２－３三角函數的圖形

(1)

２－３．三角函數的圖形

多選題

　　１.下列何者為真？ (A)sin55°>cos55° (B)cos40°<sin40° (C)csc48°<sec48° (D)cot20°<tan20° (E)sin220°>cos220°。 [計算題][２－３．三角函數的圖型] 　　１.設0，360_，已知sin－365cos＝366_{，試求：(1)}



_，_的值(2) ) sin( 2001 ) 2 3 cos( 2000 ＋ － － 的值。

　　２.若 0°x2，且滿足 cos7_{x＋cos7x＋7cosx＝9 試求(1)cosx 的值。(2)x 的解。}

　　３.有一扇形的周長度量與其面積度量恰好相等。若此扇形的圓心角為 θ，問其所在的圓之半徑為何　　４. 如右圖：一直圓錐台，上下底半徑各為 2，5，高為 6；求此錐台的側面積　　５.下列各圖中，AB=100cm，求斜線部分的面積。(1)分別以 A，B 為圓心，以AB為半徑所作的兩個圓的相交部分。(2)分別以正△ABC 的三個頂點 A，B，C 為圓心，以其邊長為半徑，各作一圓的相交部分。　　６. 如右圖：以邊長為 10 的正三角形之各邊長為直徑，作半圓，求斜線部分的面積。　　７. 如右圖：以OA_，OB_為_直_徑_在 4 1 圓OAB_內_各_作_半_圓_，_若 OA=OB=2_，_求_斜_線_部_分_的_面_積_。

(2)

　　８.半徑為a及3a之二圓外切於一點Ｐ，設AB為一外公切線段，而A_，B_為_切_點_，_由_弧AP_，PB_與AB_所_圍_區_域_周_長_為L_，_面_積為R_，_求L_及R_。　　９.試利用 y=sinx 之圖形，在－2



與2



之間，作函數y= 2 1 (sinx+sinx _{)之略圖。}

　１０.試利用 y=cosx 之圖形，在－2



與2



之間，作下列各函數之略圖。(1)y=cos x _{(2)y=cosx+cos} x _。　１１.試利用 y=tanx 之圖形，在 2 3 －與 2 3 之間，作函數y=tanx－ tanx _之略圖。　１２.比較大小：sin33°，tan33°，sec33°。　１３.比較大小：a=sec697°，b=tan405°，c=cos143°，d=sin37°。　１４.設 45°<θ<90°，a= 2 1 log _sinθ，b= 2 1 log _cosθ，c= 2 1 log _tanθ，d= 2 1

log _{secθ，試比較 a，b，c，d 之大}

小。　１５.設 0x



，求下列各函數之最大值與最小值。(1)sin(x+ 6  ) (2)cos(x－ 3  ) (3)sin( 3 5 －x)。　１６.設函數 f：_R→R， sinx 3 sinx 3 (x) －   f ，試求 f(x)之值域。　１７.設 k



R，若 2sinθ－1=k(2sinθ+1)恆有解，求 k 之範圍。　１８.設0<θ<90且secθ－2=k(secθ+2)，求 k 之範圍。　１９.求 f _(x)=cos2_x+ 2 1 sinx－1 之最大值。

　２０.求滿足3cos__＋cos3__＋cos3__＝5_{，在[0 2}_﹐



_]上的_值。

　２１.設 k 是實數，使得(2sin－　3)＝k(2sin＋3)恆有解，試求k 的範圍。　２２.半徑為 1 的三個圓互相外切，求此三個圓間所圍區域的面積。　２３.兩圓C1﹐C2的半徑分為 3﹐1，圓心距為 2，求兩圓形區域共同部分的面積。　２４.一扇形的周長等於其所在的圓的周長的一半，求此扇形的圓心角。　２５.一扇形的周長為定值 k，求此扇形的最大面積。　２６._半_徑_為a_的_半_圓(_如_右_圖)_，_兩_平_行_弦AB_＝a_，CD_＝2a_，_求AB 與CD_間_斜_線_區_域_的_面_積_。　２７.判別方程式sinx＝_x 實根的個數。　２８.x[0_﹐2]，判別方程式2x_sinx_＝1_{實根的個數。} 　２９. 6 [ x _﹐  12 5 ]，試求 8(cos4x_＋sin4x)_{的最大值。} [單選題][２－３．三角函數的圖型]

