2020届高三下学期3月质量检测数学（文）试题答案

(1)

2020

届高三质量检测

文科数学参考答案及评分细则

评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分．（1）C （2）A （3）A （4）B （5）C （6）B （7）D （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 20 分．（13）₃ （14）4 （15）3₂₀ （16）3 3₄ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17) 本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查统计与概率思想．满分 12 分． (Ⅰ) 由已知，数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业的毕业生人数之比为 1:2:3,由于采取分层抽样的方法抽取 18 人,因此应从数学与应用数学、计算机科学与技术和金融工程三个专业分别抽取 3 人 6 人 9 人， 4分（Ⅱ）从这 5 个人中随机抽取 2 人的所有结果有：



A B,

 

, A C,

 

, A D,

 

, A E,

 

, B C,

 

, B D,



,



B E,

 

, C D,

 

, C E,

 

, D E,



，共 10 种 8分由统计表可知，事件 M 包含的结果有：



A B,

 

, B C,

 

, B D,

 

, B E,

 

, A D,

 

，C D,

 

, D E,



共 7 种 10分所以事件 M 发生的概率为P M

 

₁₀7 ₁₂_分 (18) 本小题考查等比数列的通项公式、前 n 项和公式、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想等．满分 12 分． (Ⅰ)当n 时，1 2a1S1 ，故2 a12 1分由2anSn 2 ……①

(2)

得2an1Sn12



n2



② 3分 ①-②得，2an2an1



SnSn1



0 ，即2an2an1an 0 整理得an2an1



n2



故

 

an 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列， 5分所以 1 2 2n 2n n a _{ }  _ ， 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，





1 2 1 2 2 2 1 2 n n n S _  _  _  7分



1

 

2

 

1



1 4 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 n n n n n n n n n b  _  _  _   _       10分故 1 2 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 n n n n T  b b  b _   _{ }  _ _  _ _               1 1 1 2n 1    12分 (19) 本小题主要考查几何体的体积及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ)∵AB⊥侧面BB C C ，∴1 1 ABBC1……① 1分 ∵_BC_ ₂， 1 2 CC  ， 1 4 BCC   _{ ，∴} 2 2 1 1 2 1 cos 1 2 BC  BC CC  BC CC  BCC  ∵ 2 2 2 1 1 BC BC CC ，∴BC1BC_……② ₃_分由①②及AB BC B  ，故BC1 平面 ABC ∵AC平面 ABC，∴BC1AC ₅ 分 （Ⅱ）设 C 到平面AC E1 的距离为 d 由 1 1 C AC E A CC E V  V 得， 1 1 1 1 3SAC E d 3SCC EAB……（*） 7分 ∵E为 1 BB 中点，∴ 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 CC E BCC B S_  S_     ₈_分又 1 1 1 2 BC B C  ，所以C E₁ BB₁， 1 1 1 1 2 C E BB  ∵AB⊥侧面BB C C1 1 ，∴ABC E1

(3)

又ABBB1B ，故C E1  平面ABB A1 1 又 AE  平面ABB A1 1 ，所以C E1 AE ∵AB2,BE1,ABBE，∴AE 5 故 1 1 1 5 2 2 C EA S_  AE C E  11分由（*）得 5 2 2 d ，故 4 5 5 d  ，即 C 到平面AC E 的距离为1 4 5 5 12分 (20) 本小题主要考查坐标法、椭圆的定义及标准方程、直线与椭圆的位置关系、圆的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等．满分 12 分． (Ⅰ) 设 F 为椭圆的左焦点，由对称性可知，OP OQ OF,  OF 故顶点为P F Q F, , , 的四边形是平行四边形， 2分故2a PF PF QF PF 4，a2 又 2 2 c e a   ，故c 2,b 2 4分故所求椭圆方程为 2 2 1 4 2 x _y _ 5分（Ⅱ）设过原点（不与坐标轴重合）的直线方程为y kx k



0



，



1, 1

 

, 1, 1

 

, 1,0



P x kx Q  x kx E x 则 1 1 1 0 1 2 QE kx k k x x       故 QE: ₂



1



k l y x x ₇_分与椭圆方程 2 2 1 4 2 x _y _ 联立得，



2k x2



2 2k x x k x2 1  2 12  8 0 又直线 QE 与椭圆 C 交于 Q，M 两点，所以 2 1 2 2 2 P M k x x x k    ，即 2 1 1 2 2 2 M k x x x k   

(4)

