(1)Ch 1.1 隨機變數 三年___班 座號

Ch 1.1 隨機變數 三年___班 座號：____ 姓名：

重點 1：(離散型)隨機變數

1.隨機試驗：當一項試驗可在相同的條件下重複進行相同的條件下重複進行相同的條件下重複進行相同的條件下重複進行，每次試驗的可能結果不只一種可能結果不只一種可能結果不只一種，且試驗前無法確定可能結果不只一種 無法確定無法確定哪一種結果 無法確定 會出現時，稱此試驗為隨機試驗隨機試驗隨機試驗隨機試驗

2.隨機變數：將隨機試驗所有可能發生的結果(即樣本空間)對應到一個實數值的函數關係稱為隨機變數隨機變數隨機變數隨機變數，通常以 X 表示 例如：令 X 表示丟一枚硬幣兩次正面出現的次數，那麼 X 的值可為 0，1，2

其中「X = 0」表示「正面出現 0 次的事件」

「X = 1」表示「正面出現 1 次的事件」

「X = 2」表示「正面出現 2 次的事件」

即利用符號「X＝k」表示「隨機變數 X 取值為 k 的所有樣本點所成的事件

註：隨機變數 X 所有可能的取值可以一一列出，如此的隨機變數 X 稱為(離散型離散型離散型離散型)隨機變數隨機變數隨機變數隨機變數 隨機變數 X 對應的數值可為某一區間內的任何一個值時，稱隨機變數 X 為(連續型連續型連續型)隨機變數連續型隨機變數隨機變數 隨機變數 註：隨機試驗中使用的術語

◎每一試驗對應到正面出現次數的隨機變數 X

≡ 令 X 表示出現正面次數的隨機變數 ≡ 令隨機變數 X 表示出現正面的次數

◎隨機變數 X 所對應的值 ≡ X 的可能取值

3.隨機機率：設隨機變數 X，則計算事件 X＝k 發生的機率，以符號 P(X＝k)＝

樣本空間個數 事件個數 =

) (

) (

S n

k X n =

表示其機率機率機率機率

例 1.1：從一副撲克牌中隨機抽取出 1 張牌，觀察抽出的牌的花色，重複上述動作 2 次，每次取後放回，令 X 表示抽出 的 2 張牌中，花色為紅心的張數，試問：

(1) X 可以對應到哪些值？ (2)寫出事件(X＝1)

重點 2：機率質量函數、機率分布表

1.機率質量函數：將隨機變數 X 所有可能的取值 x 對應到其機率的函數關係稱為隨機變數 X 的機率機率機率機率(質量質量質量質量)函函函函數數數數 2.機率分布表：將率質量函數列表表示，稱此表為機率分布表機率分布表機率分布表機率分布表

若隨機變數 X 所有可能的取值為x ，₁ x ，…，₂ x ，且_n P(X＝x_i)＝p ，i＝1，2，…，n _i 則以列出隨機變數 X 的機率分布表機率分布表機率分布表機率分布表(圖圖圖圖)如右：

3.機率質量函數 P(X＝x_i)＝p 性質： _i (1) 0≤p_i≤ 1，i＝1，2，…，n (2)

∑

= n

i

pi 1

＝p ＋₁ p ＋…＋₂ p ＝1 _n

註：若隨機變數 X 所有可能的取值為x ，₁ x ，…，₂ x ，…， _n 且 P(X＝x_i)＝p ，i＝1，2，…，n，…，則： _i

(1) 0≤p_i≤ 1，i＝1，2，…，n，…

(2)

