2.1 邏輯、集合與計數原理 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：邏輯
1.敘述：指可以判斷為對(成立)或錯(不成立)的語句，稱為敘述敘述敘述敘述(statement)
2.複合敘述：利用「或」與「且」連結兩個敘述，稱為複合複合複合敘述複合敘述敘述(compound statement) 敘述 (1)敘述「P 且 Q」成立的意義是 P，Q 兩者都成立
(2)敘述「P 或 Q」成立的意義是 P，Q 至少有一個成立 3.真值表：(真假表，true and false)
設 P、Q 為兩個敘述，P∨Q ≡ P 或 Q，P ∧Q ≡ P 且 Q P Q P ∨ Q P ∧ Q 註
T T T T
F T T F
T F T F
F F F F
T：成立 true F：不成立 false
註：有些數學式的意思是指一個含有「且」與「或」的敘述，如：
(1)ab≠0意思是指a≠0且b≠0 (2)ab=0意思是指a=0或b=0 (3) 1＜x＜2 意思是指 1＜x 且 x＜2 (4)x≥3意思是指 x＝3 或 x＞3
4.否定敘述：與敘述 P 相反的敘述，稱為 P 的否定敘述，記為～P，讀作非非非非 P
註：當 P 為對的敘述時，～P 就是錯的敘述；反之，當 P 為錯的敘述時，～P 就是對的敘述 5.複合敘述的否定敘述：設 P，Q 為兩個敘述，則：
(1)「P 且 Q」的否定敘述為「～P 或～Q」，即～(P∧ Q) ≡ (～P) ∨ (～Q) (2)「P 或 Q」的否定敘述為「～P 且～Q」，即～(P∨ Q) ≡ (～P) ∧ (～Q)
例 1.1：判斷下列各敘述的對錯：
(1) 5＞2 (2) 5＞7
例 1.2：判斷下列各複合敘述的對錯：
(1) 5＞2 且 5＞7 (2) 5＞2 或 5＞7
◎否定敘述
例 1.3：試寫出下列各敘述的否定敘述：
(1)數學及格且英文及格 (2)想吃蘋果或想吃橘子
重點 2：集合(set)、元素(element)
1.意義：將一群事物(研究的對象或內容)組成的一個整體，稱為一個集合集合集合集合。一般以英文字大寫 A、B、…、S 表示 2.元素：組成集合的成員稱為元素元素元素，一般以英文字小寫 a，b，c，…表示 元素
3.集合與元素的關係：
當 a 是集合 S 的元素時，稱 a 屬於 S，記作 a∈S 當 a 不是集合 S 的元素時，稱 a 不屬於 S，記作 a∉S
註：集合 S 的元素個數，以S或 n(S)表示。元素個數為有限個的集合，稱為有限集合有限集合有限集合有限集合 4.集合表示法：
集合常用列舉法、描述法兩種方法來表示
(1)列舉法：將集合的元素列舉在一個大括號內，型如：S＝{a，b}
(2)描述法：在大括號內以一個符號代表元素，再加一直槓，並描述元素的性質描述元素的性質描述元素的性質描述元素的性質，型如：S＝{xx 為整數}
(3)文氏圖：將平面的一個區域圍起來以表示集合
註：文氏圖(Venn diagram)是英國的邏輯學家文恩(John Venn，1834～1923)首先引用 5.空集合：不含任何元素的集合，稱為空集合(empty set)，記作∅，即∅＝{ }
例 2.1：試寫出下列各集合：
(1)試表示在 1 到 1000 的整數中，3 的倍數所組成的集合 (2)試表示方程式 x3－1＝0 的解所組成的集合
重點 3：集合的相等、子集(部分集合)(subset)
1.集合的相等定義：兩集合 A，B 有相同的元素，則稱 A 和 B 相等，記為 A＝B
註：集合的元素，其排列順序不重順序不重順序不重順序不重要，重複的元素也視為同一個，即「順序不重要順序不重要順序不重要順序不重要」，「重複無效重複無效重複無效重複無效」」」」。
2.子集的定義：
集合 A 的元素都是集合 B 的元素，則稱 A 是 B 的子集(或部分集合)，如右圖 記為 A⊂B，讀作「A 包含於 B」或「B 包含 A」
3.子集的性質：
(1) A⊂A (2) ∅ ⊂A (3)若 A⊂B 且 B⊂A，則 A＝B。反之亦然 (4)若 n(S)＝k，則集合 S 的子集共有2 個 k
4.數系(正整數 N、整數 Z、有理數 Q、實數 R 與複數 C)的關係為：N⊂Z⊂Q⊂R⊂C
例 3.1：試判斷下列各題之集合是否相等？
(1)A＝{1，3}，B＝{x x2－4x＋3＝0}
(2)A＝{2，3，5}，B＝{3，5，2}，C＝{3，3，5，2，2}
(3) A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，4，5}
例 3.2：試列出集合 S＝{a，b，c，d }的所有子集，並計數共有多少個子集？(HBE2)
B A
重點 4：集合的運算及其性質
1.聯集：兩集合 A，B 的聯集定義為 A∪B＝{ x x∈A 或 x∈B}，即 A，B 所有元素所組成的集合 2.交集：兩集合 A，B 的交集定義為 A∩B＝{ x x∈A 且 x∈B}，即 A，B 共同元素所組成的集合 3.差集：兩集合 A，B 的定義為 A－B＝{ x x∈A 且 x∉ B}，即在 A 中但不在 B 中的元素所成的集合
兩集合 A，B 的定義為 B－A＝{ x x∈B 且 x∉ A}，即在 B 中但不在 A 中的元素所成的集合