故





3 1 1 2 2 2 M M k x k y x x k     10分所以PQ 



2 , 2x1  kx1



 ， 2 1 1 2 2 2 2 , 2 2 k x kx PM k k      _ _     所以 2 2 2 1 1 2 2 4 4 0 2 2 k x kx PQ PM k k          故PQPM   ，即MPQ 90 故以 QM 为直径的圆过点 P． 12分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 12 分． (Ⅰ)由已知得

 





2 1 2 1 2 mx 0 f x mx x x x       ₁_分当m 时，0 f x

 

0， f x

 

在



0,



上单调递增，不存在最大值，不符合题意舍去； 2分当m0时， f x

 

_{ 解得}0 1 2 x m   当 1 0 2 x m    时，f x

 

_{ ，当}0 1 2 x m   时，f x

 

0 故 f x 在

_{ }

1 0, 2m          上单调递增， 1 , 2m           上单调递减 4分故

 

2 max 1 1 1 ln 0 2 2 2 f x f m m m m      _  _   _  _      解得m ₂1 e   ₅_分 （Ⅱ）由已知条件得 ln x ax b  ……（*）设_{g x}

_{ }

__ln_{x ax b}_ _{ ，（*）等价于证明}_{g x}

_{ }

_{ 则}₀ g x

 

1 a x    ①当a 时，则0 g x

 

0，g x

 

在



0,



上单调递增，当 max 1, b x a         时，g x

 

lnx ax b     ax b 0 故a < 不符合题意；0 7分

(5)

②当_a_{ 时，当}₀ 0 x 1 a   时，g x

_{ }

 ，当0 x 时，1_a g x

 

0 故g x 在

 

1 0, a       上单调递增， 1 , a  _     上单调递减故g x 有最大值

 

1 1 1 ln ln 1 g a b a b a a a  _  _{    } _{ }         9分所以f x

 

₂1 x2 ax b e    _{ 等价于} ln 1 b  a ，因此 ln 1 b a a a    设h a

 

lna 1 a    _，则_{h a}_

_{ }

_ ln a₂ a 当 0  时，a 1 h a

 

0，当a 时，1 h a

 

0 故h a

 

在

 

0,1 上单调递减，在



1,



上单调递增故_{h a 在}

_{ }

_a_{ 处取得最小值，即}₁ _{h a}

_{ }

__h

_{ }

₁ _{  ，}₁ b 1 a  11分故当_a_{ ，}₁ _b_{  时，}₁ f x

 

₂1 x2 ax b e    _{ 成立，} 综上b_{a 的最小值为 1}_{ ．} 12分 (22) 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分 10 分． (Ⅰ)曲线 C 的方程4cos6sin _， ∴24 cos 6 sin _， ∴x2y24x6y_， 即 C 的直角坐标方程为



x2

 

2 y3



213 4分 （Ⅱ）设点 M N，对应的参数分别为t1， .t2 把直线 2 3 2 2 1 2 x t y t          ( t 为参数)代入 C 得， 2 2 2 2 1 2 13 2 t 2 t                      ，整理得，_t2__{3 2}_t_{  .}_{8 0}





2 3 2 32 50 0      _{ ，} 1 2 3 2 t  t ，t t_{1 2}   ，∴8 t₁，为异号，t₂ 8分又∵点A

 

3,1 _{在直线 l 上，} ∴ AM  AN t1  t2  t1 t2 



t1t2



24t t1 2  50 5 2 . 10分 (23) 本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力, 考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分 10 分． (Ⅰ)当a 时,2 f x

 

 2x 1 2x  ，1 1

(6)

当x„ ₂1_{时,不等式}_{f x}

_{  }

_{ }_{1 2}_x

_

_₂_x_{   成立；}_{1 2 1} 当_{   时，}1₂ x 1₂ _{f x}

_{  }

_{ }_{1 2}_x

_{ }

_ ₂_x_{  }₁

_

₄_x_{ ，}₁ 1 1 2 x 4     ；当x_{… 时,}₂1 _{f x}

_{  }

_ ₂_x_{ }₁

_{ }

₂_x_{    不成立，}₁

_

_{2 1} 综上，不等式 f x

 

 的解集为1 1 4 x x  _{ }      . 5分（Ⅱ）当x

 

1, 2 时，f x

 

 1 x化为2x 1 ax  1 1 x,3x 2 ax1， 2 3x ax 1 3x 2,       1 3 3 a 3 x x      ， 1 3 y x    在

_{ }

_{1, 2 单调递减，故} 5 2 2 y     ； 3 3 y x   在

_{ }

1, 2 单调递增，故0  ，y 3₂ 所以 „ „2 a 0， 所以 a 的取值范围是



2,0



. 10分