第二章 第二章 第二章 第二章
布林代數與邏輯閘
2-1 基本定義 基本定義 基本定義 基本定義
封閉性 結合律 交換律 單位元素 ,則e為單位元素 反元素 分配律) ( )
(x∗ y ∗z= x∗ y∗z x
y y x∗ = ∗
x e x x
e∗ = ∗ = e y x∗ =
) ( ) ( )
(y z x y x z x∗ ⋅ = ∗ ⋅ ∗
2-2 布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義
1.(a)運算符號 + 具有封閉性。(b)運算符號 ·具有封閉性。
2. (a) + 具有單位元素0：(b) · 具有單位元素1：
3. (a) + 具有交換律：(b) · 具有交換律：
x x x+0=0+ =
x x x⋅1=1⋅ =
x y y x+ = +
x y y x⋅ = ⋅
布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義 布林代數的公理與定義
4.(a) ·對 + 具有分配性：
(b) + 對 ·具有分配性：
5.對任一元素 ，則存在一元素
(稱為 的補數)，使得(a). 且 (b).
6.至少存在兩個元素 ，使得 。
) ( ) ( )
(y z x y x z
x⋅ + = ⋅ + ⋅
) )(
( )
(y z x y x z
x+ ⋅ = + +
B
x ∈ x ∈′ B
x x+ x′=1
=0
⋅ x′ x
B y
x, ∈ x ≠ y
2222----3 3 3 3 布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質
定理1 (a) (b) 定理2 (a) (b) 定理3 自補定理 定理4 結合律(a) (b)
x x
x+ = x⋅x= x 1
+1 =
x x⋅0 =0
x x′)′= (
z y x z y
x+( + )=( + )+ z
xy yz
x( )=( )
布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質 布林代數的基本定理與性質
定理5 迪摩根定理 (a)(b)
定理6 消去定理 (a)(b)
y x y
x+ )′= ′ ′ (
y x xy)′= ′+ ′ (
x xy x+ =
x y x
x( + )=
2-4 布林函數 布林函數 布林函數 布林函數
布林函數----包含二元變數、常數值1和0以及邏輯運 算符號的代數表示式。
布林函數之閘電路圖布林函數 布林函數 布林函數 布林函數
布林函數之閘電路圖重合定理與迪摩根定理 重合定理與迪摩根定理 重合定理與迪摩根定理 重合定理與迪摩根定理
重合定理 1.2.
迪摩根定理 1.2.
) )(
( ) )(
)(
(x+y x′+z y+z = x+ y x′+z z
x xy yz z x
xy+ ′ + = + ′
F C B A F C
B
A+ + +....+ )′= ′ ′ ′.... ′ (
F C
B A F
ABC.... )′= ′+ ′+ ′+....+ ′ (
2-5 正規型式與標準型式 正規型式與標準型式 正規型式與標準型式 正規型式與標準型式
正規型式全及項(minterm)的和與全或項(maxterm)的積
標準型式積項和(Sum of Products) 和項積(Product of Sums)
三個二元變數之全及項與全或項 三個二元變數之全及項與全或項 三個二元變數之全及項與全或項 三個二元變數之全及項與全或項
全及項(minterm)與全或項(maxterm)
M7 x’+y’+z’
m7 xyz
1 1 1
M6 x’+y’+z m6
xyz’
0 1 1
M5 x’+y+z’
m5 xy’z
1 0 1
M4 x’+y+z m4
xy’z’
0 0 1
M3 x+y’+z’
m3 x’yz
1 1 0
M2 x+y’+z m2
x’yz’
0 1 0
M1 x+y+z’
m1 x’y’z 1
0 0
M0 x+y+z
m0 x’y’z’
0 0 0
符號 項目
符號 項目
z y x
全或項 全及項
正規型式的轉換 正規型式的轉換 正規型式的轉換 正規型式的轉換
Ex:函數
則其補函數
利用迪摩根定理求 的補數 則
故
=∑(1,4,5,6,7) )
, , (A B C F
3 2
) 0
3 , 2 , 0 ( ) , ,
(A B C m m m
F′ =∑ = + +
F′
3 2 0 3
2
0 )
(m m m m m m F = + + ′= ′ ⋅ ′ ⋅ ′
=∏
⋅
⋅
=M0 M2 M3 (0,2,3) M
m =′
標準型式 標準型式 標準型式 標準型式
積項和與和項積 z ， y x xy yF1= ′+ + ′ ′ F =x(y′+z)(x′+y+z′)
2-6 其他邏輯運算 其他邏輯運算 其他邏輯運算 其他邏輯運算
兩個變數所形成之16種布林函數 1.零函數
2.AND(及)
3.Inhibition(禁止) 4.Transfer(轉移) 5.Inhibition(禁止) 6.Transfer(轉移)
7. Exclusive-OR(互斥-或)
0 =0 F
xy F =1
y x F2 = ′
x F =3
y x F4 = ′
y F =5
y x y x F = ′+ ′
其他邏輯運算 其他邏輯運算 其他邏輯運算 其他邏輯運算
9.NOR(反或)
10.Equivalence(全等) 11.Complement(補數) 12.Implication(意含) 13.Complement(補數) 14.Implication(意含) 15.NAND(反及)
16.Identity(單位函數)
)
8 =(x+y ′ F
y x xy F9 = + ′ ′
y F10 = ′
y x F11= + ′
x F12 = ′
y x F13 = ′+
)
14 = xy( ′ F
15 =1 F
