第壹部分：選擇題（占 65 分）

第壹部分：選擇題（占 65 分）

一、單選題（占 35 分）

說明：第 1 題至第 7 題，每題有 5 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項，請畫記在答案 卡之「選擇（填）題答案區」。各題答對者，得 5 分；答錯、未作答或畫記多於一個選項者，

該題以零分計算。

1

^根號運算

2 2

1 1

5  4  等於下列哪一個選項？1

(1)1.01 　(2)1.05 　(3)1.1 　(4)1.15 　(5)1.21 出　　處：第一冊第一章 數與坐標系

解題觀念：利用簡單的計算，以及乘法公式、根號的運算性質。

答　　案：(2) 解　　析： 1

₂

1

₂

1 0.04 0.0625 1

5 4      1.1025

1 0.05

²

1.05

  

故選(2)

2

^數列級數

將邊長為1公分的正立方體堆疊成一階梯形立體，如右圖所示，其中第 1 層（最下層）有10 塊，第2 層有 9 塊，…，依此類推。當堆疊完10 層時，

該階梯形立體的表面積（即該立體的前、後、上、下、左、右各表面的面積總 和）為多少？

(1) 75 平方公分 (2) 90 平方公分　　(3)110 平方公分 (4)130 平方公分 (5)150 平方公分

出　　處：第一冊第二章 數列與級數

解題觀念：觀察圖形的規則，再利用簡單的級數運算。

答　　案：(5)

解　　析：1 2 3    102  1 10  2 10  1 10

　　　　（前後）　　　　（左）（右、上）（下）

110 10 20 10

   

150 故選(5)

某次網球比賽共有128 位選手參加，採單淘汰制，每輪淘汰一半的選手，剩下一半 的選手進入下一輪。在第 1 輪被淘汰的選手可獲得 1 萬元，在第 2 輪被淘汰的選手 可獲得 2 萬元，在第 k 輪被淘汰的選手可獲得2

^{k 1}

萬元，而冠軍則可獲得 128 萬元。

試問全部比賽獎金共　　　　　萬元？

答案：576 【91 學測填充 5】

3

對數的應用

下表為常用對數表log N 的一部分：

10

N

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755

          

20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201

          

30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900

請問10

^3.032

最接近下列哪一個選項？

(1)101 　(2) 201　(3)1007 　(4)1076 　(5) 2012 出　　處：第二冊第一章 指數與對數

解題觀念：利用首數與尾數的表示法及對數表的查表。

答　　案：(4)

解　　析：令

x

10

^3.032

3.032 3 0.032

log

x

log10  3 0.032 log10 log10 經查表可知

0.0294 0.032 0.0334 

　log1.07 log10

^0.032

log1.08

　log10

³

log1.07 log10

³

log10

^0.032

log10

³

log1.08

　log1070 log10

^3.032

log1080

∴　1070 

x

1080，故選(4)

4

^{常態分布曲線圖}

甲、乙兩校有一樣多的學生參加數學能力測驗，兩校學生測驗成績的分布都很接近常態分布，

其中甲校學生的平均分數為 60 分，標準差為10 分；乙校學生的平均分數為 65 分，標準差為 5 分。若用粗線表示甲校學生成績分布曲線；細線表示乙校學生成績分布曲線，則下列哪一個分 布圖較為正確？

(1) (2) (3)

(4) (5)

出　　處：第四冊第三章 機率與統計(I)

解題觀念：利用常態分布曲線圖所代表的意義找出符合的圖形。

答　　案：(1)

解　　析：甲校平均 60  乙校平均 65

　常態分布的高峰即是平均數，∴　甲的高峰在乙的高峰左側 甲校標準差10  乙校標準差 5

　甲校成績較為分散

又甲、乙二校學生一樣多　　曲線下面積應相等　　(1)合 故選(1)

94 指考數乙單選 2

5

^{對數的運算性質}

若正實數 x 、 y 滿足log

10 x

2.8，log

10 y

5.6，則log

₁₀  x ²



y 

最接近下列哪一個選項的值？

(1) 2.8 　(2) 5.6 　(3) 5.9 　(4)8.4 　(5)11.2 出　　處：第二冊第一章 指數與對數 解題觀念：利用對數的運算性質解題。

答　　案：(3)

