二次函數圖形的左右移動 二次函數圖形的左右移動 y ＝ a(x － h)

自我評量

二次函數圖形的左右移動 二次函數圖形的左右移動

＋ k 的圖形

＋ k 的圖形

配方法 配方法

圖形與兩軸的交點 圖形與兩軸的交點

y ＝ a(x － h)²

＋ k 的最大值與最小值

＋ k 的最大值與最小值

在上一節已探討形如 y ＝ ax

與 y ＝

＋ k 的二次函數之最大值或最小值及其圖 形間的關係。本節一開始要探討的是形如 y ＝

與 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的二 次函數，其中 a 、 h 、 k 皆不為 0 。

為了便於畫圖，我們先利用不等式來

找這類函數的最大值或最小值。

1

最大值或最小值

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出

(1) y ＝ 2 （ x － 3 ）

(2) y ＝－（ x ＋ 1 ）

(3) y ＝ 3 （ x － ）

－ 4 (4) y ＝－（ x ＋ 2 ）

－ 5

搭配習作 P9 基 礎題 1

12

解 解

(1) 2 ∵ （ x － 3 ）

≧ ， 0

∴ 函數值 y 0 ≧ ，

又 x ＝ 3 時， 2 （ x － 3 ）

＝ 0 ， 故函數在 x ＝ 3 時，

有最小值 y ＝ 0 。 (2)∵ －（ x ＋ 1 ）

≦ ， 0

∴函數值 y 0 ≦ ，

又 x ＝－ 1 時，－（ x ＋ 1 ）

＝ 0 ， 故函數在 x ＝－ 1 時，

有最大值 y ＝ 0 。

(3) 3 ∵ （ x － ）

≧ ， 0

3 （ x － ）

－ 4 0 ≧ － 4 ，

∴y ＝ 3 （ x － ）

－ 4 ≧ － 4 ，

又 x ＝ 時， 3 （ x － ）

＝ 0 ，

故函數在 x ＝ 時，有最小值 y ＝

－ 4 。

1 2 2 1

2 1

1 2 2 1

解 解

(4) ∵ －（ x ＋ 2 ）

≦ ， 0

－（ x ＋ 2 ）

－ 5 0 ≦ － 5 ， ∴ y ＝－（ x ＋ 2 ）

－ 5 ≦ － 5 ，

又 x ＝－ 2 時，－（ x ＋ 2 ）

＝ 0 ，

故函數在 x ＝－ 2 時， 有最大值 y ＝－ 5 。

1 2

試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x 的值為多少時，會得到最大值或最小值。

(1)y ＝－ （ x ＋ 4 ） 1 3

(2)y ＝ 4 （ x － 5 ）

∵4 （ x － 5 ） ²≧ ，0

∴ 函數值 y 0≧ ，

又 x ＝ 5 時， y ＝ 0 ， 故函數在 x ＝ 5 時，

有最小值 y ＝ 0 。

∵ － （ x ＋ 4 ） ²≦ ，0

∴ 函數值 y 0≦ ，

又 x ＝－ 4 時， y ＝ 0 ， 故函數在 x ＝－ 4 時，

有最大值 y ＝ 0 。

1 3

(3)y ＝－（ x ＋ ） 2 3

＋ 1

∵ －（ x ＋ ） ²≦ ，0

－（ x ＋ ） ² ＋ 1 1≦ ，

∴y ＝－（ x ＋ ） ² ＋ 1 1≦ ， 又 x ＝－ 時， y ＝ 1 ，

故函數在 x ＝－ 時，

有最大值 y ＝ 1 。

2 3

2 3

2 3 2 3

2 3

(4)y ＝ 2 （ x － 5 ）

－ 3

∵ 2 （ x － 5 ） ²≧ ，0

2 （ x － 5 ） ² － 3≧ － 3 ，

∴ y ＝ 2 （ x － 5 ） ² － 3≧ － 3 ， 又 x ＝ 5 時， y ＝－ 3 ，

故函數在 x ＝ 5 時，

有最小值 y ＝－ 3 。

由例題 1 與隨堂練習發現，形如 y ＝ a (x －

與

＋ k 的二次函數與上 一節所介紹形如 y ＝ ax

與 y ＝ ax

＋ k 的二次 函數，因為 (x － h)

與 x

一樣都恆大於或等於零

，所以由不等式的推理會得到相同的最大值或最 小值，差別僅在前者的最大值或最小值是在 x ＝

得到。

而這樣的差異，對函數圖形有怎樣的影響呢

？首先，讓我們先來看一些形如 y ＝ a （ x － h

）

， h≠0 的二次函數圖形。

2 y ＝（ x － h ） ²

的

描繪二次函數 y ＝（ x － 1 ） 繪圖

的圖形。

∵y ＝（ x － 1 ）

≧ ， 0

∴ 函數在 x ＝ 1 時，有最小值 y ＝ 0 。

因此從 x ＝ 1 開始，對稱的將 x 和 y 的對應 值列表如下：

解 解

x … -1

0 1 2 3 …

1 0 1 4 …

搭配習作 P10 基礎題 2

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y ＝ (x ＋ 1)

