對自己認知歷程的主動監控和調整。在教學法上，參照Borich 和Tombari （1997：147）所提出的後設認知策略的教學，共分成七個步驟(引自郭秀緞， 2006)： 1、針對每個科目的學習重點，教導明確的認知策略。 2、當學習者知道如何使用策略後，給予他們兩個性質相當的認知作業，要求學習者一個作業使用策略，另一個作業不使用策略。 3、要求學習者分辨使用策略與不使用策略的差別。 4、學習者紀錄並比較兩種（使用與不使用策略）所獲得的學習量。 5、和學習者討論如何使用策略以增進學習。 6、要學習者表達下次面對類似的學習情境時，他們願意使用策略。 7、再給學習者機會，以使用策略，並監控策略的效果。其中第一個步驟是屬於認知策略教學的階段；第二個步驟是屬於實地執行策略的階段；第三、四、五個步驟是屬於教導後設認知策略的階段；而第六、. 23.

(35) 七個步驟則是屬於培養學生自發性使用策略、監控策略的階段。 (四) 建構式教學國內外研究建構式教學方法眾多，有美國 1980 年代 BSCS(Biological Science Curriculum Study）的 5E 教學模式、國內學者鄔瑞香在 1993 年所提出的建構教學模式及張靜嚳在 1996 年提出的建構教學模式……等，這些建構式教學法都是強調以學生為主體，讓學生在這學習的過程和情境中的人、事、物互動，讓學生以原有的舊經驗透過皮亞傑所謂的同化和調適來學習。因此胡志偉(1997)對建構式教學的原則提出一些具體方法： 1、進行教學時，不直接教導學生。 2、用生活中的情境來佈題，以學生的舊經驗來建構新知識。 3、鼓勵學生在課堂上發表不同於別人的意見，使別人能聽到不同的觀點。 4、不鼓勵學生做機械式的練習。 5、讓學生感覺到自己的概念是有缺點的，然後再幫助學生發展出正確的概念。 (五) 心智圖法心智圖法是英國學者Tony Buzan 在1970 年代初期所發展出來的一套輔助思考與記憶、幫助摘要資訊，以及激發創意的思考模式與圖像式筆記術，心智圖法是以一個主題為中心，並將主題具象化後展開與主題相關的概念分枝，過程中強調提取關鍵字，並利用線條、圖形、文字、顏色……等各種方式，將吸收到的內容或自己產生的想法不斷地連接、擴散，最後完成一張個人化的心智圖，可使學習者更有效率的學習(羅玲妃譯，1997)。 (六) 數學寫作陳怡靖(2004)指出，在傳統的講述式教學中，學生獲取知識較為快速，但可能會造成學生沒有理解數學的觀念、強記公式定理的情形，而在一些建構取. 24.

(36) 向的教學方式中，如異質分組的合作學習，也會發現主導權往往都在程度高的學生，對於程度低的學生難以獲得有效學習，因此提出 NCTM 所建議的「數學寫作」為解決方案。NCTM 建議學生將數學上的觀察及概念，以作文的方式寫成紀錄，以釐清學生學習數學時的想法及概念，學生可藉此紀錄數學解題的思考過程，而教師可以從中了解學生建構的概念是否正確，再進行下一歩的教學策略。數學寫作因教學的目的、需要，在設計上有許多形式，如 McIntosh(1991)提出札記(logs)、日誌(journals)、闡述性寫作(expository writing)以及創造性寫作(creative writing)；Kenyon(1989)依據寫作時間分成「長期間寫作」（long-term writing technique）和「短期間寫作」（short-term writing technique）；Rose(1989)根據寫作的功能分成「表達性寫作」（express writing）和「執行性寫作」（transactional writing）等，都是數學寫作形式的一部分。在本研究的數學輔助活動設計中，由於聚焦數學知識與理化科的連結，加上學生對於數學知識早已在國中一年級時學得，其輔助活動應以較為統整的方式；而在研究者本身課務及研究對象學生皆不同等因素之下，使得研究者與學生共同時間有限，不宜使用需要較長時間的數學寫作形式，因此本研究輔助活動設計採用同為數學寫作形式之一的「數學擬題」(problem posing)方式。 Silver(1994)指出擬題是從給定的題目中去變化成新的題目，或者是從學生的經驗或情境中創造出新的問題，透過數學擬題可以改善學生的學習情況，同時教師也應該引導、協助學生在過程中探究其數學概念，將會使學生的擬題程度以及對於數學概念的理解及學習態度有所提升。國內學者徐照麗(2004)也指出學生在進行數學擬題時，需要主動了解數學概念以及使其數學概念和生活情境或經驗相結合，之後教師可以在學生擬題的成果中了解學生對於數學概念的程度，並發現學生有哪些盲點或者概念不清楚的地方，給予適當的修正及引導。. 25.

