美國各州共同數學課程標準 單維彰

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SCIENCE MONTHLY 2013.9

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美國各州共同數學課程標準

單維彰

家都知道《三國演義》是這樣開場的：

「 話 說 天 下 大 勢， 分 久 必 合， 合 久 必 分。」讓人沒想到的是，這一句話也應驗在 教育領域。在美國，教育向來是州政府的職 權，而各州傳統上都有獨立的課程綱要與評 量 標 準。 但 是 現 在， 美 國 不 但 在2010 年提 出 了 一 套 稱 為CCSS（Common Core States Standards）的文件《各州共同核心標準》，並 且將從2014 年起實施各州一致的評量。

依據美國憲法，聯邦政府不能干預各州 的教育。所以，美國總統及教育部長都澄清 自己樂觀其成的立場，宣稱這是各州自發的行 動。但是這種政治語言的澄清只是說明「此地 無銀三百兩」而已，聯邦政府運用各種威逼利 誘的手段，要求各州就範。我們之所以說「各 州」而不敢說「全國」，就是因為目前還有四 個州抵抗，不肯加入：阿拉斯加、德州、內布 拉斯加、維吉尼亞。

本欄在一年前（101 年 9 月）就提到了 CCSS 文件。當時說過，它的副標題很務實，

甚至務實得看起來像廣告：College and Career Readiness（為大學與職場做好準備）。這個 副標題，很能讓我們了解這套課程標準的設 計宗旨。CCSS 將核心課程分成兩個領域，第 一個領域就是他們的「國文」，分別針對聽說

讀寫設定能力標準，並在內容上設計一定比 例的知識性文本（non-fiction）；其文件標題 包 山 包 海：English Language Art and Literacy in History/Social Studies, Science, and Technical Subjects。第二個領域的文件標題就只有一個 字：Mathematics（數學）。

關於美國CCSS 的全方位探究，我國駐 美代表處教育組張佳琳副組長有一篇精彩的 報導。我們這篇短文簡要報導K~8 年級的數 學共同標準；所謂K 就是幼稚園大班（進小 學前一年），1~5 年級是（美國的）小學階段，

6~8 年級是國中階段。高中階段（9~12 年級）

的數學課程以後再說。

CCSS 數學標準具體展現了比爾蓋茲的三 字 真 言：Fewer, Clearer, Higher（少一點，清 楚一點，高一點）；前兩個字或許可以翻譯 成「精要」。除了這三項要領，文件的序言 更宣稱它具備Coherence；我們不該含糊地將 coherence 翻譯成一個名詞，它有雙重意涵：

既要各部分清楚而合邏輯地互相關連，也要在 整體上呈現一致的目標或性質。我認為CCSS 數學標準認真考慮了上述四項設計要領的每 一項。

以「機率統計」為例，在國中小階段，

僅列於6、7、8 年級而且著重於「統計思維」，

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科學月刊 第四十四卷第九期

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至於「不確定性」的機率概念是以一種「數學 模型」的方式導入。這套課程認為數據分析應 優先於機率的概念與操作。在幼稚園和一年 級，固然都有將物件或事件分類並計算總量的 教學活動，但它們被列在「測量與資料」內容 向度，而非統計。我猜，他們如此細分內容向 度的名稱，是「必也正名乎」的作法：強調統 計要教的是它的思維方式，而機率要教的是不 確定性。這兩者，都從小學抽離，使得小學教 師只須單純地教導分類、計數、整理與呈現資 料即可。

統計思維從六年級正式開始，此時的內 容基本上就是一維數據分析，包括數線上的散 佈圖，直方圖，以及認識資料的集中或分散情 形。七年級開始了基本的隨機抽樣活動，並試 著從樣本推論母體的性質；並沒有正式介紹信 心水準。然後，根據兩個群體的同類數據，例 如兩個年級學生的身高，經由觀察數據或散佈 圖來比較兩群之間的異同。最後，藉由數據的 次數比值引出機率模型，並發展基本的古典機 率。八年級學習二維數據分析，包括坐標平面 上的散佈圖，回歸直線的意涵與應用，在具有 線性關係的散佈圖上非正規地找到最適直線，

並了解其斜率與截距的意義，非正規地推論兩 組數據的相關性。

在「幾何」內容方面，CCSS 數學課程的 設計總是讓平面與空間的觀念與操作比肩共 進。除了在三、四年級偏重平面圖形而沒有對 應的空間觀念以外，從K 到八年級的每一年 都同時有平面和空間的幾何課題。以八年級為 例，CCSS 規劃了三角形內角和、外角和，以 及畢氏定理，還有（直）圓柱、圓錐和球的體 積，並強調能夠用來解決實際的問題。

在「度量衡與時間」方面，CCSS 的內容 相當簡要。一年級發展測量長度的觀念，能對

整點與半點的時間報時。二年級學著用標準的 單位（英吋、英尺、碼、公分、公尺）測量長 度，特別要做同一個物件被兩種單位測量的活 動，要能以五分鐘的間隔報時，並有上、下午 的說法。三年級學習重量和容量，但是僅針對 少數常用的單位，能以一分鐘的間隔報時，並 學習同量級內的加減計算。四年級學習跨量級 的計算（包括英尺和英吋、盎司和英鎊、毫升 和公升、公里公尺和公分、時分秒），並用以 解決情境問題。五年級把前述能力擴展到分數 和小數，度量衡與時間的課程到此為止。