的圖形：

x …

…

y …

…

x … -3 -2 -1 0 1

…

…

形狀相同，

且可完全疊合，

開口方向、開口大小 也相同。

拿出第 145 頁的附件 1 ，疊在右圖中 y

、

和 y ＝（ x ＋ 1 ）

這三個 圖形上，

比較它們的形狀、開口方向與開口大小。

由動動腦可知：

y ＝ (x － 1)² 與 y ＝ (x ＋ 1)² 的圖形均可和 y ＝ x² 的 圖形疊合，所以這三個圖形都是拋物線，其開口大 小相同。且知將 y ＝ x² 的圖形向右移動 1 個單位，

便是 y ＝ (x － 1)² 的圖形，而向左移動 1 個單位，

便是 y ＝ (x ＋ 1)² 的圖形，因此這三個圖形均為開 口向上，而且其對稱軸也會跟著向右或向左移動。

3 y

＝ a （ x － h ）

的繪圖

∵y ＝－ 2 （ x － 1 ）

≦ ， 0

∴ 函數在 x ＝ 1 時，有最大值 y ＝ 0 。

因此從 x ＝ 1 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值 列表如下：

描繪二次函數 y ＝－ 2 （ x － 1 ）

的圖 形。 解 解

x

… -1 0 1 2 3 …

… -8 -2 0 -2 -8 …

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

x …

…

y …

…

x … -4 -3 -2 -1 0

…

…

在下面的坐標平面上，描繪二次函數

y ＝－ 2 （ x ＋ 2 ）

的圖形：

形狀相同，

且可完全疊合，

開口方向、開口 大小也相同。

拿出第 145 頁的附件 6 ，疊在右圖中 y ＝－ 2x

、

y ＝－ 2 （ x － 1 ）

和 y ＝－ 2 （ x ＋ 2 ）

這三個圖

形上， 比較它們的形狀、開口方向與開口大小。

由動動腦可知：

y ＝－ 2 （ x － 1 ） ²

與 y ＝－ 2 （ x ＋ 2 ）

的 圖形均可和 y ＝－ 2x

的圖形疊合，所以這三個圖 形都是拋物線，其開口大小相同。且知將 y ＝－ 2

的圖形向右移動 1 個單位，便是 y ＝－ 2 （ x － 1 ）

的圖形，而向左移動 2 個單位，便是 y ＝－

2 （ x ＋ 2 ）

的圖形，因此這三個圖形均為開口

向下，而且其對稱軸也會跟著向右或向左移動。

由前面的動動腦，我們可整理得表 1-2 ，請 在表 1-2 的空格內，填入適當的文字或符號。

圖形的移動 圖形

形狀 頂點

座標 對稱軸

由 y ＝ x

的 圖形向 ___

移動 1 個單 位而得。

開口向 上的拋

物線

項目 函數

右 （ 1 ,0 ）

表 1-2

y ＝ (x

+ 1)

由 y ＝ x

的 圖形向 ___

移動 1 個單 位而得。

開口向 上的拋

物線 (-

1,0 )

y ＝ -2(x-1)

2

由 y ＝－ 2x

的圖形向右 移動 ___ 個 單位可得。

開口向 下的拋

物線 (1 , 0)

左 x ＝ -1

y ＝ -2(x+2)

2

由 y ＝

2x

的圖形向左 移動 ___ 個 單位可得。

開口向 下的拋

物線

因此對於形如 y ＝ a （ x － h ）

， h≠0 的二次函數圖形，由表 1-2 可得：

1. 其圖形都是拋物線，頂點為（ h , 0 ），對稱 軸 為直線 x ＝ h 。

(1) 當 h ＞ 0 時，其圖形可由 y ＝ ax

的圖形 向右 移動 h 個單位而得。

(2) 當 h ＜ 0 時，其圖形可由 y ＝ ax

的圖形

向左 移動｜ h ｜個單位而得。

2. 其圖形的開口方向與 y ＝ ax

相同，因此：

(1) 當 a ＞ 0 時，圖形開口向上，頂點是最低 點， 函數有最小值為 0 。

(2) 當 a ＜ 0 時，圖形開口向下，頂點是最高

點， 函數有最大值為 0 。

我們也可將二次函數 y ＝ a （ x － h ）

，

條 件

a ＞ 0 a ＜ 0

h ＞ 0 h ＜ 0 h ＞ 0 h ＜ 0

圖

示

1. 若二次函數 y ＝ 2x

的圖形向右移動 4 個單位可

得 y ＝ a （ x － p ）

的圖形，試求 a ＋ p 之值。

∵y ＝ 2x² 的圖形向右移動 4 個單位可得 y ＝ 2(x － 4 ） ² ，

∴a ＝ 2 、 p ＝ 4 ， 故 a ＋ p ＝ 2 ＋ 4 ＝ 6

2. 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點 坐標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲： y ＝－ （ x ＋ 1 ）

