直線方程式
主題一 斜率
1.
斜率的定義坐標平面上，沿著直線移動的點，當此點的 x 坐標增加 1 單位，其 y 坐標會隨著 變化 m 單位時，我們稱 m 為此直線的斜率。
2. 直線的斜率
設 A(x1,y1)、B(x2,y2)為直線 L 上的相異兩點，則：
(1) 若 L 非鉛直線(x1≠x2)，則 L 的斜率 m ＝ 2 1
2 1
y y x x
(2) 若 L 為鉛直線(x1＝x2)，則 L 無斜率
○
註：斜率大小的判斷滿足「handsome 右手定則」：右上為正、右下為負、水平為 0 3. 斜率的相關性質
(1) 直線的斜率唯一，同一條直線上任取兩點所得的斜率必相等。
(2) L1//L2
1 2
L L
m m (3) L1⊥L2
1 2 1
L L
m m pf
(4) mABmAC A、B、C 三點共線(注意：必有一公共點)
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1. 座標平面上三點 O(0,0)、A(3,0)、B(0, 2)、C(2,3)，試問：
(1) 分別求出直線 OA、直線 OB、直線 AB、直線 BC 的斜率。
(2) 已知 D(200,k )在直線 OC 上，求 k 的值。
(3) 若點 E 的座標為(6,－2)，則 A、B、E 三點是否共線？
【0、無定義、－ 2 3 、 1
2 ；300；是】
2. 如下圖，L1、L2、L3、L4四直線之斜率分別為m1、m2、m3、m4，試比較 m1、m2、m3、m4之大小。
【m3＞m2＞m1＞m4】
3. 設 A(2,1)、B(3,5)、C(0,－1)、D(2,a)，試問：
(1) 若AB//CD ，則a＝？
(2) 若AB⊥ CD ，則a＝？
(3) 若 B、C、D 共線，則a＝？
【7；－ 3 2 ；3】
○
練動 動 手 動 動 腦 ○
習1. 設 A(2,－1)、B(5,1)、C(3,a)，試問：
(1)若 A、B、C 三點共線，則a＝？
(2)若△ABC 為直角三角形，則a＝？
2. 設 A(5,－1)、B(a,2)、C(3,b )、D(－13,8)四點共線，則數對(a,b )＝？
3. 如右圖，試比較直線 AB↔、 BC↔、CD↔、DE↔、 AE↔的斜率 mAB、mBC、mCD、mDE、mAE之大小。
主題二 直線方程式 1. 點斜式
由於「直線的斜率唯一」，因此通過 點(x0, y0) 且 斜率為 m 的直線 L 就可以被唯一決定，
即可推導出 L：y－y0＝m( x－x0) 這樣的直線方程式稱之為「點斜式」
2. 直線方程式的表示方式 (1) 點斜式：y－y0＝m( x－x0) (2) 斜截式：y＝mx＋b
(3) 一般式：ax＋by＋c＝0 若 b≠0，其斜率 m＝
3. 截距
當直線與 x 軸交於(t,0)，則稱 t 為 x 截距。 例：x 截距為 2，表示直線與 x 軸交於(2,0) 當直線與 y 軸交於(0,k)，則稱 k 為 y 截距。 例：y 截距為 2，表示直線與 y 軸交於(0,2) 4. 特殊直線方程式
(1) 已知直線 L 之 x 截距為 a、y 截距為 b L： x y 1
a b (截距式) (2) 水平線、平行 x 軸、垂直y軸、斜率 0 L：y＝y座標
(3) 鉛垂線、平行y軸、垂直 x 軸、無斜率 L： x ＝ x 座標
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1. 試以下列條件求出各直線方程式：
(1)過點(－3,1)且斜率為 2 (2)斜率為 3 且過點(0,2) (3)過點(3,－1)及(0,5) (4)x截距為 3、y截距為－2 (5)過點(4,6)且與x軸垂直
【2x y 7 0；3x y 2 0；2x y 5；2x3y6；x4】
2. 將以下直線斜率由小排到大：
L1：2x＋y＋1＝0 L2：y＝x－5 L3：y－3＝8(x＋1) L4： x 2 － y
3 ＝1
【m1< m2< m4< m3】