(3)

　　１.設0x2，則兩圖形y＝tanx與y＝cotx的交點數為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。　　２.下列各三角函數值中何者最大？ (A)  7 1 tan _(B)  7 5 tan _(C)  7 9 tan _(D)  7 13 tan _(E)  7 17 tan 。

　　３.下列敘述中，何者錯誤？ (A)sin0＝0_(B)cos90＝0 _(C)tan 無意義 (D) 0 2 3 cot ＝ (E) 1 360 sec ＝。　　４.y＝tanx的圖形與下列何者相同？ (A) x) 2 tan( y＝ ＋ (B) x) 2 tan( y＝ － (C) ) x tan( y＝ ＋ (D)y＝tan(－x) (E) x) 2 3 tan( y＝ ＋。

　　５.sin2x＋cos3x＝0在0 到2之間的實根有多少？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 (E)6。　　６.下列何者正確？ (A)    6 5 x 4 －時， 2 1 x sin 2 2 _ _ － (B)y＝3cos(2x＋)的週期為



(C) 若tanA＝tanB，則A＝B (D)y＝3cotx在

2 n x＝ (n 是整數)處沒有定義 (E)由 x csc ) 2 x sec( － ＝說明了函數y＝secx 圖形向左平移 2  單位即得y＝cscx的圖形。　　７.設 0x2，則兩圖形 y＝sinx 與 y＝cosx 的交點數為 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。　　８.下列各三角函數值中何者最大？ (A)sin1 (B)sin2 (C)sin3 (D)sin4 (E)sin5。

　　９.下列敘述中，何者錯誤？ (A)cos0°＝1 (B)sin90°＝1 (C)tan90°＝0 (D)sec180°＝－1 (E)csc90°＝ 1。　１０.y＝sinx 的圖形與下列何者相同？ (A)y＝sin(x＋ 2  ) (B)y＝sin(x－ 2  ) (C)y＝sin(x＋) (D)y＝ sin(x－) (E)y＝sin(－x)。

　１１.｜x｜＋10tanx＝0 在(0 , 2)間的實根有多少？ (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。　１２.函數 f(x)＝2sin3x，則下列何者不正確？ (A)－2f(x)2 (B)f(x)在 x＝ 6  時有最大值 (C)f(x)的週期為  3 2 (D)y＝f(x)的圖形對稱於直線 x＝ 2  (E)f(2)＞0。　１３.y＝cosx 的圖形向右平移 2 

單位，所得新圖形為 (A)y＝sin(－x) (B)y＝－sinx (C)y＝cos( 2  － x) (D)y＝cos( 2  ＋x) (E)y＝－cosx。　１４.下列哪一個正切函數值最大？ (A)tan( 11 26 － ) (B)tan( 11 17 － ) (C)tan( 11 3 ) (D)tan( 11 13 ) (E)tan( 11 23 )。　１５.設 4 5 <x< 2 3

，則下列何者為真？ (A)sinx－cosx>0 (B)cosx+sinx>0 (C)cosx－sinx>0 (D)tanx+cotx<0 (E)cscx+secx>0。

(4)

　１６.方程式 log2x=(x-1)(x>0)解的個數為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)大於 3。　１７.下列五數中，何者為最小？(A) 3 1 2 (B) 2 8 1        _(C) 4 1 2 (D) 2 1 2 1       _(E) 3 1 8 。

　１８.當 x 介於 0 與 2



之間，直線y=1-x 與函數 y=tanx 的圖形，共有幾個交點？(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (E)4。　１９.設想地球是個圓球體，已知沿著赤道，經度 10 度間的距離是 1113 公里，那麼沿北緯 200_線，經度10 度間的距離最接近下面那個數值？(參考圖 2) (A)1019 (B)1027 (C)1035 (D)1046 (E)1054。　２０.下列那一個正切函數值最大？ (Ａ)tan(-11 26 ) (Ｂ)tan(-11 17 ) (Ｃ)tan 11 3 (Ｄ)tan 11 13 (Ｅ)tan 11 23 。 [填充題][２－３．三角函數的圖型] 　　１._矩_形_A_B_C_D_中_，_AB_＝₅_，_BC_＝₁₀_，_則_以_A_為_圓_心_，_AB_，_AD 為半徑畫弧，如右圖中斜線區域的面積為。　　２.設一扇形的面積為定值，則當圓心角＝弧度時，扇形的周長為最小。　　３.設   3 2 6 ，則y＝cos(2－)的範圍為。