乙： y ＝－

2 （ x － 2 ）

丙： y ＝（ x － ）

丁： y ＝ （ x + 5 ）

3 2

1 4

4 3

甲：開口向下，頂點 (-1,0) ，對稱軸為 x=-1 。 乙：開口向下，頂點 (2,0) ，對稱軸為 x=2 。 丙：開口向上，頂點 ( ,0) ，對稱軸為 x=

。

丁：開口向上，頂點 (-5,0) ，對稱軸為 x=-5 。 開口大小：乙＜丙＜丁＜甲。

4 1

1 4

有錢不能使人幸福，幸福的泉源只有一個─

─使別人得到幸福。

— 諾貝爾（ Alfred Nobel ， 18

33-1896 ）

接下來，我們來看一些形如 y ＝ a(x － h)

＋

4 y ＝ a （ x － h ） ²

＋ k 的繪圖（ a ＞ 0 ） 描繪二次函數 y ＝（ x － 2 ）

＋ 1 的

∵ （ x － 2 ） 圖形。

≧ ， y ＝（ x － 2 ） 0

＋ 1 1 ≧ ，

∴ 函數在 x ＝ 2 時， 有最小值 y ＝ 1 。因此，

從 x ＝ 2 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表 如下：

解 解

x

… 0 1 2 3 4 …

… 5 2 1 2 5 …

然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數

－ 2 的圖形：

x …

…

y …

…

x … -3 -2 -1 0 1

…

…

形狀相同，

且可完全疊合，

開口方向、開口大小 也相同。

拿出第 145 頁的附件 1 ，疊在右圖中 y ＝ x

、

＋ 1 和 y ＝（ x ＋ 1 ）

－ 2

這三個圖形上，比較它們的形狀、開口方向與

開口大小。

由動動腦可知：

y ＝（ x － 2 ） ²

＋ 1 與 y ＝（ x ＋ 1 ）

－ 2 的圖形，均可和 y ＝ x

的圖形疊合，所以這 三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知 移動 y ＝ x

的圖形使得頂點（ 0 , 0 ）移至（

2 , 1 ）時，便可得到 y ＝（ x － 2 ）

＋ 1 的 圖形，而移動 y ＝ x

的圖形使得頂點（ 0 , 0

）移至（－ 1 , － 2 ）時，便可得到 y ＝（ x

＋ 1 ）

－ 2 的圖形。

5 y ＝ a （ x － h ） ² ＋ k 的繪圖（ a ＜ 0 ）

搭配習作 P10 基礎題 2

描繪二次函數 y ＝－ （ x － 2 ）

－ 1 的圖形。

∵ － (x － 2)

≦ ， y ＝－ (x － 2) 0

－ 1≦ － 1 ，

∴ 函數在 x ＝ 2 時，有最大值 y ＝－ 1 。因此

，從

x ＝ 2 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表如

下：

1 2

2 1 解 解

1 2

x

… 0 1 2 3 4 …

… -3  2 3 -1 -3 …

2 3



然後描點並畫平滑曲線如右圖：

在下面的坐標平面上，描繪二次函數 y ＝－

（ x ＋ 2 ）

＋ 2 的圖形：

x …

…

y …

…

-1

0 0

…

0

…

…

-3 -4

…

2 3

2 3

1 2

拿出第 145 頁的附件 4 ，疊在右圖中 y ＝－

x ²

、 y ＝－ （ x － 2 ）

－ 1 和 y ＝－ （ x

＋ 2 ）

＋ 2 這三個圖形上，比較它們的形狀

、開口方向與開口大小。

形狀相同，且可完全 疊合，開口方向、

開口大小也相同。

1 2

2 1 1 2

由動動腦可知：

y ＝－ （ x － 2 ） ²

－ 1 與 y ＝－ （ x ＋ 2 ）

＋ 2 的圖形均可和 y ＝－ x

的圖形疊合，所以 這三個圖形都是拋物線，其開口大小相同。且知 移動 y ＝－

x²

的圖形使得頂點（ 0,0 ）移至（ 2 , － 1 ） 時，便可得到 y ＝－ （ x － 2 ）

－ 1 的圖 形，而移動 y ＝－ x

的圖形使得頂點（ 0,0

）移至（－ 2,2 ）時，便可得到 y ＝－ （ x ＋ 2 ）

＋ 2 的圖形。

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

由前面的動動腦，我們可整理得表 1-3

，請在表 1-3 的空格內，填入適當的文字或符 號。

圖形的移動

與頂點坐標 圖形形狀 對稱軸

y ＝ (x － 2)²

＋ 1

移動 y ＝ x

的圖 形，使頂點 (0 , 0) 移至 ________

_ 而得。

開口向上

的拋物線 x ＝ 2 函數 項目

（ 2 , 1 ）

表 1-3

y ＝ (x+1)²-2

移動 y ＝ x

的圖 形，使頂點 (0,0) 移至 __________

而得。

開口向上 的拋物線

y ＝ - (x- 2)²- 1

移動 y ＝－ x

2

的圖形，使頂點 ( 0,0) 移至 _______

而得。

開口向下

的拋物線 x ＝ 2 1 2

1 2

x ＝－ 1

( － 1 , － 2)