解　　析：log

10 x

2.8　　

x

10

^2.8

，

_x ²

_



₁₀

^2.8  ²

_10

^5.6

log

10 y

5.6　　

y

10

^5.6

∴　log

₁₀  x ²



y 

log 10

₁₀ ^{ 5.6}

10

^{5.6 }

log 10

₁₀  ^5.6

2



5.6 log 2

10

  5.6 0.301 5.901 故選(3)

設

a 、 _b

為正實數，已知log

₇ a

 ，11 log

₇ b

13；試問log a b

₇

  之值最接近下列哪 個選項？　(A)12　(B)13　(C)14　(D)23　(E)24。答案：(B) 【94 學測單選 4】

6

^機率

箱中有編號分別為 0, 1, 2,, 9的十顆球。隨機抽取一球，將球放回後，再隨機抽取一球。請問 這兩球編號相減的絕對值為下列哪一個選項時，其出現的機率最大？

(1) 0 　(2)1　(3) 4 　(4) 5 　(5) 9

出　　處：第四冊第三章 機率與統計(I)

解題觀念：找出符合兩球編號相減絕對值的情形，再算其機率比較大小關係。

答　　案：(2)

解　　析：設第一次取號為

x ，第二次取號為 ₁ x ₂

1 2

x



x

0 1 4 5 9

情形



0,0



 

1,1



2,2



 

3,3



4,4





9,9



 

0,1

 

1,0



8,9



 

1,2

 

2,1



9,8





2,3

 

3,2





3,4

 

4,3





4,5

 

5,4





5,6

 

6,5





6,7

 

7,6





7,8

 

8,7





0,4

 

4,0



 

1,5

 

5,1



2,6

 

6,2





3,7

 

7,3





4,8

 

8,4





5,9

 

9,5





0,5

 

5,0



 

1,6

 

6,1



2,7

 

7,2



 

3,8

 

8,3



4,9

 

9,4





0,9





9,0



機率 10 10 10

18 10 10

12 10 10

10 10 10

2 10 10

∴　兩球編號相減的絕對值為1的機率最大，故選(2)

7

^{平面與球面的關係}

空間坐標中有一球面（半徑大於 0 ）與平面 3

x

4

y

 相切於原點，請問此球面與三個坐標軸0

一共有多少個交點？

(1)1　(2) 2 　(3) 3 　(4) 4 　(5) 5

出　　處：第三冊第二章 空間向量、第三冊第三章 圓與球面 解題觀念：利用空間中平面與球面的關係。

答　　案：(3)

解　　析：∵　球與

E

: 3

x

4

y

 相切於原點0 若將球投影在 xy 平面上，設球心為

A



3 ,4 ,0



OA  



n



t t

^，

^t

  當

O 

0,0,0



，

A t t 

3 ,4 ,0





^,



⁴

d A x

軸 

t



^,



³

d A y

軸 

t



^,



⁵

d A z

_軸 

t



OA 



R

∴　球面與三軸交



^{6 ,0,0}

^t 

^、



^{0,8 ,0}

^t 

^、



^0,0,0



共3 個交點，故選(3)

二、多選題（占 30 分）

說明：第 8 題至第 13 題，每題有 5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，請將正確選項畫記 在答案卡之「選擇（填）題答案區」。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得 5 分；

答錯 1 個選項者，得 3 分；答錯 2 個選項者，得 1 分；答錯多於 2 個選項或所有選項均未 作答者，該題以零分計算。

8

^{多項方程式的根}

設

^{f x}  

^

^{x 4}

^5

^{x 3}

^

^{x 2}

^

^{ax b}

 為實係數多項式，且知   0

f i

 （其中

i ²

  ）。請問下列哪些選1 項是多項式方程式

^{f x}  

 的根？⁰

(1) i 　(2) 0 　(3)1　(4) 5 　(5)5 出　　處：第一冊第三章 多項式

解題觀念：利用實係數多項式虛根成對性質，找出另一根，並利用長除法求出其餘的根。

答　　案：(1)(2)(5)