(37) 林峻志(2007)研究指出，中數學學習成就學生之擬題表現進步幅度大，且有效提升概念理解層次，同時數學擬題教學策略適用於各種程度學生之數學學習，以下探討一些學者針對擬題方式所提出的類型。 Silver(1994)將擬題分成兩種類型： (一) 從已知題目中，經由修改再產生新的題目。 (二) 學生從既有經驗或情境中創造新的題目。而另兩位學者 Stovanova 和 Ellerton(1996)將擬題分成三種類型： (一) 結構化(structured)情境：學生利用現有的題目加以修改、變化，擬出新的題目。此方式和 Silver 第一種擬題相似，通常學生只需修改題目上的數字，並檢驗其各數字間是否會產生前後矛盾便可。 (二) 半結構化(semi- structured)情境：學生利用之前學過的數學知識、概念、技巧以及關係的連結，形成一個結構完整的問題。例如學生在學過勾股定理以及箏形性質後，可設計給定箏形邊長及其中一條對角線長度去求箏形面積的題目。 (三) 自由化(free)的情境：學生不受限制，自由發揮進行擬題。綜合以上的文獻探討，本研究注重數學與理化科情境知識的結合，因此在擬題的過程中，研究者會讓學生先以數學為主，並以學習過的理化單元知識為情境背景進行結構化的擬題，幾次後逐漸進展到半結構化擬題；接著在學習新的理化單元時，改以理化情境知識為主，並融入其數學能力進行擬題，讓學生對於理化科情境知識和數學知識的統整上能有更深入的了解。. 26.

(38) 第參章. 研究設計與方法. 本研究屬行動研究，教師也是研究者，從學生的學習理化的過程中去發現他們的學習困難，針對學生數學能力部分去加強而協助他們理化科學習，並且從中去做教學反思。本章共分為六節，第一節說明研究對象與研究情境，第二節為理化科的教材分析，第三節是研究設計與流程，第四節為研究工具，第五節是資料分析，最後一節探討本研究之研究倫理。. 第一節研究對象與研究情境一、研究情境 (一) 學校背景研究對象學校位於台中市靠近大坑附近的一所完全中學，歷經九二一大地震，校區也重建過，班級數從九二一地震後剛遷校區時，大概一個年級只有 6 班並且沒有高中部，至今國中部一個年級約有十多個班，且還有高中部的學生，在整個台中市的中等學校中，算是一所大型學校。近年來由於辦學績效不錯，許多家長皆希望孩子能來唸本校，因此學校國中部學生也很多是跨區就讀，造成本校國中部班級人數增多，有的年級班級平均人數甚至達到 40 人以上，教師也隨著學生人數增多，在班級經營上投入更多的心力。 (二) 學生背景本校的學生由於大多生長的地區在學校附近，自然景觀或者登山歩道從小接觸較多，與都會區的學生相比，社會化程度較少，個性也較質樸，但是在學習的競爭力上似乎就比較薄弱，學習意願也被動許多，教師在教學上常常需要利用正增強或負增強使學生學習。. 27.

(39) 整體而言大部分學生的家庭經濟狀況中等以上，但是也有少部分比例的學生家庭有經濟困難，在外籍新娘子女越來越多的台灣社會下，於本校似乎沒有太大的影響，但是家長在教養小孩子的態度上，也有不少比例是比較偏向讓孩子自由發展，在行為舉止的要求上就沒有很嚴謹，學生在生活態度以及禮節上皆需一一的要求。學生在課堂上課的情況和其班級導師的要求、管理之下有很大的關係。本校在上課前一分鐘有預備鐘鈴聲，提醒學生該是收心進教室的時候，一分鐘後又有一個正式的上課鈴聲，但是常可見到在上課正式鈴聲後，有些班級的部分學生仍然是在教室外面遊蕩，對於兩次的鐘聲充耳不聞，但是也有的班級學生能在預備鐘後便整班坐在位置上，安靜的等待教師來上課。而在教室上課情況，由於很多學生學習較為被動，因此若課堂教師沒有較為嚴格的要求下，常會發生學生在課堂睡覺、講話或是從事一些與課堂無關的活動。整體而言，多數班級的學習風氣皆較為被動，需要老師去激勵、鞭策。 (三) 研究者背景研究者畢業於國立臺灣師範大學數學系，目前約有五年教學經驗，一年在台北市的國中，接著便介聘本校服務至今，曾擔任過導師(目前職務也是導師)、專任教師、台中市數學科國教輔導團的助理輔導員，在教學的歷程中自認許多能力不足，因此也會去觀摩其他數學科教師的教學，與其有經驗、資深的教師請教一些教學上的問題。研究者在幾年的教學中體認到，一個優秀的國中教師首先需要的是對教育的那份熱忱，並且有良好的情緒管理，才能發揮自己的專業教導學生，從中根據學生的學習落差去改善自己的教學，以促進本身的專業成長，也因如此，研究者在民國 99 年選擇至國立臺中教育大學科學應用與推廣研究所進修，希望能多接觸不同面向的知識來精進教學。. 28.