(2 , － 1)

y ＝ - (x+2)²+ 2

開口向下

2

1

移動 y ＝－ x

的圖形，使頂點

（ 0 , 0 ）移至＿

＿＿＿＿而得。

1 2

（－ 2 , 2 ）

因此，形如 y ＝ a （ x － h ）

＋ k ， hk≠0 的二次函數圖形，由表 1-3 可得：

1. 其圖形都是拋物線，其頂點為（ h , k ），對 稱 軸為直線 x ＝ h 。

2. 其圖形的開口方向與 y ＝ ax

相同，因此：

(1) 當 a ＞ 0 時，圖形開口向上，頂點是最低 點，函數有最小值為 k 。

(2) 當 a ＜ 0 時，圖形開口向下，頂點是最高

點，函數有最大值為 k 。

已知二次函數 y ＝ a （ x － p ）

＋ q 的頂點

（ 2, －

4 ）是其圖形的最高點，且∣ a∣ ＝ 3 ，試求 a

、

p 、 q 之值及此二次函數。

搭配習作 P11 基 礎題 3

∵ 二次函數 y ＝ a （ x － p ）

＋ q 的頂點

（ p ,q ），亦即（ 2 , － 4 ）

∴p ＝ 2 ， q ＝－ 4 。

又頂點是其圖形的最高點，∴ a ＜ 0 。

因此由∣ a∣ ＝ 3 ，得 a ＝－ 3 （ 3 不合）

。

∴ 二次函數為 y ＝－ 3 （ x － 2 ）

－ 4 解 解

6 y

＝ a （ x － h ）

＋ k 的應用

若移動二次函數 y ＝－ x

的圖形，使得頂點 (0 ,0) 移至 (5 , － 3) 時，可得 y ＝ a （ x － p ）

＋ q 的圖形，試求 a ＋ p ＋ q 之值。

∵ y ＝ a （ x － p ） ² ＋ q 的頂點（ p , q ）

，

∴ p ＝ 5 、 q ＝－ 3 。

又圖形是由 y ＝－ x² 移動而得，∴ a ＝－ 1

。

故 a ＋ p ＋ q ＝（－ 1 ）＋ 5 ＋（－ 3 ）＝ 1

若二次函數 y ＝ x

的圖形移動可得 y ＝ a (x － p)

＋ q 的圖形，且對稱軸為直線 x ＝ 2 ，圖形 又通過坐標平面上的點（－ 2 , 5 ），試求 q 之值。

7 4

搭配習作 P11 基礎題 4

7 y

＝ a （ x － h ）

＋ k 的應用

∵ 圖形可由 y ＝ x

的圖形移動而得，∴ a

＝ 。

∵ 直線 x ＝ 2 為其對稱軸，∴ p ＝ 2 。 因此函數為 y ＝ （ x － 2 ）

＋ q 。

又其圖形通過（－ 2 , 5 ），

∴5 ＝ （－ 2 － 2 ）

＋ q 5 ＝ 28 ＋ q

q ＝－ 23

7 4 7 4

7 4 解 解

4 7

∵y ＝ a （ x － p ） ² ＋ q 的頂點（ p , q ），

∴p ＝－ 1 、 q ＝－ 2 。

又 y ＝ a （ x ＋ 1 ） ² － 2 的圖形通過（ 2 , 1 ），

∴ 將（ 2 , 1 ）代入得 1 ＝ 9a － 2 ， a ＝ 。

1 3 若二次函數 y ＝ a (x － p)

＋ q 的頂點 ( － 1,

－ 2) ，其圖形通過坐標平面上的點 (2 , 1) ，

試求 a 之值。

我們知道形如 y ＝ a （ x － h ）

＋ k ， a≠0 的二次函數，可利用不等式判斷函數的最大值或 最小值；但形如 y ＝ ax

＋ bx ＋ c ， a≠0 的二 次函數，例如： y ＝ x

＋ 4x 、 y ＝－ 2x

－ 3x

＋ 1 ，該如何找出這些函數的最大值或最小值呢

？

其實如果能將此類型函數化成 y ＝ a （ x －

＋ k 的形式，問題就解決了。現在我們就

來練習這個轉變的方法。

8

配方法求最大值或最小值 (x

係數為 1) 請將二次函數 y ＝ x

－ 6x ＋ 8 化成 y ＝ a （ x

－ h ）

＋ k 的形式，並求函數的最大值或最 小值為何？

搭配習作 P9 基礎題 1

y ＝ x²

－ 6x ＋ 8

＝ x

－ 2 ． x ． 3

＋ 8

＝（ x － 3 ）

－ 1

∵ （ x － 3 ）

≧ ， 0

y ＝（ x － 3 ） ²

－ 1≧ － 1 ，

∴ 函數在 x ＝ 3 時，有最小值 y ＝－ 1 。 將 x

－ 6x 配成 完全平方式

解 解

試求下列函數的最大值或最小值：

(1)y ＝ x

－ 10x

＋ 8x ＋ 25

25

＝ (x － 5)² － 25≧ － 25

∴ 函數在 x ＝ 5 時，

有最小值 y ＝－

25 。

y ＝ x ² ＋ 8x ＋ 16 ＋ 9

＝ (x ＋ 4)² ＋ 9

∴ 函數在 x ＝－ 4 時

，

有最小值 y ＝ 9

。

搭配習作 P9 基礎題 1

將下列二次函數化成 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的 形式，並求函數的最大值或最小值為何？