解　　析：∵　

f x 為實係數多項式，∴　虛根成對  

　i 、 i 皆為

f x 的根  

又 x i 　　

x ²

   　　

i ²

1

x ²

  ，即1 0

f x 有因式   x ²

1

1 5 1 0 1 1 5 1

1 0 1 5 0 5 0 5

5

a b a

a b







 



∴　

a

  ，5 0

a

  ，5

b  0

  ^{ 2}

¹

^{  2}

⁵

^{  2}

¹

^

^{ 5 0}

f x



x



x



x



x

 

x x

  的根為i 、 i 、 0 、 5 故選(1)(2)(5)

設

f x 為滿足下列條件的最低次實係數多項式：   f x 最高次項的係數為 1，且  

3 2i 、i 、5 皆為方程式

^{f x}  

 的解（其中⁰

i ²

  ）。則1

f x 之常數項為　　　　。  

答案：65 【99 學測選填 B】

9

排列組合

三角形 ABC 是一個邊長為 3 的正三角形，如下圖所示。若在每一邊的兩 個三等分點中，各選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？

(1)依此方法可能連成的三角形一共有8 個

(2)這些可能連成的三角形中，恰有 2 個是銳角三角形 (3)這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是直角三角形 (4)這些可能連成的三角形中，恰有 3 個是鈍角三角形 (5)這些可能連成的三角形中，恰有1個是正三角形 出　　處：第四冊第二章 排列、組合

解題觀念：觀察圖形的關係，利用列舉法找出所有情形。

答　　案：(1)(2)

解　　析：(1) 三角形有 2 2 2 8   ，即

△

DIF

、△

DIG

、△

DHG

、△

DHF

△

EIF

、△

EIG

、△

EHF

、△

EHG

(2) 銳角三角形：正三角形即是銳角三角形　　 DHF△ 、△

EIG

，共2 個 (3) 直角三角形：△

DIF

、△

DIG

、△

EHF

、△

EIF

、△

EHG

、△

DHG

，共6 個 (4) 鈍角三角形：共 0 個

(5) 正 三 角 形：△

DHF

、△

EIG

，共 2 個 故選(1)(2)

10

^{複數極式、棣美弗定理}

設 O 為複數平面上的原點，並令點

A 、B 分別代表非零複數 z 、w 。若



AOB

  ，則下列哪些90 選項必為負實數？

(1)

z

w

　(2) zw 　(3) 

zw 　(4)



²

2 2

z

w

　(5)

  zw （其中 w 為 w 的共軛複數） ²

出　　處：第二冊第三章 三角函數的性質與應用

解題觀念：複數極式、棣美弗定理的運用。

答　　案：(4)(5)

解　　析：令

z r



1 

cos

1



i

sin

1 

，

w r



2 

cos

2



i

sin

2 

∵　

AOB

  　　∴　90  

₁



₂

 90

(1) ╳，

¹  1 2   1 2  ¹  1 2 

2 2

cos sin 0 sin

z r r

i i

w



r

      

r

     負實數 (2) ╳，

zw r r



1 2

cos



 

1



2 



i

sin



 

1



2 

 不一定為負實數

(3) ╳， 

zw



²



z w ²



²



r 1 ² 

cos 2

1



i

sin 2

1 



r 2 ² 

cos 2

2



i

sin 2

2 

   

2 2

1 2

cos 2

1

2

2

sin 2

1

2

2

r r

 

i

 

       不一定為負實數

(4) ○，

² 2 ^{1 2} 2  1 2   1 2  ^{1 2} 2  

2 2

cos 2 sin 2 1 0

z r i r

w



r

      

r

  負實數 (5) ○，

  zw ²



z w ²



²



r 1 ² 

cos2

1



i

sin 2

1 



r 2 ² 

cos2

2



i

sin 2

2 

     

2 2

1

cos 2

1

sin 2

1 2

cos 2

2

sin 2

2

r



i



r



i



       

   

2 2

1 2

cos 2

1 2

sin 2

1 2

r r

 

i

 

      

 