(40) 研究者在本研究中扮演研究觀察者、教學設計者以及教學者等角色，各角色的職責範疇如下： (1) 研究觀察者：於研究過程中觀察班級學生的上課狀況，紀錄在研究者反思日誌中，從中選擇研究對象，訪談理化教師及學生去了解學生在理化科上所遇到的學習困難。 (2) 教學設計者：研究者從觀察、訪談到的學生學習困難中，配合理化教材去做分析，並且詢問理化科教師的教學內容三者去做教學的設計。 (3) 教學者：研究者依據教學設計進行教學，並在教學過程中觀察學生的學習狀況，適時的調整教學，在整個教學研究中，以教師的角度將行動的過程記錄於研究者反思日誌中。二、研究對象 (一) 選定研究班級由於研究者要協助學生學習理化科，因此以自己所任教數學的班級中挑選研究對象。研究者在 99 學年度當中任教 2 個國中三年級的數學課，2 個國中一年級的數學課，1 個國中一年級的體育課，且皆為不同的班級，到了 100 學年度，兩個國三班級畢業，而兩個國一升國二的數學課無變動，但是其中一個班級為導師班，另外一個國中一年級時教導體育，到了國二變成教導數學。因此研究者 100 學年度教了 3 個班級數學，而且兩個科任班的理化老師為同一人，所以準備從兩個科任班當中選擇適當的研究對象。在兩個科任班中，原先在國一教導數學的班級，和另外一個班級比較起來，學生反應較好，但是學習意願較低，研究者本身從他們國一起便為數學教師，所以在他們的數學能力、學習態度上有比較充分的了解。而另外一個科任班國一教導體育，所以對他們數學能力，及上室內課的學習態度並不清楚，只能在二年級重新去了解、觀察。在這樣子的起始條件下，研究者原本擬訂每個班級. 29.

(41) 挑選數學程度低、中、高的學生各兩名作為研究對象，從「物質的密度」此單元開始進行觀察及訪談，然而實際著手後，發現研究者本身課務繁忙，無法負荷如此龐大的研究對象，尋求指導教授的協助後，指導教授建議研究者縮減研究對象的數量來進行較長時間的研究。影響學生學習理化科的因素有很多，許嘉仲(2002)也指出，學生個人的興趣、能力、自我認知到班級環境、理化老師的教學方式……等都是影響的因素，而在他的研究個案顯示中、低成就的學生習慣以背的方式來學習理化，高成就的學生則會以理解的方式來學習理化。在一個班級中，學生的先備知識與資質皆不同，教師的教學也會經過評估後才進行。黃光雄(1990)認為教學的一般模式乃是一種對於教學設計、實施、評鑑和改進等程序的指導，其流程圖如下：. 教學目標. 預. 估. 教學程序. 評. 鑑. (回饋路線) 圖 3-1-1 教學的一般模式. 在上述的流程圖中，「預估」為在教學單元開始以前，教師確定學生先備知識(起點能力的預估)的認知以及他們對於要學習教材的認知(終點能力的預估)，進而評定此單元的教學目標(黃光雄，1990)。在詢問理化教師的教學模式後，理化教師多以中等程度學生為預估進行教學，之後再因材施教，且會因應其班級狀況的不同調整教學目標，因此研究者所要選定的研究對象改為數學能力為中等左右的學生，並且避免重複學習的因素，學生理化科以沒有補習為佳，且在班上學習態度良好，不容易受到班級環. 30.

