九十九學年度 高級中學數學科能力競賽複賽試題

九十九學年度

高級中學數學科能力競賽複賽試題

南區（高雄區） 筆試（一）{參考解答}

一、若兩互質的整數係數多項式 P(x)與 Q(x)滿足 2 3

) 7 3 2 (

) 7 3 2

(  







 Q

P ，則 P(x) 與

Q(x)為何？

【參考解答】

令s 2 3 7, 考慮整數係數多項式 A(x)與 Q(x)滿足

7

) (

) ( ) 7 3 2 (

) 7 3 2

(  









s Q

s A Q

A , 則所求

) (

) 7 (

3

2 Q s

s s A s

  





所以, x=s 是 A(x) 7Q(x)0 方程式的解。考慮整數係數多項式 B(x)以消去 2

及 3兩項,

) ( 7 ) (

) 7 3 2 )(

7 3 2 )(

7 3 2 )(

7 3 2 ( ) (

x Q x

A

x x

x x

x B





























 所

以, 化簡 B(x) 得

) 8 4 ( 7 ) 20 32

(

24 ) 2 7 2 (

) 6 2 ( ] 5 ) 7 [(

] 6 2 5 ) 7 [(

] 6 2 5 ) 7 [(

] ) 3 2 ( ) 7 [(

] ) 3 2 ( ) 7 [(

3 2

4 2

2 2

2

2 2

2 2

2 2

x x x

x

x x

x

x x

x x

























































得 A(x)x⁴32x²20 及 Q(x)4x³ 8x 所以,

s s

s s

s s

s s s

s Q

s s A

s 4 8

20 24

3 8

4

20 32

) (

) 7 (

3

2 ₃

2 4

3 2 4





 





 













得 P(x)3x⁴24x²20 及 Q(x)4x³8x。

二、 若 n 為大於 3 的正整數，試求出所有能整除(n3)!的 n。（請詳述妳(你)所得答案 的理由）

【參考解答】

若 n 為質數，則 n 不整除(n-3)!。

考慮 n 不為質數。

若 n = 4，則(n-3)! = 1，此時 n 不整除(n-3)!。

若 n > 5。

因 n 不為質數，故存在 p 與 q 使得 n = pq，1< p< n，1< q< n。

若 p > n-3，因 q2，可知 n = pq > 2(n-3)，即 n < 6，與 n > 5 不合。

故可假設 p 與 q 皆小於或等於 n-3。

若 p ≠ q，則 p 與 q 為 1, 2,... , n-3 之中的兩個相異整數。故 n = pq 能整除(n-3)!。

若 p = q，因 n > 5，可知 p > 2。所以 n3p2p p 2p3。

則 p 與 2p 為 1, 2,... , n-3 之中的兩個相異整數。故 n= pq 能整除(n-3)!。

因此除了 4 之外，其他不為質數且大於 3 的 n 皆可整除(n-3)!。

三、 ABC



中A,B,及 C



的內角平分線分別 與 ABC



的外接圓交於點A, B,及 C。 試證：

C B A

  



的面積大於或等於 ABC



的面積。

【參考解答】

C B A R A C R B R A

bc

ABC (2 sin )(2 sin )sin 2 sin sin sin 2

sin 1 2

1   2





) 2(

1 B C

A    



 

同理， ( )

2

1 A C

B  

 ， ( )

2

1 A B

C  



sin 2 sin 2

sin 2

2 ² A B B C C A

R C B

A     



由於， A B A B A B A B

sin 2 sin

2 cos sin 2 2

sin

2      

同理， C A C A

C C B

B sin sin

sin 2 2 , sin 2 sin

sin

2      

所以，

ABC C

B A R

A C C

B B

R A

A C

C B

B R A

A C C B B R A

C B A





















 





 

sin sin sin 2

) sin sin 2 )(

sin sin 2 )(

sin sin 2 4 (

) sin )(sin

sin )(sin

sin 4 (sin

sin 2 sin 2

sin 2 2

2 2 2 2

四、若 f(x)為實數函數且滿足 f(x1) f(x2)[f(x1)1]10及 f(x)1， 則 f(1) f(2) f(3) f(4) f(2038) f(2039) f(2040)之值為何？

【參考解答】

) 2 ( 1

) 2 ( ) 1

1

(

 



 



f x

x x f

f

) 1 ( 1

) 1 ( ) 1

4

(

 



 



f x

x x f

f

因此

) 2 ( 1

) 2 ( 1 1 ) 4 (

1 ) 4 (







 









x f

x f x

f x f

所以 f(x4)f(x2)1 得 f(x2)f(x8)1

故 f(x4) f(x8)，即 f(x)的週期為 12 又因為 f(x2)f(x8)1

所以 f(1) f(2) f(3) f(4) f(12)1 2040



12



170

因此 f(1) f(2) f(3) f(4) f(2038) f(2039) f(2040)1