2 2

1 2

1 0



r r

   負實數 故選(4)(5)

若4 3

i

 cos

i

sin為小於 0 的實數，則 是第幾象限角？　(A)第一象限角 (B)第二象限角　(C)第三象限角　(D)第四象限角　(E)條件不足，無法判斷。

答案：(B) 【92 學測單選 3】

11

一元二次聯立方程組的解

若實數 a 、b 、c 、d 使得聯立方程組 8 4 3

ax y c x y

 

  

 　有解，且聯立方程組 3

4 3

x by d x y

  

  

 　無解，

則下列哪些選項一定正確？

(1)

a

  　(2)2

c

  　(3)6

b  12

　(4)

d   9

　(5)聯立方程組 8 3

ax y c x by d

 

  

 　無解

出　　處：第三冊第二章　空間向量

解題觀念：討論一次方程組所有解的可能情形。

答　　案：(3)(4) 解　　析： 8

4 3

ax y c x y

 

  

 　有解

 唯一解： 8 1 4

a 

 　　

a

 2

 無限多解： 8 1 4 3

a

 

c

 　　

a

  ，2

c

 6 3

4 3

x by d x y

  

  

 　無解

　 3

1 4 3

b d

  

 　　

b

12，

d

 9

又 8

3

ax y c x by d

 

  



　若

a

  ，則2 8 3

a



b

 　　唯有一解

　　若

a

  ，2

c

  ，6

b

12，

d

  　　9 2 8 6 3 12

d

   

 　　無解

故選(3)(4)

設 a 、b 、c 為實數，下列有關線性方程組

2 1

3 4 1

2 10 7

x y az

x y bz x y z c

  

    

   



的敘述哪些是正確的？

(1)若此線性方程組有解﹐則必定恰有一組解 (2)若此線性方程組有解﹐則

11 a  3 b  7

(3)若此線性方程組有解﹐則

c

14 (4)若此線性方程組無解﹐則

11 a  3 b  7

(5)若此線性方程組無解﹐則

c

14。

答案：(4)(5) 【98 學測多選 10】

12

廣義角三角函數、二倍角、半角公式

在坐標平面上，廣義角 的頂點為原點 O ，始邊為 x 軸的正向，且滿足 2

tan  。若 的終邊3 上有一點

P ，其 y 坐標為 4

 ，則下列哪些選項一定正確？

(1) P 的 x 坐標是 6 　(2)

OP

2 13　(3)cos 3

  13　(4) sin 2  　(5) cos0 0 2

 

出　　處：第二冊第二章 三角函數的基本概念、第二冊第三章 三角函數的性質與應用 解題觀念：運用廣義角三角函數的意義、二倍角、半角所在象限的討論。

答　　案：(2)(4)

解　　析：∵　tan 2

  ，又 終邊的 P 點， y 坐標為 43 

∴　 在第三象限

(1) ╳，tan 2 4 3

y x x

    　　

x

 6 　　∴　 P 的 x 坐標為 6

(2) ○，

OP

 4

²

6

²

 52 2 13

(3) ╳， 6 3

cos 2 13 13

x

 

OP

   

(4) ○，sin 2 2sin cos 2 4 6 0 2 13 2 13

          (5) ╳，180 360  

k

 270 360 ， k 

k

　　90 180 135 180

k

2

k

        ，

k 

　　當

k

 時，0 2

 在第二象限，cos 0 2

 

　　當

k  1

時，

2

 在第四象限，cos 0 2

  故選(2)(4)

已知sin 2

   且 cos3   ，請問下列哪些選項是正確的？0 (1) tan  　(2)0 tan

²

4

  　(3)9 sin

²

 cos

²

 　(4)

sin 2



 0

(5)標準位置角 與 2 的終邊位在不同的象限。

答案：(1)(2) 【100 學測多選 8】

13

^{雙曲線的定義}

平面上兩點

F 、 ₁ F 滿足 ₂ F F _{1 2}

 。設 d 為一實數，令  表示平面上滿足4

PF ₁



PF ₂

 的所有 P

d

點所成的圖形，又令 C 為平面上以

F 為圓心、 6 為半徑的圓。請問下列哪些選項是正確的？ ₁

(1)當

d

 時，  為直線0

(2)當

d

 時，  為雙曲線1

(3)當

d

 時，  與圓 C 交於兩點2 (4)當

d

 時，  與圓 C 交於四點4 (5)當

d

 時，  不存在8

出　　處：第四冊第一章 圓錐曲線 解題觀念：雙曲線的定義與性質。

答　　案：(1)(2)(5)

