三、平方根

三、平方根

在本章中，我們將介紹平方根及學習平方根的四則運算與根式中分母 的有理化，並介紹雙重根式的化簡。

3-1 認識平方根

b2 =a

對於一個正數a，如果b的平方等於a，即 ，我們就稱b是a的平方 根又稱二次方根。例如：3 的平方等於 9，所以稱 3 是 9 的平方根。另外，

因為( 3)− ²= 9，所以 3 也是 9 的平方根。由此，我們知道 9 的平方根有 3 和 3。

−

−

在國中階段，我們引進符號「 」，讀作「二次根號」，或簡讀作「根 號」，來表示一個正數的平方根：對於任何一個正數 a，

a(讀作根號 a)表示 a 的正平方根；

(讀作負根號 a)表示 a 的負平方根。

− a

2 及 −

例如：4 的平方根記作± 4，即 4 = − 4 = 2。也就是說，由平方根 的定義，

( a )

= a

( − a )

= a

中，我們稱 a 為被開方數。例如：

a 1

此外，在 的被開方數為 1，

而 1＝1； 9的被開方數為 9，而 9 =3。在本章中，除了在雙重根式的情 形外，我們所討論的被開方數均為非負的有理數。

【平方根的近似值】

如果 a 不是某一個整數的平方時，如何求出它的平方根所表示的值 呢？例如 2 不是某一個整數的平方，那麼，如何求出 2 的值呢？我們先 由下列三個面積分別為 1、2 和 4 平方公分的正方形來說明：

1 2

1 2 4 2

我們可看出這三個正方形依其面積的大小，由小至大依序排列，因此，它 們的邊長的大小順序也應相同。因為這三個正方形的邊長分別為 1 公分、

的值應介於 1 和 2 之間，即 1< <

公分和 2 公分，所以， 2。

2 2 2

若想進一步知道 2的值為何，我們可以將 1 和 2 之間作十等分，依 序可得 1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8 和 1.9，並分別計算其平方：

( )

12 =1<2 >

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

22 =4>2

我們可看出

( )

( )

若再將 1.4 和 1.5 之間作十等分得 1.41，1.42，1.43，1.44，1.45，1.46，

1.47，1.48 和 1.49 等九個二位小數，那麼， 2 又介於哪兩個小數之間呢？

事實上，由

(

)

(

)

(

)

(

)

可看出 ，因此 2

1.41< 2 < 1.42。

依照上面的方法繼續做下去，我們知道 1.414< 2 <1.415，…，進而算出 1.4142135< 2 < 1.4142136。

2 的近似值到小數第二位，那麼就依上 如果我們想用四捨五入法取

面的方法算到小數第三位，然後再用四捨五入法取捨即可。也就是說，因 為 1.414< 2 < 1.415，所以取到小數第二位時， 2 的近似值為 1.41，記 作 2 ≒1.41（讀作根號 2 約等於一點四一）。事實上，依這樣的步驟且取 越多的小數位數時，我們所算出的近似值越接近 2的值。

的近似值的過程中，我們 在上面求 2

也可以用數線來說明。我們首先算出 2 介於 兩個連續整數之間，即 1< 2 < 2，或者說，

在數線上， 2 的位置在 1 和 2 之間；接下來 把 1 和 2 之間分成十等分，然後得出 2 在 1.4 和 1.5 之間；再把 1.4 和 1.5 之間分成

介於 1.41 和 1.42 之間，…。

1.41 1.42

1.4 1.5

0 1 2

1 ^{1.4 1.5} 2

十等分，並得出 2

事實上，我們可將這樣逼近的過程看成是在數線上，利用「十等分」

的方法逐漸接近 2的位置，因此稱這樣的方法為十分逼近法。

【範例 1】 以十分逼近法求 3的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。

< < ，因此 1< <

12 =1

【解】 由 和2² =4，可得 1² 3 2² 3 2。

( )

將 1 和 2 之間作十等分並計算 ，

( )

下：

( )

( )

( )

( )

( )

= <

( )

( )

>

( )

( )

>

( )

< <

因此，1.7 3 1.8。依題意，我們再將 1.7 和 1.8 之間作十等 分，並計算

(

)

(

)

( )

1.71 ² =2.9241 3< ，

(

)

( )

1.72 ² =2.9584<3，

(

)

< < 1.74。因此，依題意取到小數第一位時，

所以，1.73 3

≒1.7。

3

在範例 1 求 3的過程中，當已知 3介於 1 和 2 之間後，我們可先比 較

( )

( )

( )

(

)

( )