(1) y ＝ 2x

＋ 4x － 1 (2)y ＝－ x

－ 3x ＋ 4 3

9

配方法求最大值或最小值 (x

係數不為 1)

(1) y ＝ 2x

＋ 4x － 1

＝ 2 （ x

＋ 2x ）－ 1

＝ 2 （ x

＋ 2x

）－ 1 ＝ 2 〔（ x ＋ 1 ）

－ 1 〕－ 1 ＝ 2 （ x ＋ 1 ）

－ 2 － 1

＝ 2 （ x ＋ 1 ）

－ 3 ∵2 （ x ＋ 1 ）

≧ ， 0

y ＝ 2 （ x ＋ 1 ） ²

－ 3≧ － 3 ，

∴ 函數在 x ＝－ 1 時，有最小值 y ＝－

3

將 x

項和 x 項括在一起，

並提出 x

項的係數

將 x

＋ 2x 配成 完全平方式

解 解

(2) y ＝－ x

－ 3x ＋

＝－（ x

＋ 3x ）＋

＝－〔 x

＋ 3x

－（ ）

〕

＋

＝－〔（ x ＋ ）

－（ ）

〕＋

＝－（ x ＋ ）

＋（ 　）

＋ ＝－（ x ＋ ）

＋ 3

∵ －（ x ＋ ）

≦ ， 0

y ＝－（ x ＋ ） ²

＋ 3 3 ≦ ，

∴ 函數在 x ＝－ 時，有最大值 y

＝ 3

43

23 23 23

23

23 23

23

23 43

43 43

23

43

提出 x

項的係數

將 x

＋ 3x 配成 完全平方式

23

試求下列函數的最大值或最小值：

(1)y ＝－ 2x

＋ 4x － 2 (2)y ＝ x

＋ 2x

＋ 3 2 1

y ＝－ 2 （ x － 1 ） ² 0

≦

∴ 函數在 x ＝ 1 時，

有最大值 y ＝ 0 。

y ＝ （ x ＋ 2 ） ² ＋ 1 1≧

∴ 函數在 x ＝－ 2 時

，

有最小值 y ＝ 1 。

1 2

像例題 8 、例題 9 這種配成完全平

方式的方法，也稱為

。我們可以使用

配方法，直接將 y ＝ ax

＋ bx ＋ c ， a≠0 化

成 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的形式：

y ＝ ax²

＋ bx ＋ c

＝ a （ x

＋ x ）＋ c

＝ a 〔 x

＋ x

－（ ）

〕＋

c

＝ a 〔（ x ＋ ）

－（ ）

〕＋ c ＝ a （ x ＋ ）

－ a （ ）

＋ c ＝ a （ x ＋ ）

＋

令 h ＝－ ， k ＝

代入上面等式可得 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的形式

。

ba ba

ba

2 ba

2 ba

2 ba

2 ba

2 ba 2

ba 2 a b ac4

4  ² ba

2 aca b 4 4 ²

提出 x

項的係 數

將 x

＋ x 配成 完全平方式

b

因為 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的圖形是拋物線，

因此對於二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形，

我們可得：

1. 其圖形是拋物線，頂點坐標（－ , ），

對稱軸為直線 x ＝－ 。

ba

2 aca b 4 4 ² ba

2

2. 其圖形開口方向的判斷方法與 y ＝ ax

相同，

因此

(1) 當 a ＞ 0 時，圖形開口向上，頂點是最低 點，函數在 x ＝－ 時，有最小值 。

(2) 當 a ＜ 0 時，圖形開口向下，頂點是最高 點，函數在 x ＝－ 時，有最大值 。

ba

2 aca b

4 4 ²

ba

2 aca b

4 4 ²

10 y ＝ ax²

＋ bx ＋ c 的應用

搭配習作 P12 基礎題 5

若二次函數 y ＝－ 2x

＋ bx ＋ c 的頂點為（

, 1 ）

，試求 b 、 c 之值。

1 2

∵ y ＝－ 2x

＋ bx ＋ c 的頂點（ , 1 ），

且 x

的係數為－ 2 ， 5

∴ 可令 y ＝－ 2 （ x － ）

＋ 1

＝－ 2 （ x

－ x ＋ ）＋ 1

＝－ 2x

＋ 2x － ＋ 1 ＝－ 2x

＋ 2x ＋

故對照原二次函數可得 b ＝ 2 ， c ＝

12

21

14 21 21

21

解 解

1. 若二次函數 y ＝ 2x

＋ bx ＋ c 的頂點 ( － 2

1) ，試求 b － c 之值。

∵y ＝ 2x² ＋ bx ＋ c 的頂點（－ 2 ^,1 ），

且 x² 項的係數為 2 ，

∴ 可令 y ＝ 2 （ x ＋ 2 ） ² ＋ 1 ＝ 2x² ＋ 8x ＋ 9 對照原式得 b ＝ 8 、 c ＝ 9 ， 故 b － c ＝ 8 － 9 ＝－ 1 。