解　　析：(1) ○，當

d  0

時，

PF ₁



PF ₂

 　　0

PF ₁



PF ₂

　　　 P 點所形成的圖形為

F F 的中垂線 _{1 2}

(2) ○，當

d  1

時，

PF ₁



PF ₂

 1

F F _{1 2}

4

　　　 P 點所形成圖形為雙曲線 (3) ╳，當

d  2

時，

PF ₁



PF ₂

 2

F F _{1 2}

4

　　　 P 點所形成圖形為雙曲線，與圓 C 交於 4 點 (4) ╳，當

d  4

時，

PF ₁



PF ₂

 4

F F _{1 2}

　　　 P 點所形成圖形為以

F 、 1 F 為起點的射線，與圓 C 交於 2 點 ₂

(5) ○，當

d  8

時，

PF ₁



PF ₂

 8

F F _{1 2}

　　　 P 點所形成的圖形不存在 故選(1)(2)(5)

第貳部分：選填題（占 35 分）

說明：1. 第 A 至 G 題，將答案畫記在答案卡之「選擇（填）題答案區」所標示的列號（14－

33）。

2. 每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A

無窮等比級數和、循環小數與分數的轉換關係

若首項為 a ，公比為 0.01 的無窮等比級數和等於循環小數1.2 ，則 a  　　　　　。 出　　處：第一冊第二章 數列與級數

解題觀念：利用無窮等比級數和，

¹

1

S a



r

 ，及循環小數轉換分數的運算。

答　　案：1.21

解　　析： 2 11 1.2 1 1 0.01 9 9

a

  



　 11

0.99

a  　　

9 11 0.11

a 

1

　

a

0.11 11 1.21 

已知首項為

a 、公比為 r 的無窮等比級數和等於 5；首項為 a 、公比為 3r 的無窮等比

級數和等於 7，則首項為 a 、公比為 2r 的無窮等比級數和等於　　　　。

答案：35

6 【100 學測選填 A】

B

^{斜率的大小關係}

設

A  

1,1 、

B 

3,5



、

C 

5,3



、

D 

0, 7 、

 E 

2, 3 及

 F 

8, 6 為坐標平面上的六個點。若直線 L 分



別與三角形 ABC 及三角形

DEF 各恰有一個交點，則 L 的斜率之最小可能值為　　　　。

出　　處：第一冊第一章 數與坐標系

解題觀念：觀察圖形，並利用斜率間的大小關係，找出最小斜率的直線，加以求其斜率。

答　　案：3

解　　析：∵　直線 L 分別與 ABC△ 、△

DEF

各恰有一交點

∴　由圖形可看出直線 L 只能是二個三角形頂點的連線，

　　不可能切割三角形，所以斜率最小為 9 3

CF

3

m

  



.

如圖所示，坐標平面上一鳶形 ABCD ，其中 A 、 C 在 y 軸 上 ，

B 、 D 在 x 軸 上 ， 且 AB AD

  ，2

BC CD

  ，4

5

AC

 。令

m 、 AB m 、 _BC m 、 _CD m 分別表直線 AB 、 BC 、 _DA CD 、DA 之斜率。試問以下哪些敘述成立﹖　(A)此四數值

中 以

m 為 最 大 　 (B) 此 四 數 值 中 以 _AB m 為 最 小 　 (C) _BC

BC CD

m

 

m

(D)

m _AB



m _BC

  　(E)1

m _CD



m _DA

 。0

答案：(B)(C)(E) 【94 學測多選 2】

C

^平面向量

小明在天文網站上看到以下的資訊「可利用北斗七星斗杓的天璇與天樞這兩顆星來尋找北極星：

由天璇起始向天樞的方向延伸便可找到北極星，其中天樞與北極星的距離為天樞與天璇距離的 5 倍。」今小明將所見的星空想像成一個坐標平面，其中天璇的坐標為



9,8 及天樞的坐標為





7,11 。依上述資訊可以推得北極星的坐標為(　　　　, 　　　　



)。

出　　處：第三冊第一章 向量

解題觀念：根據題意作出圖形，再利用向量的性質加以解題。

答　　案：



3,26



解　　析：令北極星坐標為

 x y

,



5 樞北

 