　　４.滿足2sin__＋sin2__＋sin2__＝4_，在[0，



_]上的__{值為度。} 　　５.設函數 f：R→R， x sin 3 x sin 3 1 ) x ( f ＋＋＝，則f(x)的值域為。　　６.設函數 f：R→R，f(x)＝cos2x＋2sinx＋2，則f(x)的值域為。　　７.方程式secx＝cscx _在[－，]的解的個數為。　　８.已知60150，則y_＝2sin2__＋2sin__＋1_{的最小值為。}

　　９.已知



的近似值是3.14，若a＝sin1.5，b＝sin3，c＝sin4.5，則a，b，c 的大小為。　１０.已知sec26＝2.3，若sec＝－2.3，且90＜＜180，則＝度。　１１. 如圖，正方形ABCD_中_，_若_邊_長_為4_，_以AD,AB_為_直_徑_作_圓_，_則斜線區域的面積為　　　　　　　　。　１２.設一扇形的周長為定值，則圓心角＝　　　　　　　　弧度時，扇形的面積為最大。　１３.設 12   3  ，則y＝sin3的範圍為　　　　　　　　。　１４.滿足 5sin＋sin5＋sin7_{＝7，在[0 , 2]上的值為　　　　　　　　。} 　１５.設函數 f：R→R , f(x)＝ x sin 2 x sin 2 ＋－ _，則_{f(x)的值域為　　　　　　　　。} 　１６.設函數 f：R→R , f(x)＝cos2x＋2cosx＋2，則 f(x)的值域為　　　　　　　　。

(5)

　１７.方程式 x＋tanx＝0 在[－ , ]的解的個數為　　　　　　　　。　１８.若 0x，方程式 4cos2_{x－4sinx＝1 的解 x＝　　　　　　　　。} 　１９.若 4  ＜＜ 2  ，且方程式x2_{－(tan＋cot)x＋1＝0 有一根為}₂ ₂_，則_{sincos的值為} 。　２０.設一扇形之周長為定值 k，則半徑 r=　　時，扇形有最大面積　　。(以 k 表之) 　２１.在三點半時，鐘面上時針與分針所成銳角為　　(弧度)；為　　(度)。　２２. 一直圓錐之底半徑為3_，_高_為4_，_如_右_圖_所_示_，_今_沿_其_一_斜_高AC_剖_開_展_成一扇形，則此扇形之中心角為_______度_，_面_積_為_______。　２３.一長方形 ABCD，AB=12，AD=12 3，今以AB，AD為直徑作半圓，則其交集部分之面積為　　，周長為　　。　２４.在 0x4



中，y=sin2x 與 y=cosx 之圖形，共有個交點。　２５.方程式cosx _－cosx= 2 1 x 共有　　個實數解。　２６.方程式



sinx=x 共有個實數解。　２７.方程式 x－3



sinx=0 共有個實根。　２８.若 0°x180°，則 1+sin(90°－x)+sin2_{x 之最大值為　　，最小值為　　。}

　２９.函數 f(t)=(2sintcost)2_－3cos2_{t 在 0}_t₂



_{的範圍內，其最大值為　　，其最大值為　　。} 　３０.有一個輪子，半徑 50 公分，讓它在地上滾動 200 公分的長度，問輪子繞軸轉動度。(度以下四捨五入) 　３１.半徑 1 之半圓周 AB 等分 180 份，等分點 P1，P2，…P179 ，