∵y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 的頂點（ 3 ^, － 3 ），

且圖形由 y ＝ x² 移動而得，

∴ 可令 y ＝（ x － 3 ） ² － 3 ＝ x² － 6x ＋ 6

對照原式得 a ＝ 1 、 b ＝－ 6 、 c ＝ 6 ， 故 a ＋ b ＋ c ＝ 1 － 6 ＋ 6 ＝ 1 。

2. 若移動 y ＝ x

的圖形，使得頂點（ 0 , 0 ） 移至（ 3 , － 3 ）時，可得二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形，試求 a ＋ b ＋ c 之值。

畫二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形時

，除了可用配方法找到頂點之外，亦可利用公 式求出頂點，但仍宜寫成 y ＝ a （ x － h ）

＋ k 的形式，列表求 y 值。

11 y

＝ ax

＋ bx ＋ c 的繪圖

搭配習作 P10 基礎題 2

描繪二次函數 y ＝－ x

＋ 6x － 7 的圖 形。

＋ 6x － 7

＝－（ x

－ 6x ）－ 7

＝－（ x

－ 6x ＋ 3

－ 3

）

－ 7

＝－（ x － 3 ）

＋ 3

－ 7 ＝－（ x － 3 ）

＋ 2

∴ 函數頂點坐標 （ 3 ,2 ）。

解 解

另解：

令 a ＝－ 1 、 b ＝ 6 、 c ＝－ 7 ，

∵a ＜ 0 ， 5

∴ 函數在 x ＝－ ＝－

＝ 3

有最大值 y ＝－ 3

＋ 6 ． 3 － 7 ＝ 2

，

因此，函數頂點坐標為（ 3 ,2 ）。

ba

2 6 2



因此從 x ＝ 3 開始，對稱的將 x 和 y 的對應值列表 如下：

y … － 2 1 2 1 － 2 …

然後描點並畫平滑曲線

如下圖：

描繪下列二次函數的圖形：

(1) y ＝ x

＋ x ＋ 4 5

…

…

…

…

…

…

…

…

5 2 1 2 5

2 5

  2 3

1 2

 1 2

2 3

y ＝ x² ＋ x ＋

＝（ x ＋ ） ² ＋ 1

∴ 頂點（－ , 1 ）

45 12

12

(1)

(2) y ＝－ 2x

－ 8x － 1

x

… …

y

… …

x

…

…

y

…

…

(2)

令 a ＝－ 2 、 b ＝－ 8 、 c ＝

－ 1 ，

∵a ＜ 0 ，

∴ 函數在 x ＝－ ＝－

2 時，

有最大值 y ＝－ 8 ＋ 16 － 1 ＝ 7

故頂點為 ( － 2 ,7 ） 則函數可化成

y ＝－ 2(x ＋ 2)² ＋ 7

) 2 ( 2 8



接著我們來探討二次函數的圖形與兩軸

（ x 軸與 y 軸）之間的關係。

試求二次函數 y ＝－ x

＋ 6x － 7 圖形與兩軸的 交點

坐標。

(1) 求圖形與 y 軸的交點坐標：

∵ 在 y 軸上的點，其 x 坐標為 0

，

∴ x ＝ 0 代入函數得 y ＝－ 7 ， 故與 y 軸的交點坐標為 (0 , － 7)

