相似三角形的性质--巩固练习（提高）

(1)

相似三角形的性质--巩固练习（提高）

【巩固练习】一、选择题 1．如果一个直角三角形的两条边长分别是 6 和 8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是 3 和 4 及x，那么x的值（） A．只有 1 个 B．可以有 2 个 C．有 2 个以上，但有限 D．有无数个

2. 若平行四边形 ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使△CBF∽△CDE，则 BF 的长为（）．

A．1.8 B．5 C．6 或 4 D．8 或 2

3. 如图，已知 D、E 分别是的 AB、 AC 边上的点，且那

么等于（）

A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2

4．如图 G 是△ABC 的重心，直线过 A 点与 BC 平行.若直线 CG 分别与 AB、交于 D、E 两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则△AED 的面积：四边形 ADGF 的面积=( )

A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2

5.（2015•哈尔滨）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 E 在 BA 的延长线上，点 F 在 BC 的延长线上，连接 EF，分别交 AD，CD 于点 G，H，则下列结论错误的是（）

(2)

6．如图，在□ABCD 中，E 为 CD 上一点，DE：CE=2：3，连结 AE、BE、BD，且 AE、BD 交于点 F，则 S△DEF：

S△EBF：S△ABF等于( )

A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25

二、填空题

7（2015•自贡）将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于．

8.如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ADC=∠ACB,若 AC=2，AD=1，则 DB=_________.

9.如图，在△PAB 中，M、N 是 AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB 的度数是 _______________.

(3)

11.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为 BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于 18 和 2，DE=2，则 AC 边上的高为______________. 12. 如图，点 M 是△ABC 内﹣点，过点 M 分别作直线平行于△ABC 的各边，所形成的三个小三角形△1、 △2、△3（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，9．则△ABC 的面积是．三、解答题 13.（2015•杨浦区三模）如图所示，在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是线段 BC 延长线上一点，过点 A 作 AF∥BC 交 ED 的延长线于点 F，连接 AE，CF．求证：（1）四边形 AFCE 是平行四边形；（2）FG•BE=CE•AE．

(4)

14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于 G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC， ∴ OE∥DC．∵ ＝，∴ ＝＝．∴ ＝． …… （2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）． 15. 已知如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E 自 A 点出发，以每秒 1cm 的速度向 D 点前进，同时点 F 从 D 点以每秒 2cm 的速度向 C 点前进，若移动的时间为 t，且 0≤t≤6．（1）当 t 为多少时，DE=2DF；（2）四边形 DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．（3）以点 D、E、F 为顶点的三角形能否与△BCD 相似？若能，请求出所有可能的 t 的值；若不能，请说明理由．

(5)

【答案与解析】一．选择题 1.【答案】B. 【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边. 2.【答案】A. 3.【答案】B. 4.【答案】D. 5.【答案】C. 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BF，BE∥DC，AD=BC， ∴ ，，，故选 C． 6.【答案】 A. 【解析】 □ABCD 中，AB∥DC，△DEF∽△ABF， (△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选 A. 二、填空题 7.【答案】1：3. 【解析】∵∠ABC=90°，∠DCB=90° ∴AB∥CD，∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO， ∴△AOB∽△COD；又∵AB：CD=BC：CD= 1： ∴△AOB 与△DOC 的面积之比等于 1：3． 8.【答案】3. 【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC, ∴

AC AD

,

AB AC



AB= 2

₂

2

4

1 AC

AD



 ，

∴BD=AB-AD=4-1=3. 9. 【答案】120°. 【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A， ∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°， ∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°． 10.【答案】1:9

【解析】∵

S

_△_EFC=3

S

_△_EFD，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即 BC：DE=FC:FD=3:1，由△ADE∽△ABC，即

S

△_ADE：

S

△_ABC=1:9.

(6)

∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC ∴Rt△ABD∽Rt△CBE ∴

AB BD

BC BE



， ∴△ABC∽△DBE ∵相似三角形面积比为相似比的平方， ∴ 2

₁₈

2 AC

DE



_{ }









= 9, ∴

AC

DE

=3 , ∴AC=3DE=3×2=6 ∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6 即 AC 边上的高是 6 . 12.【答案】36. 【解析】因为△1、△2、△3 的面积比为 1：4：9，所以他们对应边边长的比为 1：2：3，又因为四边形 BDMG 与四边形 CEMH 为平行四边形，所以 DM=BG，EM=CH，设 DM 为 x，则 ME=2x，GH=3x，所以 BC=BG+GH+CH=DM+GH+ME=x+2x+3x=6x，所以 BC：DM=6x：x=6：1，由面积比等于相似比的平方故可得出：S△ABC：S△FDM=36：1，所以 S△ABC=36×S△FDM=36×1=36．三、解答题 13.【解析】（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFD=∠DEC， ∵∠FDA=∠CDE，D 是 AC 的中点， ∴△ADF≌△EDC， ∴AF=CE， ∵AF∥BC， ∴四边形 AFCE 是平行四边形；（2）证明：∵四边形 AFCE 是平行四边形， ∴∠AFC=∠AEC，AF=CE， ∵AF∥BC， ∴∠FAB=∠ABE， ∴△AFG∽△BEA， ∴ ， ∴FG•BE=AF•AE， ∴FG•BE=CE•AE．

(7)

14.【解析】（1）补全证明过程: ∵ FG⊥BC，DC⊥BC， ∴ FG∥DC． ∴ ＝＝． ∵ AB＝DC， ∴ ＝．又 FG∥AB， ∴ ＝＝． ∴ 点G是BC的一个三等分点．（2）如图，连结 DG 交 AC 于点 H，作HI⊥BC于I，则点I是线段 BC 的一个四等分点. 15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t， ∴6-t=2×2t，解得 t=

6

5

，故当 t=

6

5

时，DE=2DF；（2）∵矩形 ABCD 的面积为：12×6=72，S△ABE=

1

2

×12×t=6t， S△BCF=

1

2

×6×（12-2t）=36-6t， ∴四边形 DEBF 的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，故四边形 DEBF 的面积为定值. （3）设以点 D、E、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，则

ED DF



或

ED DF



，

(8)