 179 1 2 k k AP = 。 　３２.兩定點 A(3,5)，B(-10,4)，動點 P(x,y)，若PA：PB=2：3，則點 P 之軌跡方程式為。　３３.設 0<θ< 4  ，且2+ 3為x2-(tanθ+cotθ)x+1=0 的一根，則 tanθ= 。　３４.2.2 弧度= 度。(取到小數點第一位) 　３５. 5 3 是度，又 45°20'30"是弧度。　３６.32之最小正同界角= ，最大負同界角= 。　３７.角 123 的終邊在第象限。　３８.n 為正整數， 4 100 1n ，則  n 有幾個角度落在第四象限內。　３９.點P(cot(4),sec(4))落在第象限。　４０.時鐘自 5 點 10 分走到 5 點 40 分(共 30 分鐘)，時針共走了 a°，走了 b 弧度，則 a= ，b= 。　４１.分針長 8 公分，則從 9 點 15 分到 10 點，其所掃出之扇形的弧長為公分。　４２.一圓半徑為 3，中心角 θ=55°，則角 θ 所對之弧長為。　４３.中心角為 120°，半徑為 5 之弧長為。　４４.一汽車以每小時 60km 之速率繞一圓形跑道行駛，於 45 秒內旋 45°，則此圓形跑道之半徑為。

(6)

　４５.一扇形圓心角為 60°，扇形周長之度量等於其面積之度量，則半徑= 。　４６.扇形的周長為定值 k，則扇形之面積最大時，扇形之半徑= 。　４７.扇形之中心角為 θ，半徑為 a，其內切圓徑為 r，試以 a，θ 表 r 得。　４８.一扇形之周長與其面積度量恰好相同，若此扇形的圓心角為 θ，則其所在圓之半徑為。　４９.一直圓錐之底半徑 2，高 4 2，今有一集螞蟻自底之圓上一點A，在側面繞行一圈後回到原處 A，則(1)此螞蟻所行之最短徑長為 ;(2)此直圓錐之側表面積為。　５０.函數 y=3csc(5x-9  )-5 週期 p= ，值域={ y _}。　５１.函數 y= ) 3 2 3 sin( 2 1 x _  之週期= 。　５２.函數 y= 7 8 ) x 5 6 3 4 cot( 2    之週期為。

　５３.求下列各函數之週期：(1)y=3sin2 _x_6cos_x_1_(2)y=2_cos2 _x_₁

　５４.求下列函數之週期：(1)f(x)= sinx  cosx _(2)g(x)=

2 cos 2

sin x  x

　５５.y=f(x)= sinx sinx_，則_{y=f(x)的週期為。}

　５６.二函數 y=sin(px_q1_{)與 y=tan(} p qx  ), 有相同的週期，則(p,q)= 。　５７.y=cos3x+sin 3 2x 之週期= 。　５８.y=4cos( ) 6 2   x 之圖形是由y=4cos 2 x 之圖形向x 軸正方向平移。　５９.方程式sin2 _2sin __k_0_之sin_有解，則_{k 之範圍為。}

　６０.x 之方程式 sinx=log2 x 有個實數解。　６１.x=10sinx+10 sinx _在_x[2,2]中的實數解有幾個。　６２. x cosx cosx 2 1 _ _ 其實根個數為個。

　６３.1988cos sin 1989，則365sin 7csc  。

　６４._a__sin₃₁₂₅0_,_b__tan₃₁₀0_,_c__cos₁₂₃₄0比_較_{a，b，c 大小。}

　６５.比較大小：a=cos1,b=cos2,c=sin3,d=sin4,e=sin5 。

　６６.作直角三角形，由比較_a__sin₇₀0_,_b__cos₇₀0_,_c__tan₇₀0_{之大小。}

　６７.a=cos0,b=tan1,c=sin2,則 a,b,c 之大小順序為。　６８.求y_cosx_2sin2x_1_{之極大，極小值。}

　６９.6sin2 _x_5sin_x_4_0_，則₂_cos2 _x__sin_x_₁_{之最大值= ，最小值= 。}

　７０.0 x2，解2sinx>1 。　７１. 2 x sin 3 3 x sin 2 y    ，則y 的範圍為。　７２.₀0 _{ x}_₃₆₀0_，當_{x= 時，} 3 sin sin 1 2 _x_ _x_ 有最小值。　７３. 1 sec 1 tan sec y ₂ 2        ，y 最大值 M，最小值 m，則序對(M,m)= 。

(7)

　７４.