(42) 境所影響作為研究的對象。研究者尋求這兩班(以 2A 及 2B 表示)的理化老師協助，同意研究者入教室觀察及錄影，並且為了排除觀察者效應，在進行主要單元觀察前幾堂課，便將攝影機入教室觀察。研究者在入教室觀察前，便詢問理化老師學生的上課情況、學習態度等，加上研究者在數學課堂上的觀察，事前每班挑出 4 名左右的學生為主要觀察對象，紀錄他們在課堂上的中斷學習行為，評測學習態度。 (二) 選定研究對象根據以上準備階段，本研究在「物質的密度」此單元，針對上述八名學生進行教室觀察、晤談，及學習成績的紀錄，結果如表 3-1-1：. 表 3-1-1 預定研究對象資料學生代稱 (班級) 鄭同學 (2A). 補習情形. 學習態度及學習情形. 數學、理化皆未補習. 許同學 (2A). 數學、理化皆未補習. 數學、理化學習態度相當良好，專注力佳，較不容易受到同學的影響，回家也會很用功的練習題目。數學程度中上，但是有時候會考不好，該生對數理的學習較沒有信心。第一次段考數學成績為 96 分，理化成績為 84 分。數學、理化學習態度相當良好，專注力佳，較不容易受到同學的影響，但是思考速度略慢，回家也是很用功的複習及練習。數學程度中等，但是該生對於科學的學習相當感興趣，也擔任該班的理化小老師。第一次段考數學成績為 80 分，理化成績為 81 分。. 31.

(43) 賴同學 (2A). 數學有補習，理化沒補習. 羅同學 (2A). 數學、理化皆有補習. 游同學 (2B). 數學、理化皆未補習. 張同學 (2B). 數學、理化皆未補習. 由於數學有補習，所以該生在數學課上會選擇性的聽課，而理化科的學習態度良好，不容易受到同儕的影響。數學程度中上，該生在學習上比較有主觀想法。第一次段考數學成績為 92 分，理化成績為 87 分。該生在一年級的學習給研究者良好的印象，但是可能是班級環境的影響，在二年級有所轉變，專注力變得不佳，容易受到同儕影響，常常會有與學習無關的談話，或者作一些與該課堂無關的事情，數學課比理化課更加明顯。數學程度中上，但是到了二年級後有所下降。第一次段考數學成績為 96 分，理化成績為 96 分。該生一年及給予研究者的印象較為活潑好動，感覺對於學科較沒有學習動機，但是在二年級的觀察下，不管是數學或理化科的學習態度均為良好，但是作業偶而會沒按時寫。該生一年級的數學學習狀況不佳，因此在二年級的數學課上有時會請教研究者一些舊教材內容。整體觀察下來，該生數學程度中等，第一次段考數學成績為 72 分，理化成績為 78 分。該生數學、理化學習態度良好，不易受到同儕影響，且在一年級初為該班級段考成績第一名，但是在後續學習上未能延續好成績，該生在數理的學習上較偏向記憶性的方式學習，使得後續的數學成績不起色。在二年級第一次段考前的觀察下來，該生數學程度中等，數學段考成績為 72. 32.

(44) 劉同學 (2B). 數學、理化皆有補習. 盧同學 (2B). 數學、理化皆有補習. 分，理化成績為 88 分。由於有補習的關係，在數學、理化科的學習上較偏向選擇性的聽課，也容易受到同儕影響而講一些與課堂學習無關的對話，學習方式也比較偏向記憶性的學習而非理解，雖然該生花了很多時間在課業上，但是成績並沒有相當出色。第一次段考數學成績為 87，理化成績為 80。該生雖然數理皆有補習，但是上課情況良好，作業也都會如期完成。數學程度中等，第一次段考數學為 80 分，理化科成績為 77 分。. 基於以上的個案資料，研究者詢問理化老師對他們的一些看法及建議，最後每班各選兩名為研究對象，分別是二年 A 班的鄭同學及許同學，二年 B 班的游同學及張同學，他們數學、理化皆未補習，且學習態度良好，數學程度中等以上，四名學生基本資料如表 3-1-2。. 表 3-1-2 研究對象基本資料表學生代稱鄭同學 (2A) 許同學 (2A) 游同學 (2B) 張同學 (2B). 個人的興趣與志向文靜但富有想像力，喜歡畫畫，以後希望能從事與繪畫有關的行業，但是可能受到家庭背景的影響，對於學業成績卻有莫名的堅持，在個人興趣與家長期待有不小的矛盾。父親是工程師的關係，或多或少讓許同學從小喜歡操作性的玩具，如：模型、魔術方塊等，該生對於理化的學習是抱持著很大的興趣，也自願參加學校的機關王社團。在二年級後，對於課業基本上積極進取，唯獨英文成績不見起色，該生希望以後能進入好的高職唸機械科。對於學習還算認真進取，但是對於課業上較無得失心，覺得有認真就好，結果不需過於在意，喜歡看課外書，希望以後大學能唸國文系。. 33.