國立高師大附中九十九學年度第一學期高一數學科第一次期中考試題

(1)

國立高師大附中九十九學年度第一學期高一數學科第一次期中考試題

一、多重選擇題：（每題6 分，共 24 分。每題全對得 6 分，只錯一個選項可得 3 分，

錯兩個或超過兩個選項不給分。）

1. 下列選項何者正確？

(A)

_{0.9 1} _

(B) 可化為有限小數 (C)

12  6  13  7

(D) 若

a b 

且

ab  0

，則1 1

b



a

(E)

₂

與

₃

之間有無限多個有理數。

2. 下列敘述何者正確？

(A) 若 a 為有理數，b 為無理數，則 a²＋b²為有理數 (B) 若

ab

、

b

a

均為有理數，則

^a

、

b

均為有理數

(C) 設

^a

為實數，若

_a

¹³與

_a

⁵均為有理數，則

_a

²必為有理數 (D) 設

^{a b} ^,

均為實數，若

_{a b} _ _{2 0} _

，則

a b   0

(E) 設

^{a b} ^,

均為有理數，

^{x y} ^,

均為無理數，若

a x b y   

，則

a b 

且

^x ^ ^y

。 3. 設二次函數

f x ( )  a x (  1)

²

 k

，其中

a k ,

為實數，若

f (2) 0 

，

f (3) 0 

且

( ) ( ) 0

f



 f





，則下列何者正確？

(A)

a  0

(B)

k  0

(C)

^f ^{( 2) 0} ^{ }

(D)

^f ^{( 4) 0} ^{ }

(E) 

  ⁰

。 4. 附圖中兩個函數圖形，分別為

f x ( )  x

ⁿ，

g x ( )  x

^m的圖形，

其中

^{m n} ^,

為自然數，下列有關圖形的特性，哪些是正確的？　

(A)

^{f x} ^{( )}

為奇函數　　　(B)

^{m n} ^

(C)

A

點坐標為

(1,1)

　 (D)

^{g x} ^{( )}

為嚴格遞增函數

(E)

g x ( )  x

^m的圖形向右平移2 個單位，再向下平移 5 個單位後會與

h x ( ) (  x  2)

^m

 5

的圖形重合。

二、填充題：（每題6 分，共 66 分）

1. 已知

^x

為實數且滿足

_x

²

_ ₄ _x _{ } _{1 0}

，則 ³ 1₃

x



x

 ______。

2. 若1

2  ，則

a

1

_a _ ₂ _a _{ } ₁ _a _ ₂ _a _ ₁

之值為______。

3. 設

^{a b} ^,

是正實數，

b

是

a

的小數部分，且滿足

_a

²

_ _b

²

_ ₂₀

，則

b 

______。

4. 設實數

^{x y} ^,

滿足

x   1 2

且

2 y   1 5

，若

xy x   3 y

之最小值為

^m

，則

^m ^

______。

5. 設

^x

為實數，若方程式

_x

²

_ ₂ _x _{ } ₁ _x

²

_ ₆ _x _{ } ₉ _k

無實數解，則

k

的範圍為______。

6. 某郊區有一筆直的路段上設有水廠與電廠各一座﹐其坐標如下圖所示：

水廠電廠

(2)

為了回饋沿路居民﹐水電的基本費計算方式為：「住戶到電廠距離的2 倍加上住戶到水廠的距離為該用戶的水電基本費。」試求：該路段基本費不超過15 元的區域範圍？

7. 設

f x ( )

是一線型函數，對任意相異實數

a b ,

均滿足

f a

( )

f b

( )

a b



 ＝ 3

 ，且2

f (1) 4 

，若

1 x 3

  

，且

f x ( )

的最大值為

_M

，則

_M _

______。

8. 有一拋物線形的拱橋（如圖）﹐已知此拋物線以過最高點的鉛直線為對稱軸﹐當水面在

l

線時﹐拱頂與水平面的距離為3 公尺﹐且水面寬度為 5 公尺。若水面下降1 公尺﹐則此時水面寬度為公尺。

9. 設二次函數

f x ( ) 2  x

²

 ax b 

的圖形通過點

(1,1)