2 ,

0x y ，比較axsinxysiny,bxsinyysinx_{大小。} [證明題][２－３．三角函數的圖型]

　　１.0 x，若二函數y＝tanx與y＝cosx的圖形相交於兩點(a,b)，(c,d)，試證：a＋c＝且 b＋d＝0。　　２.設 0＜x , y 2  ，若p＝xcosx＋ycosy , q＝xcosy＋ycosx，試證 pq。　　３.一圓的半徑為 r，試證外切正 n 邊形的邊長和為 2nr n 180 tan  。

　　４.0 x ，二函數y=tanx 與 y=cosx 之圖形交於二點(a,c)，(b,d)，證明 a+b=π, c+d=0。　　５.(1)  ,n Z, sin tan sec

2

n _ _ _

 證明 (2)   , sin,cos,tan,cot,sec,csc 2

3   將六數由

(8)

[多選題][２－３．三角函數的圖型] 　　１．ACE [計算題][２－３．三角函數的圖型] 　　１．(1) 90＝ ，＝180_{(2)2001　　２．(1) 1 (2)x＝0 或 x＝2　　３．}     2( 2) r 　　４．  5 21 　　５．(1) 50 3 3 200 － (2)50－50 3 　　６． 2 3 25 25－　　７．π－2　　８． ( 3 5 3 2  )a，( 6 11 3 4 －  )a2　　９． _１０．　１１．　１２． sin33°<tan33°<sec33°　１３．a>b>d>c　１４．b>a>c>d　１５．(1)M=1，m= 2 1 － (2)M=1，m= 2 1 － (3)M= 2 3 _{，m=－1　１６．[} 2 1 ，2]　１７．k3 或 k 3 1 　１８． 3 1 － <k<1　１９． 16 1 　２０．0　２１． 5 1 k 5 －－   　２２． 2 3－ 　２３． 3 65 － 　２４．－2　２５． 16 2 k _２６． ₎_a2 4 3 2 1 12 (  －＋　２７．3 個　２８．2 個　２９．7 [單選題][２－３．三角函數的圖型] 　　１．E　　２．E　　３．C　　４．C　　５．E　　６．B　　７．C　　８．B　　９．C　１０． E　１１．C　１２．E　１３．C　１４．B　１５．C　１６．C　１７．E　１８．D　１９． D　２０．B [填充題][２－３．三角函數的圖型] 　　１．  12 25 3 2 25 ＋　　２．2　　３．     2 3 y 2 －　　４．0　　５．[－1，1]　　６．[－1， 2 7 ]　　７．4　　８． 2 5 　　９．a＞b＞c　１０．154　１１．2－4　１２．2　１３．0y1 １４． 2  　１５．[ 3 1 , 3]　１６．[ 2 1 , 5]　１７．3　１８． 6  ,  6 5 　１９． 9 2 2 _２０． 4 k ， 16 k2 　２１． 12 5 _，₇₅_ 　２２．216， 15



　２３．30π-36 3，(4+2 3)π　２４．8　２５．3　２６．3　２７．7　２８． 4 9 ，0　２９． 16 1 ，-3　３０．229　３１．358　３２．

(9)

5x2_+5y2 _{-134x-58y-158=0　３３．2-} ₃_{３４．126.1　３５．108°，} 21600 5441 　３６．  12 32  ，3210 　３７．三　３８．12　３９．三　４０．15， 12  　４１．12



　４２． 12 11 　４３．  3 10 　４４． km  3 　４５．   2 12 　４６． 4 k 　４７． 2 sin 1 2 sin a r     　４８．   2 4 　４９．6 3，12



　５０． 5 2 ，y 2或y 8_５１．6



　５２． 6 5 弧度５３．2



、



　５４．



₂

，



　５５．2　５６．(1，2)或(2，1)　５７．6



　５８．



₃

　５９．3k 1　６０．二　６１．2　６２．3　６３．7　６４．b<a<c　６５．a>c>b>d>e ６６．c>a>b　６７．b>a>c　６８．M=2 ,m=9 8　６９． 8 25 ，2　７０． 6 5 6   _{ x}_ 　７１． y 5 5 1 y   或  　７２．270°, 5 1 　７３． ) 4 6 2 , 4 6 2 (   　７４．ba [證明題][２－３．三角函數的圖型]