璇樞

　

 x

7,

y

11



5 7 9,11 8



 



　

x

   得7 10

x

 3

　

y

 11 15得

y

26

∴　北極星坐標為



3,26



令

A 

1,6,0



，

B 

3, 1, 2  ，

 C 

4,4,5



為坐標空間中三點。若 D 為空間中的一點且 滿足 3

DA    

4

DB

2

DC

 0 ^，則點

D 的坐標為　　　　。

答案：



7,30,18



【97 學測選填 A】

D

二次函數、配方法求最大最小值

設點

A 

2,2



、

B 

4,8



為坐標平面上兩點，且點 C 在二次函數 1

²

y

 2

x

的圖形上變動。當 C 點的

x 坐標為　　　　時，內積 AB AC  

 ^{有最小值　　　　。}

出　　處：第四冊第一章 圓錐曲線、第三冊第一章 向量

解題觀念：利用點在曲線上的假設，設出點坐標，再依據題意列式，並用配方法求出最小值。

答　　案： ， 31 

解　　析：令 C 點坐標為



2 ,2

t t ² 



6,6

 

2 2,2

²

2



AB AC  

  

t



t



 

 ² 

6 2

t

2 6 2

t

2

   

 ² 

12 t

t

  1

2

12 3

t

2

 

    

當 1

t

  時， AB AC2

 

 ^{有最小值 3}

∴　 C 點 x 坐標為 1 時， AB AC

 

 ^{的最小值為3}

設

A  

1,0 與

B b 

,0



為坐標平面上的兩點，其中

_{b  1}

。若拋物線 :

y ²

4

x

上有一點

P 使得

△

ABP

為一正三角形﹐則

b

 　　　　。

答案：5 【92 學測填充 C】

E

三角形面積公式、餘弦定理

在邊長為13 的正三角形 ABC 上各邊分別取一點

P 、Q 、R ，使得 APQR 形成一平行四邊形，如

下圖所示：

若平行四邊形 APQR 的面積為 20 3 ，則線段 PR 的長度為　　。 出　　處：第二冊第二章 三角函數的基本概念

解題觀念：觀察圖形所要表達的意義；三角形面積公式1

ab

sin ；利用餘弦定理求 PR 長。

解　　析：∵　 APQR 為平行四邊形，∴　

PAR

 

BPQ

 

QRC

60

　 PBQ△ 、△

RQC

為正三角形 令 AP x ，

BP



AR

13

x

1

APR

2

  平行四邊形 APQR 面積

　   ¹ 13  sin 60 ¹



20 3



2

x

 

x

 2

　

x ²

13

x

40 0 　　 

x

8 

x

5  　　0

x

 或 58

∴　

PR

 8

²

    5

²

2 8 5 cos60  49 7

在△

ABC

中，

AB

10，

AC

 ，9 cos 3

BAC

8

  。設點 P 、Q 分別在邊 AB 、AC 上 使得△

APQ

之面積為△

ABC

面積之一半﹐則

PQ 之最小可能值為　　　　﹒（化

成最簡分數）

答案：15

2 【98 學測選填 I】

F

^{橢圓的圖形與方程式}

設 m 、 n 為正實數，橢圓

2 2

x y

1

m



n

 的焦點分別為

F ₁ 

0,2



與

F ₂ 

0, 2 。若此橢圓上有一點 P 使



得△

PF F _{1 2}

為一正三角形，則 m  　　　　， n  　　　　。 出　　處：第四冊第一章 圓錐曲線

解題觀念：橢圓的定義、圖形與方程式。

答　　案：12 ，16

解　　析：∵　△

PF F _{1 2}

為正三角形

∴　

PF ₁



PF ₂

， P 點在

F F 的中垂線上，設 _{1 2} P x 

,0



∵　△

PF F 1 2

為正三角形　　∴　

PF ₁



F F _{1 2}

4

　

