勾股定理證明-G064
【作輔助圖】
1. 分別以直角三角形ABC的AC, BC和AB為邊長，向外作正方形ACFG，正方形BCED 和正方形ABKH 。
2. 延長DE和GF ，使得直線DE和直線GF相交於O點。
3. 延長FG和ED，使其分別與直線AB交於Q點，M 點。
4. 延長CA和CB，使其分別與直線HK交於R點，L點。
5. 延長HA，交GF 於P點。
6. 過C點作AB的平行線，交DE於N 點。
7. 連接OC。
O
A B
C D
E F
G
H K
R
Q S
N
M P
L
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向外作三個正方形，利用輔助線將圖形延伸，並利 用切割與推移等過程，重新找出面積的關係，最後推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 APG 與三角形 ABC 全等，推得GPFO：
因為GAP90 PAC CAB，且AG AC, AGP ACB 90 ，所以 APG ABC
(ASA 全等).
得到
GPCBCEFO. 2. 先證明三角形 APG 與三角形 COF 全等，推得 OC // PA ：
因為 GPFO，又 GA FC 且AGP CFO90，所以 APG COF
(SAS 全等).
得到 GPA FOC，因此
OC // PA (同位角相等).
3. 先說明四邊形ACOP，CBMN皆為平行四邊形，進一步得到平行四邊形ACOP面積等 於正方形ACFG面積，平行四邊形CBMN面積等於正方形BCED面積：
由平行關係可知 PO // AC ，又因為 OC // PA ，所以四邊形ACOP為平行四邊形。且
ACOP
AC AC C
FG
F
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
同理可證四邊形CBMN為平行四邊形，且 CBMN
BC CB B
ED
D
平行四邊形 面積＝
＝正方形 面積.
4. 證明三角形QPA 與三角形 RAH 全等：
因為APG ABC，所以AP ABHA，且由作圖的平行關係可知QPA RAH, 90
QAP RHA
，因此
QPA RAH
(ASA 全等).
5. 證明三角形 OCN 與三角形 BKL 全等：
因為COF APG ABC，所以OCABBK，且由作圖的平行關係可知
ONC NMB BLK
, OCN BKL 90 ，所以 OCN BKL
(AAS 全等).
6. 證明三角形 QOM 與三角形 RCL 全等：
因為QPA RAH, OCN BKL，所以QARH, CNKL，因此 QM QAABRHHKRL.
又因為PQA ARH, QOM RCL 90 ，故 QOM RCL
(AAS 全等).
7. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH RCL RAH BKL ACB
QOM QPA OCN ACB
CBMN ACOP
BCED ACFG
正方形 面積＝ 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積)
＝ 面積－( 面積＋ 面積＋ 面積)
＝平行四邊形 面積＋平行四邊形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
AB BC AC , 即
2 2
2 a b
c .
【註與心得】
1. 來源：這個證明記載於：
J. Wipper (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras (p. 30). Leipz.: Friese.
E. Fourrey (1907). Curiosités Géométriques(p. 82). Paris: Vuibert et Nony.
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明四邊形ACOP，CBMN皆為平行四邊形，以及三角 形QOM 與三角形 RCL 全等，再利用全等圖形的面積增補關係，推得正方形 ABKH 面積等於平行四邊形ACOP與平行四邊形CBMN的面積和，進一步得 到勾股定理的關係式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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