數線的認識從二年級開始，不但要在數 線上標示0, 1, 2, ……，還要能在數線上表示 100 以內兩個全數的和、差。然後，在三年級 就開始學習分數，先在數線上標示單位分數 1/b，然後推及 a/b，其中 a 和 b 都是正整數。

既然已經把分數標示在數線上，立刻就學了 分數的比大小。至於等值分數、以通分比較 分數的大小，以及分數的簡單加減計算（容 易通分的）和分數乘以正整數，都在四年級。

而五年級則延續學習更為一般的分數加、減、

乘計算，以及除數是正整數或單位分數的除法 計算。五年級介紹了直角坐標平面，但只有第 一象限，而且僅限於認識點與坐標的對應。到 了六年級才學習完整的（正）分數除法運算，

並統整認識負整數、負分數、以及坐標平面的 四個象限。真正的負數計算，包括

a ＋ ( － b)

＝

a － b 與 a － ( － b) ＝ a ＋ b，到了七年級

CCSS 建議以直接的計算經驗，推論有理數的 十進制數值可能是無窮循環小數，同時就教學 生如何將無窮循環小數的有理數轉換成分數 形式。

小學低年級的核心數學必然是十進制數

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任教中央大學數學系 字的位值觀念及搭配位值的四則算法，CCSS

文件對此有細緻的安排。舉其要者，他們把

「唱數」和「計算」拆開來處理；例如，在幼 稚園要能從任一個全數開始向上數到一百（幼 稚園就學習0），但在計數上，只要求數出廿 以內的物件，能寫出0 到 20 之間的數字，用 廿以內的二位數認識位值，能以不只一種方法 拆開十以內的數，並能湊十。發展到二年級，

已經可以兩兩數（奇偶觀念）、五五數（5 的 乘法）、十十數和百百數至千以內的數，但是 在計算上仍只強調百以內的加減，並在廿以內 發展乘法觀念。值得注意的是，CCSS 要求學 生在二年級結束前，能背誦九九加法表，熟練 地心算廿以內的加減。三年級同時進乘法和除 法，乘法僅限一位數乘以一位數，或者乘數為 十的倍數，而除法則以乘除互逆呈現；CCSS 要求學生在三年級前，能背誦九九乘法表。前 面提過，在三年級學習除法之後，就學習單位 分數了。

以上簡略的檢視，大家都會發現，數學 課程要求認識大數，卻不必計算大數。這顯然 是因為美國的學校使用計算器。事實上，2014 年起實施的各州共同評量，將是線上測驗，學 生將能在受測時使用一定的計算輔助工具。為 了實施線上測驗，課程標準衍生了對於學校資 訊設備與網路頻寬的硬體標準，教科書與軟體 公司也有很多事情要忙；這可能就是比爾蓋茲 經常被提起的原因了。

科技工具不只給學生當作計算工具，也 用來輔助教學。例如，在八年級教導「全等」

觀念時，課程標準指定用電腦工具展現平移、

旋轉、鏡射等剛性映射，藉以了解全等；然後，

用zoom in 和 zoom out 了解相似。

讀到這裡，有沒有如芒在背的感覺？美 國這樣一個講究個人差異與多元價值的國家，

真的能實施全國性的課程嗎？從加州經猶他 和愛荷華到麻州的全國孩童與青少年，真的能 夠一致跟上意圖這麼「High」的課程嗎？最根 本的問題是，美國對於亞洲的崛起，真的感到 這麼強烈的危機嗎？這份文件對年輕人釋放 的訊息是：「好日子快要過完了」，但是從它 受到教育界、學術界、企業界、甚至國防部的 讚頌背書看來（當然也有反對聲音），他們是 玩真的：文件裡說這份標準是「我們意欲信守 的承諾」（promises we intend to keep）。

教育學者都知道，美國的數學教育曾經 完全走錯了方向，徹底失敗。美國人針對他們 自己的問題，反省之後提出更弦之策，是他們 的國內事務，跟我們未必相干。只可惜，地球 是「平的」，像美國這樣史無前例的大動作教 育興革，世界各國不可能無動於衷。事實上，

英國和德國的最新課綱都已經受到美國這份 標準的影響。美國學者不一定最有智慧，他們 的方法不一定能解決我們的問題，但是美國仍 是資源最豐富的國家，這一份CCSS 數學標準 可能是以空前的智力、財力、與行政力創造的 結果，絕對值得我們認真考察。

參考資料

1. Common Core States Standards: Mathematics, http://www.corestandards.org/Math

2. 張佳琳，〈美國國家課程時代的來臨：各州 共同核心標準之探究〉，《教育研究與發展期 刊》9 卷第 2 期 1-32，2013 年 6 月。