∑

= n

i

pi 1

＝p ＋₁ p ＋…＋₂ p ＋…＝1 _n

例 2.1：袋中裝有相同大小的黑球 4 顆、白球 3 顆，每球被取中之機會均等。自袋中取出 2 球，令 X 表示取出白球個數的 隨機變數，回答下列各小題：

(1)試求隨機變數 X 的機率分布。(四捨五入到小數點後第二位) (2)試求 P(X ≤ 1)的值

(3)畫出隨機變數 X 的機率質量函數圖

例 2.2：老張與三個兒子張一、張二、張三玩擲骰子遊戲(骰子均為公正)，經抽籤決定獎勵方式如下：若老張擲出骰子點 數 k，老張分別給張一 k 元、張二(10k＋5)元、張三k 元，令隨機變數² X，Y，Z 分別表示張一、張二、張三玩此 擲骰子遊戲所得的錢。求 X，Y，Z 的機率分布

解：X 的機率分布表如下： Y 的機率分布表如下：

Z 的機率分布表如下：

例 2.3：令 X 為某種儀器維修所需時間的隨機變數，以小時計算，其機率質量函數為：

f (k)＝P (X＝k)＝

15

k ，k＝1，2，3，4，5，試求：

(1)維修所需時間為 2 小時的機率 (2)維修所需時間不超過 2 小時的機率 (3)維修所需時間超過 2 小時的機率 (4)維修所需時間不超過 5 小時的機率

xk

P (X＝xk )

yk

P (Y＝yk )

zk

P (Z＝zk )

重點 3：隨機變數的(數學)期望值(數據集中趨勢)

1.意義：隨機變數 X，常利用「期望值」、「變異數」與「標準差」等數值來代表該隨機變數 X 的某些特性 註：期望值可以用來作為公司或個人做決策時的依據等

註：當一個遊戲期望值是 0 的時候，代表此遊戲為一公平賽局，意即並不會對任何一方有利，稱為零和遊戲 2.期望值：設隨機變數 X，可能的取值為 x1，x2，…，xn，其機率分布表如下：

定義隨機變數 X 的期望值為 E(X)＝x₁ p ＋₁ x₂ p ＋…＋₂ x_n p ＝_n

∑

= n

i i ip x

1

註：(1)期望值的單位與機變數 X的單位相同 (2)期望值是一個平均值(算術平均數)的概念

(2)當隨機變數 X 的取值有無限多個時，則期望值為 E(X)＝x₁ p ＋₁ x₂ p ＋…＋₂ x_n p ＋…＝_n

∑

=1 i

i ip x

例 3.1：依據經驗某人完成一件工作，所需的工作天數可能是 1 天、2 天、3 天、4 天，在 1 天完成的機率是 0.2，2 天完成 的機率是 0.4，3 天完成的機率是 0.3，4 天完成的機率是 0.1，請問完成此工作所需天數的期望值是多少？

例 3.2：某保險公司旅遊意外險的理賠金額 (單位：元)，經長期分析獲得理賠的金額只有兩種，理賠 500000 元的機率為 0.00015，理賠 1000000 元的機率為 0.00005。若該公司對購買此保險的顧客收取 150 元的保費，試問：

(1)以隨機變數 X 表保險公司的理賠金額，求期望值 E (X)之值 (2)以理賠金額的期望值分析，該公司是賺錢還是賠錢？差額多少？

例 3.3：有一袋子，裝有編號 1 至 10 號，大小相同的球，且每球被抽中之機會均等，若現在有兩種遊戲方式如下：

方式一：從袋中任取 1 球，若抽中 1～8 號球，需賠 1000 元，抽中 9 號球，賠 500 元，抽中 10 號球，可得 10000 元 方式二：從袋中任取 1 球，若抽中 1～3 號球，得 80 元，抽中 4～7 號球，得 100 元，抽中 8～10 號球，得 120 元

令隨機變數 X，Y 分別表兩種方式對應的獎金，試分別計算其期望值

重點 4：隨機變數的變異數與標準差(數據離散趨勢)

1.平均數：設有 n 個數據取值為x ，₁ x ，…，₂ x ，則其平均數_n µ^＝ n

1(x ＋₁ x ＋…＋₂ x_n)＝E(X)

2.變異數：將離均差平方乘上其對應的機率之總和，稱為隨機變數 X 的變異數變異數變異數變異數，以符號 Var(X)或σ^2(X)表示 設隨機變數 X 的機率分布如右表，且期望值為 E(X)＝µ