。 解 解

12

圖形與兩軸的交點坐標

(2) 求圖形與 x 軸的交點坐標：

∵ 在 x 軸上的點，其 y 坐標為 0 ， ∴ 令函數 y 值為 0 ，得 0 ＝－ x

＋ 6x － 7 ，

解方程式 x

－ 6x ＋ 7 ＝ 0

令 a ＝ 1 ， b ＝－ 6 ， c ＝ 7 。

得 b

－ 4ac ＝（－ 6 ）

－ 4 ． 1 ． 7 ＝ 8 ＞ 0

x ＝ ＝

＝ ＝　　　　 故與 x 軸的交點坐標為

(3 ＋ ,0) 與 (3 － ,0) 。

a ac b

b 2 ²4

 62 8

2 2

62 3 2

2 2

試求下列二次函數圖形與兩軸的交點坐標：

(1) y ＝ x

－ 6x ＋ 9

x ＝ 0 時， y ＝ 9 ，

∴ 與 y 軸交於（ 0 ,9 ） y ＝ 0 時， x² － 6x ＋ 9

＝ 0

（ x － 3 ） ² ＝ 0 x ＝ 3 （重根）

∴ 與 x 軸交於（ 3 , 0 ）

試求下列二次函數圖形與兩軸的交點坐標：

(2) y ＝－ 2x

＋ 4x － 5

x ＝ 0 時， y ＝－ 5 ，

∴ 與 y 軸交於（ 0 , － 5 ）

y ＝ 0 時，－ 2x² ＋ 4x － 5

＝ 0判別式＝ 16 － 40 ＝－ 24

＜ 0方程式無解

∴ 與 x 軸沒有交點。

當我們將 x ＝ 0 代入二次函數 y ＝ ax

＋

＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形與 y 軸只交於（ 0 , c ）

。

由圖 1-7 可知，它與 x 軸相交的情形為交 於兩點、只交於一點或沒有交點。

交於兩點 只交於一點 沒有交點

圖 1-7

由例題 12 及隨堂練習可以發現，二次函數 圖形與 x 軸的交點坐標，可由方程式 ax

＋ b

因為如果二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖 形與

x 軸交於（ x

, 0 ），則（ x

, 0 ）必定在 y

＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形上，所以 0 ＝ ax

＋ bx

0

＋ c ，也就是說 x

是方程式 ax

＋ bx ＋ c

＝ 0 的一個解。

1. 當判別式 b

－ 4ac ＞ 0 ：

方程式有兩個相異解，即二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形與 x 軸交於

( ,0) 與 ( ,0) 兩點

。

2

 4





2

 4





因此要探討二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的 圖形與 x 軸相交的情形，只需探討方程式 ax

＋ bx ＋ c ＝ 0 解的情況。根據一元二次方程式

的公式解，我們知道：

3. 當判別式 b

－ 4ac ＜ 0 ：

方程式沒有解，即二次函數 y ＝ ax

＋

2. 當判別式 b

－ 4ac ＝ 0 ：

方程式恰有一解，即二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形與 x 軸只交於一點，

也就是頂點（－ , 0 ）

試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數

：

(1)y ＝ x

＋ x ＋ 1 (2)y ＝ 2x

－ x (3)y ＝－

x²

＋ x －

1 2

1 2 (1)∵ 判別式＝ 1

－ 4 ． 1 ． 1 ＝－ 3 ＜ 0 ， ∴ 其圖形與 x 軸沒有交點。

(2)∵ 判別式＝（－ 1 ）

－ 4 ． 2 ． 0 ＝ 1

＞ 0 ，

∴ 其圖形與 x 軸有兩個交點。

(3)∵ 判別式＝ 1

－ 4 ．（－ ）．（－ ）

＝ 0 ，

∴ 其圖形與 x 軸恰有一個交點。

1 2

1 2 解 解

13

圖形與 x 軸的交點個數（由判別式）

下列哪些二次函數的圖形與 x 軸恰有一個交點

：

(1) y ＝－ x

(2) y ＝ x

＋ 5x

(3) y ＝ x

－ 2x ＋ 4 (4) y ＝－ 2x

－ 3

2 3

8 9

(2) 判別式＝ 25 ＞ 0 (3) 判別式＝－ 12 ＜ 0 (4) 判別式＝ 0

故 (1) 、 (4) 的圖形與 x 軸恰有一個交 點。

二次函數圖形與 x 軸的相交情形，除了

可用判別式來判斷外，當可以確定圖形頂點

與開口方向時，我們也可利用其圖形的特性

來判斷。

試判斷下列二次函數的圖形與 x 軸的交點個數

。

(1) y ＝ 2 （ x － 5 ）

－ 4 (2)y ＝－ （ x

＋ 3 ）

(3) y ＝－ （ x ＋ ）

－

2 3 4 3

2 3

1 2 解 解

14

圖形與 x 軸的交點個數（由圖形特性）

搭配習作 P12 基礎題 6

(1) y ＝ 2(x － 5)

－ 4 圖形 開口向上，且頂點 (5, － 4) 在 x 軸下方，因此圖 形與 x 軸會有兩個交點

。

(2) y ＝－ （ x ＋ 3 ）

圖形 的頂點（－ 3 , 0 ）恰在 x 軸上，因此其圖形與 x 軸 恰有一個交點。

(3) y ＝－ （ x ＋ ）

－ 圖形開口向下，且頂點

（－ , － ）在 x 軸 下方，因此圖形與 x 軸沒 有交點。

2 3

4 3

2 3

1 2 1 2 2 3

1. 已知二次函數 y ＝－ 2x

＋ bx ＋ c 的頂點 為

( 2,3 ），試求其圖形與 x 軸的交點個數。

，

且頂點（ 2 , 3 ）在 x 軸上方，

因此圖形與 x 軸會有 2 個交點。

2. 試求二次函數 y ＝ a （ x － h ）

的圖形與

交點個數。

上，因此圖形與 x 軸恰有一個交點。

1. y ＝ a （ x － h ） ²

＋ k 與 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形：

二次函數

y ＝ a （ x － h ） ²

＋ k

＋ bx ＋

a ＞ 0 a ＜ 0 a ＞ 0 a ＜ 0

圖形 拋物線

對稱軸

頂點座標 （ h , k ） (

, )

ba

2

4 4 

ba 2

a b ac4

4  ²

a b ac4

4  ²

開口方向

開口向 上 , 頂 點為最 低點

開口向 下 , 頂 點為最 高點

開口向 上 , 頂 點為最 低點

開口向 下 , 頂 點為最 高點 最大值或

最小值

最小值

k

最大值

k

最小值

最大值

a b ac

4

4 

ac

4

4 

2.