【類題練習 1】試以十分逼近法求

5

事實上，除了利用十分逼近法之外，我們也可以用開方表或計算器來 求得正數的平方根較準確的近似值。

我們再來看畢氏定理（又稱商高定理）和平方根的關係。由畢氏定理，

我們知道：

任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。

也就是說，若直角三角形的兩股長分別為 a、b，斜邊長為 c，那麼

2 2 2

a +b =c²，或c= a +b² 。

【範例 2】 在方格紙上，利用直角三角形，畫出一條長為 5單位的線段。

【解】 因為1² +2² =( 5)²，所以，兩 股長分別為 1、2 的直角三角 形，它的斜邊長即為 5。

A

B

C 因此我們只需在方格紙上畫出

兩股長分別為 1 和 2 個單位長 的 直 角 三 角 形 ΔABC ， 如 右 圖，那麼其斜邊 AC 即為 5 個 單位長的線段。

2

1 ⁵

【類題練習 2】在方格紙內，利用直角 三角形畫出長度分別為

個單位長的 10和 13

線段。

【想想看】給定一個正整數 n，如何利用尺規作圖畫出一條 n 個單位長的

線段？

(提示：1²+ =1² 2，1²+( 2)² =3，1²+( 3)²= ，…) 4

【範例 3】(1) 已知某直角三角形中，兩股長分別為 5 和 12，求斜邊長。

(2) 已知直角三角形的一股長為 4，斜邊長為 7， 求另一股長。

c= a2+b² a=5 b=12

【解】 (1) 由 ，設 ， ，所以斜邊長

2 2

5 12 169 13

c= + = = 。

b= c2−a² (2) 設一股長 a 為 4，斜邊長 c 為 7，由 ，

2 2

7 4 33

= − =

b 。

可得另一股長

【類題練習 3】(1) 已知某直角三角形中，兩股分別為 2 和 5，求斜邊長。

(2) 已知直角三角形的一股長為 5，斜邊長為 8，

求另一股長。

【重點整理】

1. 每一個正數有兩個平方根，負數沒有平方根，而 0 的平方根就 0。

2. 我們可以用十分逼近法來求出平方根的近似值。

3. 已知直角三角形任意二邊的邊長時，可以利用畢氏定理求得第三邊的 邊長。

【家庭作業】

基礎題

1. 3 −2 是正數還是負數？

2. 7介於哪兩個連續整數之間？

3. 以十分逼近法求 13的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。

4. 引用畢氏定理的概念，繪出一條 11個單位長的線段。

5. ○¹ 已知某直角三角形中，兩股分別為 5 和 9，求斜邊長。

○² 已知直角三角形的一股長為 5，斜邊長為 14，求另一股長。

3-2 平方根的運算

【平方根的乘法與除法】

我們首先來看如何做平方根之間的乘法及除法運算。假設 a≥ 0、b≥ 0。

因為

( a× b)2 = ( a× b) (× a× b) ( a× a) (× b× b)

=

2 2

( a) ×( b)

=

ab，

= ( ab)2 = ab，所以 由定義我們知道

a× b = ab 。

2

2

1 1 1 1 1

( ) b

b = b× b = b = 1 ² 1

( ) b = b

此外，假設 b 0，由> ( ) ，且 ，我們知

道 1 1

b = b。同樣的，我們可以得到

a÷ b a b

a b。

= =

2× 3 2+ 3

在數學上，我們稱含有根號的算式為根式。例如： 、

1

2− 3 a的數也稱為根式。

和 都是根式。事實上，形如

【範例 1】計算下列根式：

1 4 5× 45 (1) 3× 12 (2)

18 2

6 2 5 ÷ 1 (3) (4)

5

【解】 (1) 3× 12 = 36 = 6 1 45 1 45 9 5× 4 = 5× 4 = 4 = 3 (2) 2

18 18

9 3 2 = 2 = = (3)

6 2 6 2 6 15

9 3 5 ÷ 15 = 5÷15 = 5× 2 = = (4)

【類題練習 1】計算下列根式：

27 2 8 × 3 (1) 5× 20 (2)

75 3

15 3 4 ÷ 5 (3) (4)

【最簡根式】

當一個整數 a 為某個整數的平方時，我們就稱 a 為完全平方數，也叫 做平方數，例如：81=9²，所以 81 為完全平方數，因此 81= 。另外，9 當被開方數是整數，且不是一個完全平方數時，我們可利用數的標準分解 式及平方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡 360 時，我們先把 360 寫 成標準分解式：

360=2³× × =3² 5 (2 3)× ²× ×2 5， 再化簡得到

= 。

360 (2 3)× ²× × =2 5 6 10

為方便以後做同類根式的加減運算，當被開方數為有理數時，我們 通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。例如：我們會將平方根

