2020 届高三质量检测
文科数学试卷
（满分：150 分 考试时间：120 分钟） 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分）．第Ⅰ卷（选择题共 60 分）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． (1) 已知集合A=
x x2− − x 6 0
，B=
x y=ln(
x−1)
，则 AI B = （A）
x1 x 2
（B）
x1 x 2
（C）
x1 x 3
（D）
x1 x 3
(2) 已知复数 z 满足z(
1+ = −i)
1 3i ，其中 i 为虚数单位，则在复平面内 z 对应的点位于 （A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限 (3) 已知圆C:(
x+1)
2+y2=r2(
r0)
，直线 : 3l x+4y− = ．若圆2 0 C 上恰有三个点到直线的距离为 1，则 r 的值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）6 (4) 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 是 （A） 3− （B） 1− （C）1 （D）3 (5) 甲、乙、丙、丁、戊五人乘坐高铁出差，他们正好坐在同一排的 A、B、C、D、F 五个座 位．已知： (1)若甲或者乙中的一人坐在 C 座，则丙坐在 B 座； (2)若戊坐在 C 座，则丁坐在 F 座． 如果丁坐在 B 座，那么可以确定的是： （A）甲坐在 A 座 （B）乙坐在 D 座 （C）丙坐在 C 座 （D）戊坐在 F 座 (6) 如图，如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某几何体的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该几何体的 表面积是 （A） 2 2 5+ （B） 4 2 5+ （C） 2 3 5+ （D） 4 3 5+ (7) 下列图象中，函数( )
(
x x)
sin f x = e −e− x，x −
,
图象的是 俯视图 侧视图 正视图 （第 4 题图） （第 6 题图）y x π -π O y x π -π O y x π -π O y x π -π O （A） （B） （C） （D） (8) 已知 0, 2 x ，y 0,2
，cos sin 1 cos 2 cos sin sin 2
x x y x x y + = − − ，则 （A） 4 y− = x （B） 2 4 y− = x （C） 2 y− = x （D） 2 2 y− = x (9) 将函数
( )
sin 3 f x = x− 的图象横坐标变成原来的 1 2（纵坐标不变），并向左平移3 个单 位，所得函数记为g x( )
．若 1, 2 0, 2 x x ，x1 x2，且g x( )
1 =g x( )
2 ，则g x(
1+x2)
= （A） 1 2 − （B） 3 2 − （C） 0 （D） 3 2 (10) 已知正方体ABCD−A B C D1 1 1 1的棱长为 2，AC ⊥1 平面．平面截此正方体所得的截面 有以下四个结论： ①截面形状可能是正三角形 ②截面的形状可能是正方形 ③截面形状可能是正五边形 ④截面面积最大值为 3 3 则正确结论的编号是 （A）①④ （B）①③ （C）②③ （D）②④ (11) 若函数( )
1 x f x k x = − − 有两个零点，则 k 的取值范围是 （A）(
0, +)
（B）( ) (
0,1 U 1, +)
（C）( )
0,1 （D）(
1, +)
(12) 已知抛物线y2=2px p(
0)
的焦点为 F，与双曲线(
)
2 2 2 2 :x y 1 0, 0 C a b a −b = 的一条渐近 线交于 P（异于原点）．抛物线的准线与另一条渐近线交于 Q．若 PQ = PF ，则双曲线 的渐近线方程为 （A） y= x （B）y= 2x （C）y= 3x （D）y= 2x第Ⅱ卷（非选择题共 70 分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第 13 题:
第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做 答．第 22 题~
第 24 题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．(13) 已知 ar = −ar br ，
( ) ( )
ar+br ⊥ ar−br ，则 ar与 br 的夹角为 (14) 已知实数 ,x y 满足约束条件 3 0, 2 4 0, 2 0, x y x y x y + − + − − 则x+2y的最小值为 (15) 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作．书中有如下问题：“今 有勾八步，股十五步．文勾中容圆径几何？”其意思是：“已知直角三角形两直角边长分别 为 8 步和 15 步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆 内的概率是(16) 设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，b = 3，
(
2a−c)
cosB= 3 cosC， 则△ABC 面积的最大值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) （本小题满分 12 分） 据历年大学生就业统计资料显示：某大学理工学院学生的就业去向涉及公务员、教师、 金融、公司和自主创业等五大行业.2020 届该学院有数学与应用数学、计算机科学与技术 和金融工程等三个本科专业， 毕业生人数分别是 70 人，140 人和 210 人.现采用分层抽 样的方法，从该学院毕业生中抽取 18 人调查学生的就业意向． （Ⅰ）应从该学院三个专业的毕业生中分别抽取多少人？ （Ⅱ）国家鼓励大学生自主创业， 在抽取的 18 人中，就业意向恰有三个行业的学生有 5 人.为方便统计，将恰有三个行业就业意向的这 5 名学生分别记为 A，B，C，D，E，统计 如下表: A B C D E 公务员 ○ ○ × ○ × 教师 ○ × ○ × ○ 金融 ○ ○ ○ × ○ 公司 × × ○ ○ ○ 自主创业 × ○ × ○ × 其中“○”表示有该行业就业意向，“×”表示无该行业就业意向． 现从 A，B，C，D，E 这 5 人中随机抽取 2 人接受采访.设 M 为事件“抽取的 2 人中至少 有一人有自主创业意向”，求事件 M 发生的概率． (18) （本小题满分 12 分） 已知数列
an 的前 n 项和为Sn，满足 2an−Sn= 2 （Ⅰ）求an；（Ⅱ）若数列
bn 满足(
)
* 1 4 n n n n a b n N S S+ = ，求
bn 的前 n 项和Tn． (19) （本小题满分 12 分） 在三棱柱ABC−A B C1 1 1中，已知 AB ⊥ 侧面BB C C1 1 ，BC = 2，AB=BB1= ，2 1 4 BCC = ， E 为BB1中点， （Ⅰ）求证：AC⊥BC1 （Ⅱ）求 C 到平面AC E1 的距离． (20) （本小题满分 12 分） 已知椭圆(
)
2 2 2 2 :x y 1 0 C a b a +b = 的右焦点为 F，离心率 2 2 e = ，过原点的直线（不与坐 标轴重合）与 C 交于 P，Q 两点，且 PF +QF = 4 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过 P 作 PE ⊥ x 轴于 E，连接 QE 并延长交椭圆于 M，求证：以 QM 为直径的圆过 点 P． B1 A1 C1 C B A E(21) （本小题满分 12 分） 已知函数 f x