4.宇集：討論集合時會預設此集合的大範圍稱為宇集，以 U 表示 5.補集：集合 A 的補集定義為 A′＝{ x x∈U 且 x∉ A}＝U－A 6.笛摩根定律
(1) (A∩B)′＝A′∪B′ ( P 且 Q 的否定敘述為～P 或～Q ) (2) (A∪B)′＝A′∩B′ ( P 或 Q 的否定敘述為～P 且～Q )
7.積集合：兩個集合 A，B 的積集合，定義為 A×B＝{(a，b)a∈A 且 b∈B}
即 A 的任一元素配上 B 的任一元素所成的序對序對序對序對，都是 A×B 的元素。且 n(A×B)＝n(A)×n(B)
例 4.1：設宇集 U＝{n |1 ≤ n ≤ 10，n 是整數}，A＝{2n |1 ≤ n ≤ 5，n 是整數}，B＝{3n |1 ≤ n ≤ 3，n 是整數}，
試求下列各集合：
(1) A∩B，A∪B，A－B，(A∩B)′ (2) A′，B′，A′∩B′，A′∪B′
◎積集合
例 4.2：設兩個集合 A＝{2，3}，B＝{5，7，9}，試求 A×B。
A B B
A A B A B
B－A A
U
A′
U－A
重點 5：計數原理
1.意義：計算有限集合中的元素個數的方法有窮舉法、樹狀圖等 2.方法：
(1)窮舉法：將集合的元素一一列舉出來，再計算其個數，稱之為窮舉法窮舉法窮舉法窮舉法 (2)樹狀圖：分類窮舉法，畫出樹狀圖以便幫助思考，有助於釐清思緒
例 5.1：要設定一個三個數字的密碼，且每一個數字只能使用 0 或 1。最多可設定出幾種不同的密碼？
例 5.2：數線上的 1，2，3，4，5，6 六個點，兩兩配一組。各組兩點間的距離恰好是 2，3，4 各出現一次。
試問有幾種配對方法？
重點 6：計數原理
1.計數原理有加法原理、乘法原理兩種。
2.加法原理：其計數其計數其計數要點就是分類其計數要點就是分類要點就是分類 要點就是分類
若完成一件工作的方法，可分成 k 類，各類之間都沒有重複的情形，且第 1 類有n1種方法，第 2 類有n2種方法
，…，第 k 類有n 種方法，則完成這件工作的方法共有k n1＋n2＋…＋n 種 k
3.乘法原理：其計數其計數其計數原理的精神是一步一步各個擊破其計數原理的精神是一步一步各個擊破原理的精神是一步一步各個擊破 原理的精神是一步一步各個擊破
若完成一件工作的方法，可依序分成 k 個步驟，且完成第一個步驟有 n1種方法，…，完成第 k 個步驟有 nk種方法，
則完成這件工作的方法共有n1×n2×…×n 種 k
◎
◎
◎
◎加法原理加法原理加法原理加法原理
例 6.1：設由甲地到乙地可以走陸路，海路，空路。陸路有 2 條路線，海路有 3 條路線，空路有 2 條路線，則甲地到乙地 共有多少條路線？
例 6.2：小璿、小芬各擲一顆骰子，點數和大於 8 有多少種情形？
A B C
例 6.3：如圖，每一小段的長度是 1。問有多少個大大小小長寬比為 1：2 或 2：1 的矩形？
◎
◎
◎
◎乘法原理乘法原理乘法原理乘法原理
例 6.40：臺北到臺中有 4 條路線，臺中到高雄有 3 條路線，則臺北經臺中到高雄共有幾條路線？
例 6.4：要設定一個五個數字的密碼，且每一個數字只能使用 0，1 或 2。則：
(1)最多可設定出幾組不同的密碼？
(2)有多少組密碼的第二個數字是 1，且第四個數字不是 1？
例 6.5：(1)試求 720 的正因數個數。
(2)720 的正因數中，有多少個是 12 的倍數。
重點 7：一一對應原理
意義：如果 A，B 兩個元素為有限集合。若集合 A 與 B 之間具有一一對應的關係，如圖
則兩集合的元素個數相等，即 n(A)＝n(B)，要計算 n(A)，可以轉而計算 n(B) 1 2 3
a b c A B
例 7.1：將 3 寫成自然數的和有 3，2＋1，1＋2，1＋1＋1 這四種方法。(規定順序不同視為不同方法，例如：2＋1，
1＋2 這兩種是不同的方法)，則：
(1)將 4 寫成自然數的和有幾種方法？
(2)將 7 寫成自然數的和有幾種方法？
重點 8：取捨原理(排容原理)
1.原理：設 A， B，C 為有限集合，則：
(1) n(A′)＝n(U)－n(A)
(2) n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)
(3) n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(B∩C)－n(A∩C)＋n(A∩B∩C)
2.笛摩根定律
(1) n(A′∩B′)＝n(U)－n (A∪B)＝n(U)－[n(A)＋n(B)－n(A∩B)]＝n(U)－n(A)－n(B)＋n(A∩B) (2) n(A′∩B′∩C′)＝n(U)－n(A)－n(B)－n(C)＋n(A∩B)＋n(B∩C)＋n(A∩C)－n(A∩B∩C)
Ex8.0：已知 n(A)＝6，n(B)＝9，n(A∩B)＝4，試求 n(A∪B)
例 8.1：從 1 到 100 的自然數中，則：
(1)有多少個是 2 或 3 的倍數？
(2)有多少個是 2 或 3 或 7 的倍數？
例 8.2：從 1 到 100，有多少個自然數不是 2 也不是 3 的倍數？
n(A∪B) n(A) n(B) n(A∩B)
＝
＝
＝
＝ ＋＋ ＋＋ －－ －－