且頂點在直線

y    4 x 7

上，則數對

( , ) a b 

。

10. 美術老師想將一個長度為 20 公尺的竹籬圍成一個長方形的區域﹐為求美感﹐設定長寬比例滿足1.5長 4

寬 ﹐則所圍區域的最大面積為。

11. 設

f x ( )  kx

²

 3 x  1

的圖形恆在直線

y  2 x  3

的下方﹐則

k 的範圍為。

三、計算證明題：（每題各5 分，共 10 分）

1. 試證明「算幾不等式」：「設

a b ,

皆為正實數﹐則 2

a b



ab

 ﹐其中等號成立時

a b 

。」

2. 老師出了一題算幾不等式，題目為「設

a b ,  0

, 求 1 1 ( )(2 )

a b

2

b a

  之最小值為何？」

小真解法如下：

∵ 1 1 2

a a

b b

   j

1 1

2 2 2

2 2

b b

a a

   k

兩式相乘①×② 得 1 1

( )(2 ) 4 4 2

a b a b

b a b a

     ,

∴ 最小值為 4.

請問小真的解法是否正確？（若解法正確，請說明理由。若解法錯誤，請說明錯誤之處並寫出正確答案。）

國立高師大附中九十九學年度第一學期高一數學科第一次期中考（答案卷）

(3)

高一班座號：姓名：

一、多重選擇題：（每題6 分，共 24 分。每題全對得 6 分，只錯一個選項可得 3 分，

錯兩個或超過兩個選項不給分。）

1. 2. 3. 4.

二、填充題（每題6 分，共 66 分）

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

1. 2.

國立高師大附中九十九學年度第一學期高一數學科第一次期中考（答案卷）

(4)

高一班座號：姓名：

一、多重選擇題：（每題6 分，共 24 分。每題全對得 6 分，只錯一個選項可得 3 分，錯兩 個或超過兩個選項不給分。）

1.

BDE

2.

C

3.

BCD

4.

CD

二、填充題（每題6 分，共 66 分）

1.

52

2.

2

3.

－2＋

4.

 21

5.

4 k 

6.

3 x 7

  

7.

7

8.

10 3 3 9.

( 8,7) 

10.

24

11.

1

k

 16

1. 2.

(1)小真的解法錯誤，說明錯誤之處(2 分) (2)正確答案9

2。(3 分)

國立高師大附中九十九學年度第一學期高一數學科第一次期中考試題

0.9 1 

12  6  13  7

a b 

ab  0

b

a

2

3

ab

b

a

a

b

a

a

a

a

a b ,

a b  2 0 

a b   0

a b ,

x y ,

a x b y   

a b 

x  y

f x ( )  a x (  1)

 k

a k ,

f (2) 0 

f (3) 0 

( ) ( ) 0

f

 f



a  0

k  0

f ( 2) 0  

f ( 4) 0  

  0

f x ( )  x

g x ( )  x

m n ,

f x ( )

m n 

A

(1,1)

g x ( )

g x ( )  x

h x ( ) (  x  2)

 5

x

x

 4 x   1 0

x

x

a

a  2 a   1 a  2 a  1

a b ,

b

a

a

 b

 20

b 

x y ,

x   1 2

2 y   1 5

xy x   3 y

m

m 

x

x

 2 x   1 x

 6 x   9 k

k

f x ( )

a b ,

f a

f b

_{0.9 1} _

₂

₃

^a

^a

_a

_a

_a

^{a b} ^,

_{a b} _ _{2 0} _

^{a b} ^,

^{x y} ^,

^x ^ ^y

^f ^{( 2) 0} ^{ }

^f ^{( 4) 0} ^{ }

  ⁰

^{m n} ^,

^{f x} ^{( )}

^{m n} ^

^{g x} ^{( )}

^x

_x

_ ₄ _x _{ } _{1 0}

_a _ ₂ _a _{ } ₁ _a _ ₂ _a _ ₁

^{a b} ^,

_a

_ _b

_ ₂₀

^{x y} ^,

^m

^m ^

^x

_x

_ ₂ _x _{ } ₁ _x

_ ₆ _x _{ } ₉ _k

_M

_M _

k 的範圍為。