8 2 2

3 = 3 改寫成下列的形式：

2

2 2 2 2 3 2 6 2 6 3 3 3 ( 3) 3

= × = =

×

2 6 3 ）

（或

p n q p n

q ^或

也就是說，習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成 的

形式，其中 p

q 為最簡分數，n 為大於 1 的整數，並且不能被任何大於 1

的整數的平方整除，我們稱這種形式的根式( p n

q p n

q 或 )為「最簡根

式」。例如： 2

3 6

8

6 10和 都是最簡根式，但 360和 3就不是最簡根式。

我們稱將平方根化成最簡根式的過程為「平方根化簡」。

【範例 2】 將下列根式化為最簡根式：

45 (1) 12 (2) 63 (3) 2

12= 4 3× = 22× 3=2 3

【解】 (1)

63= 9 7× = 32× 7 =3 7 (2)

45 45 32 5 2 3 5 2 3

2 2 2 2 2 10

× × ×

= = = =

(3) ×

2

【類題練習 2】將下列根式化為最簡根式：

27 2

75 (1) 24 (2) 180 (3) (4) 7

當兩個根式經過化簡後，如果在它們的最簡根式的根號內有相同的

被開方數時，我們就稱這兩個平方根為同類方根。例如： 1

2 3 、 3（可化簡

為 3 3

3 6

2 = 2 就不是同類方根。

− 3 3

）和 都是同類方根，但 與

做根式的加減計算時，我們通常會將式中的每一項化為最簡根式，

再將同類方根合併。往後我們所稱的根式化簡是指將結果以最簡根式的形 式表示。

【範例 3】化簡下列根式：

(1) −3 2+2 3+7 2 −6 3 (2) − 12 +4 3+ 75− 18

3 3 1

2 + 4 + 54+ 3 (3)

【解】 (1) 3 2 2 3 7 2 6 3− + + − = ( 3 7) 2− + +(2 6) 3− 4 −4

= 2 3

(2) − 12+4 3+ 75− 18 = 2 3 4 3 5 3 3 2− + + −

= 7 3 3 2−

3 3 1

2 + 4 + 54+ 3 3 2 3 3 6 3

3 3 2 2 2

× + + +

× ×

(3) =

6 3 3 6 3

2 + 2 + + 3

=

6 3

2 6

7 ₊5

=

【類題練習 3】化簡下列根式：

(1) 4 6 8 3 7 6− + −4 3 (2) 3 5+6 3− 45+ 75 5 7 60 1

3+ 16+ + 7 (3)

現在來看看如何做根式的乘積展開。事實上，我們常利用乘法公式

(a b c d+ )( + )=ac ad+ +bc bd+ 來展開形如

( a+ b)( c + d) 根式乘積的算式。

【範例 4】化簡下列根式：

(1) ( 2+ 3)( 6+ 3) (2) ( 7+ 2 ) ( 7− 2 )

【解】 (1) ( 2+ 3)( 6+ 3)= 2× 6+ 2× 3+ 3× 6+ 3× 3

= 12+ 6+ 18+3

=3 3 2+ +2 3+ 6 (2) 利用平方差公式，可得

( 7+ 2 ) ( 7− 2 ) =( 7)² −( 2)² 7−2 5。

= =

【類題練習 4】化簡下列根式：

(1) ( 2+ 5)( 3+ 75) (2) ( 3 1) ( 3 1)+ −

【根式分母的有理化】

在根式中，如果分母含有根號，我們通常會將運算結果寫成分母不含

有根號的形式。例如： ^{2 2 5 2 5} 5 5 5 5

= × =

× ， ^{3 3 24 3 2 6 6}

24 4

24 24 24

× ×

= = =

× 。

如果根式的分母為兩項式且含有根號時，我們可以利用等值分數的概 念和平方差公式，來將根式化成分母不含有根號的形式。例如；在 1

2+1 2 1− ，即可得到

中，若對分子、分母同乘以

1 ( 2 1) ( 2 1)( 2 1)

× −

+ −

1

2 1+ ^{2 2}

2 1 ( 2 ) 1

−

= = −

2 1 2 1

−

= −

= 2 1− 。 我們再用下面的例子來說明。

【範例 5】將下列各式化為分母不含根號的根式：

1 2+3

1 3− 2 (2)

(1)

1 2+3

1 ( 2 3) ( 2 3)( 2 3)

× −

+ −

【解】 (1) = (同乘以 2−3)

2 2

2 3 ( 2) 3

−

= −

2 3 2 9

−

= −

3 2 7

= −

1 3− 2

1 ( 3 2) ( 3 2)( 3 2)

× +

− + (同乘以

(2) = 3+ 2)

2 2

3 2 ( 3) ( 2)

+

= −

3 2

3 2 +

= −

= 3+ 2

我們稱將根式化為分母不含根號的形式的過程為分母的有理化。

【類題練習 5】有理化下列各根式：

1 5+ 2

2 15−3 (1) (2)

1 1 2

− 2

【範例 6】有理化 。

2 2

(1 )(1+ )

2 2

− ¹

2 2 2

1 ( )