(1)變異數公式 I：

定義隨機變數 X 的變異數為 Var(X)＝

∑

= n −

i

i

i p

x

1

)2

( µ 即 Var(X)＝(x －₁ µ 1

) p ＋(2 x －₂ µ 2

) p ＋…＋(2 x －_n µ )²pn＝

∑

= n −

i

i

i p

x

1

)2

( µ 註：當p ＝_i

n

1，i＝1，2，…，n 時，變異數為 Var(X)＝

∑

= n −

i

xi

n 1

)2

1 ( µ (2)變異數公式 II：

變異數 Var(X)＝E(X )－² µ² 說明：變異數 Var(X)＝

∑

= n −

i

i

i p

x

1

)2

( µ ^＝

∑

=

+

n −

i

i i

i x p

x

1 2 2

) 2

( µ µ ^＝

∑

= n

i

i

i p

x

1

2 －

∑

= n

i i ip x

1

2µ ^＋µ²

∑

= n

i

pi 1

＝

∑

= n

i

i

i p

x

1

2 －2µ^×µ^＋µ^2×1＝

∑

= n

i

i

i p

x

1

2 －µ^{2＝E(X )－2} µ²

註：當隨機變數 X 的取值有無限多個時，

則 Var(X)＝(x －₁ µ 1

) p ＋(2 x －₂ µ 2

) p ＋…＋(2 x －_n µ )²pn＋…＝

∑

=

−

1

)2

(

i

i

i p

x µ 3.標準差：σ ^{(X)＝ Var( X)}

註：隨機變數 X 的標準差是用來衡量該變數的值與期望值的離散程度。

一般而言，如果標準差較大，則該變數的值與期望值較分散；如果標準差較小，則該變數的值與期望值較接近

例 4.1：一袋中有 4 個白球，2 個紅球，每球被取中之機會均等，今從袋中任取 3 球，令 X 代表取出白球個數的隨機變數，

試求：(1) X 的期望值 (2) X 的變異數與標準差。(四捨五入至小數點後第二位)

例 4.2：設一箱中有標記 1 號、2 號、…、n 號，大小相同的球各一顆，每球被取中之機會均等，今從箱中任取一顆球，

令隨機變數 X 表抽中球的號碼，試求隨機變數 X 的期望值與變異數

例 4.3：袋中有 5 個分別編號為 1，2，3，4，5 的球，每個球被取中的機會相同。現在從袋中任取一球，有下列兩種玩法：

玩法一：取得 k 號球，可以得到 k 元的獎金 玩法二：取得 k 號球，可以得到(2k＋3)元的獎金

令隨機變數 X，Y 分別代表玩法一、二所得到的獎金，試求下列各小題：

(1) X，Y 的期望值。 (2) X，Y 的變異數

重點 5：期望值、變異數與標準差的性質(線性變換)

1.意義：設 X 為隨機變數且其機率分布表(1)，a，b 為常數，Y＝aX＋b 也會是隨機變數，其機率分布表(2)

則滿足：

(1) E(Y )＝aE(X )＋b (2) Var(Y )＝a²Var(X ) (3)σ ^{(Y )＝a}σ ^{(X )} 2.說明：(1) E(Y )＝(ax₁＋b)p₁＋(ax₂＋b)p₂＋…＋(ax ＋b)_n p _n

＝a(x₁＋x₂＋…＋x )＋b(_n p₁＋p₂＋…＋)p ＝aE(X )＋b _n 同理(2) Var(Y )＝a²Var(X )與(3)σ^{(Y )＝a}σ ^{(X )}

註：每一個 Y 的取值y ＝_i ax_i＋b 出現的機率也會與x 出現的機率相同 _i

例 5.1：已知隨機變數 X 滿足 E(－2X＋10)＝54，Var(－2X＋10)＝196，試求隨機變數 X 的期望值 E(X)、變異數 Var(X)與 標準差σ_X

Y＝aX＋b

表(1) 表(2)