x ²

  　　4 4

x ²

12，得

x

 12或 12

∴　

c

 ，2

b

 12 ，

a ²

12 4 16 

　

m b



²

12，

n a



²

16 設 P 為雙曲線

^{2 2}

1

9 16

x



y

 上的一點且位在第一象限。若

F 、 1 F 為此雙曲線的兩個焦 ₂

點，且

PF ₁

:

PF ₂

1 : 3﹐則△

F PF _{1 2}

的周長等於　　　　。

答案：22 【92 學測填充 D】

G

^{空間坐標系}

坐標空間中，在六個平面 14

x

13， 1

x

13，

y

 ，1

y

  ，1

z

  及1

z

  所圍成的長方體上4 隨機選取兩個相異頂點。若每個頂點被選取的機率相同，則選到兩個頂點的距離大於 3 之機率

為 。（化成最簡分數）

出　　處：第三冊第二章 空間向量

解題觀念：將所給之相關平面加以組合，列出長方體的頂點，再利用圖形的觀察求解。

答　　案：3 7

解　　析：將平面組成的長方體坐標列出為 1, 1, 4

A

13   、 14, 1, 4

B

13   、 14,1, 4

C 

13  、 1 ,1, 4

D

13   1 , 1, 1

E 

13   、 14, 1, 1

F 

13   、 14,1, 1

G

13  、 1 ,1, 1

H 

13   其中

BF

 ，3

AB

 ，1

BC

2

兩頂點距離大於 3 者有

AF 、 GD 、 EB 、 HC 、 FC 、 GB 、 ED 、 HA 、 FD 、 HB 、 EC 、 AG ，共12 種

故

₈

2

12 3

P

7



C



參考公式及可能用到的數值

1. 一元二次方程式

ax ²



bx c

  的公式解：0

²

4 2

b b ac

x a

  



2. 平面上兩點

P x y ， 1  1

,

1  P x y 間的距離為 2  2

,

2  PP 1 2



 x 2



x 1   ²



y 2



y 1  ²

3. 通過

 x y 與 1

,

1   x y 的直線斜率 2

,

2  ^{2 1}

2 1

y y m x x

 

 ，

x ₂



x ₁

4. 首項為

a ，公差為 ₁ d

的等差數列前 n 項之和為

 1  

2

1

^ 1^



2 2

n a a n n a n d

S

  

 

等比數列

ar ^{k  1}

的前 n 項之和



₁



1

n n

a r

S r

 

 ，

r

1 5. 級數公式：

_{2 2 2 2 2}

   

1

1 2 1 1 2 3

6

n k

n n n

k n



 

     



^

6. 三角函數的和角公式：sin

A B

  sin cos

A B

sin cos

B A

　　　　　　cos

A B

  cos cos

A B

sin sin

A B

7. △

ABC

的正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A



B



C



R

， R 為△

ABC

的外接圓半徑

△

ABC

的餘弦定理：

c ²



a ²



b ²

2

ab

cos

C

8. 棣美弗定理：設

z r

 cos

i

sin ，則

z ⁿ



r ⁿ

cos

n



i

sin

n

 ， n 為一正整數 9. 算術平均數：

   1 2 

1

1 1

ⁿ

n i

i

M X x x x x

n n 

    ^ 



（樣本）標準差：

  ^{2 2 2}

1 1

1 1

1 1

n n

i i

i i

S x X x nX

n  n 

  

 



   



  10. 95%信心水準下的信賴區間： 

_p

₂ 

^p 

¹ 

^p 

_,

_p

₂ ^

^p 

^{1 }

^p 

n n

   

   

 

 

11. 參考數值： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 5 2.236 ， 6 2.449 ， 3.142 12. 對數值：log 2 0.3010

10

 ，log 3 0.4771

₁₀

 ，log 5 0.6990

₁₀

 ，log 7 0.8451

₁₀