− 2 2

−4

【解】 因為 = =1 = ，

1 2 2 1 2 1 (1 ) +

(1 2)(1 ) 2 2

2

× +

− +

2(1 2) 2 + 1

1 2

− 2

所以 =

2 2

= = = 2+ 2 。

在範例 6 中，我們也可以將分子、分母同乘以 2，來將原根式化為 2

2− 2 後，再做有理化。

1 1 3

− 2

【類題練習 6】有理化 。

【雙重根式的化簡】

3 2 2+

有時候，算式中會有形如 含有雙重根號的根式，我們稱這種形

式的根式為雙重根式。事實上，我們可以嘗試利用完全平方公式，來做雙 重根式的化簡。我們先以下面的範例來說明，再加以延伸。

【範例 7】展開下列各式：

)2

( a + b ( a− b)² (1) (2)

2 2

2 ( ) 2 ( )

)

( a + b = a + ⋅ a⋅ b + b

【解】 (1)

b ab a+ 2 +

=

ab b

a ) 2 ( + +

=

2 2

2 ( ) 2 ( )

)

( a− b = a − ⋅ a⋅ b+ b (2)

b ab a− 2 +

=

ab b

a ) 2 ( + −

=

我們觀察到：如果設 a 2，b 1，那麼= = ( 2 1)+ ² =(2 1)+ +2 2= +3 2 2， 所以 3 2 2+ = 2 1+ 。

a

a

=

事實上，由平方根的性質，我們知道

a2 = a。所以，我們先設 a、b 為兩個非負的數，且 來討論雙重根式 的化簡過程：

b a≥

ab b

a b

a ) ( ) 2

( ± ² = + ± 由

b a ab b

a+ )±2 = ± 可得 (

b a y

x± 2 = ±

也就是說，如果 ，(其中a≥b)，則

x = a + b

y = ab

我們可以利用這個規則，試著作以下雙重方根的化簡。

【範例 8】化簡下列各式：

7 2 10− (2) 8+ 28 (1)

7 4− 14 8 3− (4) (3)

5+ −2 2 5 2× 7 2 10−

【解】 (1) =

= 5− 2

(a b+ ±) 2 ab

(2) 根式中雖然沒有 的形式，但是 28=2 7， 所以可以嘗試做化簡。

8+ 28 = 8+2 7

7 1 2 7 1+ + ×

=

= 7+ 1 = _{7 1+}

14 8 3− 14 2 48− (先將

(3) = 8 3化成2 48) 8+ −6 2 8 6×

=

= 8− 6 =_{2 2− 6}

7 1 2 7 1 2 + − × (4) 4− 7 8 2 7

2

− 7 1

2

−

= = =

2( 7 1) 2 2

−

×

14 2 2

= = −

由範例 8，我們觀察到：做雙重根式化簡時，可嘗試先將根式化成 (a b+ ±) 2 ab 的形式後，再做化簡。

【類題練習 7】化簡下列各式：

7+2 12 (2) 12−4 5 (1)

7+ 4 3+ 5

(3) 0 (4)

b a ab b

a+ )±2 = ±

( 中，為什麼要假設a≥ ≥b 0？

【想想看】在

【重點整理】

1. 假設 a 0、b≥ ≥0， a× b = ab。

2. 假設 a 0、b 0，≥ > a÷ b a b

a

= = b。

p n q

p n

3. 我們可以將一個正有理數的平方根改寫成形如 或 q 的最簡

根式，其中 p

q 為最簡分數，n 為大於 1 的整數，並且不能被任何大 於 1 的整數的平方整除。

±2 = ±

x y a x= +a b y=ab

4. 如果 b，(其中a≥ ≥b 0)，則 ， 。

【家庭作業】

基礎題

1. 化簡下列各式：

2 6

5

○¹ 162 ○² 250 ○³ ○⁴ 6 2. 化簡下列各式：

3 1 50× 52 7 1

12 × 210

○¹ 3× 18 ○² ○³

3 3

5 ÷ 7 2

11 ÷ 441

○⁴ ○⁵

3. 化簡下列各式：

○¹ 6( 18− 15) ○² −4 5+6 3+ 5−3 3

○³ 84 − 54− 32− 18 ^○4 ( 95+ 35)( 95− 35)

○⁵ ( 67+7)( 67−7) ○⁶ (2 5+3)(2 5−3)

4. 化簡下列各式：

8 2 12− 9+2 14

○¹ ○²

5− 24 18 8 5−

○³ ○⁴

1 2+ 1

4 3− 5

○⁵

1

○⁶ 2

7− 5

29 7−6

○⁷ ○⁸

進階題

5. 化簡下列各式：

14 2 48 2

− 3 2

3 2

−

○¹ ○² +

1 1 3

− 2 1 2 2

+3

○³ ○⁴

1 2 2

− 2

○⁵

1 3 2 a−

6. 已知 11的小數部份為 a，求 的值。