二次函數與兩軸的交點：

(1) 二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形與

(2) 二次函數 y ＝ ax

＋ bx ＋ c 的圖形與

判別

式

－ 4ac ＞ 0

－ 4ac ＝

0

－ 4ac ＜ 0

交點 坐標

交於兩點：

( , 0 ) ( , 0 )

交於一點：

( , 0 ) 沒有交點

a ac b

b 2²4



a ac b

b 2²4

 ba

 2

圖形

1-2 自我評量

1. 試求下列二次函數的最大值或最小值，並寫出 x

的值為多少時，會得到最大值或最小值。

(1)y ＝ （ x － 7 ）

(2)y ＝ 4 （ x ＋ ）

－ 3 4 3

∵ 4 ＞ 0 ，

∴ 函數在 x ＝－

時，

有最小值 y ＝－ 3

。

3 2

∵ ＞ 0 ，

∴ 函數在 x ＝ 7 時

，

有最小值 y ＝ 0

。

4 3

3 2

(3) y ＝－ 3x

＋ 24x － 46 (4) y ＝ x

－ 5x

＋ 4

y ＝－ 3 （ x － 4 ）

2 ＋ 2

∴ 函數在 x ＝ 4 時，

有最大值 y ＝ 2 。

y ＝（ x － ） ² －

∴ 函數在 x ＝ 時

，

有最小值 y ＝－

。

5 2

4 9 5 2

9 4

2. 描繪下列二次函數的圖形：

x …

…

y …

…

(1) y ＝－ 2 （ x ＋ 1 ）

…

…

x … …

y … …

(2) y ＝（ x ＋ 2 ）

－ 3

x …

…

y …

…

x … …

y … …

(3) y ＝ x

－ 2x － 1

x …

…

y …

…

(4) y ＝－ x 1 2

＋ 2x

… y …

…

… x

… y …

…

… x

2 3

2 3

0

2 2

1 3 4 0

3. 試寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐 標與對稱軸，並比較其開口大小：

甲： y ＝－ 5x

＋ 3 乙： y ＝ 2 （ x ＋ ）

丙： y ＝ 3 （ x － 2 ）

2

－ 6 丁： y ＝－ x

－ 6x ＋ 13

甲：頂點（ 0 , 3 ），對稱軸 x ＝ 0 （ y 軸）

。

乙：頂點（－ , 0 ），對稱軸 x ＝－

。

丙：頂點（ 2 , － 6 ），對稱軸 x ＝ 2 。 丁：頂點（ -3 , 22 ），對稱軸 x ＝－ 3 。 開口大小：甲＜丙＜乙＜丁。

1 2

1 2

2 1

4. 若二次函數 y ＝－ 5x

的圖形向左移動 4 個單位可得 y ＝ a （ x － p ）

的圖形，

試求 a ＋ p 之值。

∵y ＝ a （ x － p ） ² 的圖形由 y ＝－ 5x² 的圖形左移 4 單位而得，

∴a ＝－ 5 ，且頂點為（－ 4 , 0 ） 故 p ＝－ 4 ，

則 a ＋ p ＝（－ 5 ）＋（－ 4 ）＝－ 9

5. 若二次函數 y ＝－ 2x

的圖形移動可得 y ＝

＋ bx ＋ c 的圖形，且對稱軸為 x ＝ 3 ， 圖形又通過坐標平面上的點（－ 1 , 6 ），試 求 c 之值

且可由 y ＝－ 2x² 的圖形移動而得，

∴ 可將 y ＝ ax² ＋ bx ＋ c 寫成 y ＝－ 2 （ x － 3 ） ² ＋ k

又圖形通過（－ 1 , 6 ），

∴ 代入得 6 ＝－ 32 ＋ k ， k ＝ 38

故函數為 y ＝－ 2(x － 3)² ＋ 38 ＝－ 2x² ＋ 12x

＋ 20

對照原式得 c ＝ 20 。

6. 若二次函數 y ＝ 2x

＋ 2x － 1 的圖形與 x 軸交於 A 、 B 兩點，試求 。

令 y ＝ 0

∴2x² ＋ 2x － 1 ＝ 0 ， x ＝ 故 A 、 B 兩點分別為

（ , 0 ）﹑（

, 0 ）

則 ＝｜ － ｜＝ 。

AB

2 3 1 



2 3 1 

  1  2 3 2 3

1 

  1  2 3 3