3. (1)對於任意實數 m ，直線 L：ymx m 2恆過某定點 P，試求 P 點座標。
(2)呈上題，已知 A(5,3 )、B(0,5)，若 L 和AB相交，則 m 的範圍為何？
【(-1,-2)；5/6≦m≦7】
4. 已知一直線 L 通過(2,2 )，試以下列條件回答問題：
(1) 若 L 的 x 截距與y截距相等，則 L 的方程式為何？
(2) 若 L 與兩座標軸所圍成的三角形面積為 1，則 L 的直線方程式為何？
(3) 在第一象限，L 與兩軸所圍的三角面積最小為何？此時 L 的方程式為何？
【yx or x y 4；2x y 2orx2y 2 0；8，x y 4】
主題三 直線的平行與垂直 / 點與直線的平移 / 距離公式 1. 直線的平行與垂直
設兩相異直線 L1、L2的斜率分別為 m1、m2
(1) 若 L1// L2，則 m1、m2 (2) 若 L1⊥ L2，則 m1·m2＝－1
結論：L1// L2，且 L1：ax＋by＋c＝0 假設 L2： ，再將點代入求解。
L1⊥ L2，且 L1：ax＋by＋c＝0 假設 L2： ，再將點代入求解。
2. 點的平移 設 h、k 為正數
(1) 左右平移：點(a,b )往右平移 h 單位，會得到點( a＋h , b ) 往左平移 h 單位，會得到點( a－h , b ) (2) 上下平移：點(a,b )往上平移 k 單位，會得到點( a , b ＋k ) 往下平移 k 單位，會得到點( a , b －k ) 3. 直線方程式的平移
設 h、k 為正數，直線 L：ax＋by＋c＝0
(1) 左右平移：將 L 往右平移 h 單位，所得的直線為 a( x－h )＋by＋c＝0 往左平移 h 單位，所得的直線為 a( x＋h )＋by＋c＝0 (2) 上下平移：將 L 往上平移 k 單位，所得的直線為 ax＋b( y－k )＋c＝0 往下平移 k 單位，所得的直線為 ax＋b( y＋k )＋c＝0 結論：直線平移後斜率不變，因此方程式的 x、y 係數不變，僅常數項改變。
L：ax＋by＋c＝0 L’：ax＋by＋c’＝0 ，再將平移後的點代入求解。
4. 距離公式
(1) 點到直線的距離
點 P(x0, y0)到直線 L：ax＋by＋c＝0 的距離 d＝
|
ax0＋by0＋c|
a2＋b 2 (2) 兩平行線之間的距離
直線 L1：ax＋by＋c1＝0 和 L2：ax＋by＋c2＝0 之間的距離 d＝
|
c1－c2|
a2＋b 2 ※注意：兩平行線的 x、y 係數要「相同」
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1. 已知點 P(2,－1 )、直線 L：2x3y6，試問：
(1) 通過 P 點且與直線 L 平行的直線方程式。
(2) 通過 P 點且與直線 L 垂直的直線方程式。
【2x3y1；3x2y8】
2. (1) 將直線 3x－4y＋4＝0 往右平移 2 個單位，再向下平移 3 個單位。
求：(1)平移後的直線方程式 (2)兩直線之間的距離
(2) 將直線 L 往右平移 3 單位，再向上平移 1 單位後，所得的直線為 x＋3y＝0。
求：(1)直線 L 的方程式 (2)兩直線之間的距離
【3x－4y－14＝0，18 5 ；x＋3y＋6＝0，3 10 5 】
3. 給定 P(4,2)與直線 L：yx，試求：
(1) P 對 L 的垂足座標 (2) P 對 L 的對稱點座標 (3) P 到 L 的距離
【(3,3)；(2,4)； 2】
4. 已知兩平行線 L1：3x－4y－3＝0 和 L2：6x－8y＋k＝0 之間的距離 d＝13
10 ，求 k＝？
【7 或－19】
5. 已知A
0, 2
，B
5, 3
，求AB的中垂線之方程式。【5x y 15 0】
6. 平面座標中，已知A
5,1
，B
4, 2
及C
1, 7 ，求△ABC面積。【36】
7. 已知 A(2,3)、B(8,6)，試以下列條件回答問題：
(1) 若 P 點在 x 軸上移動，當 P 點座標為何時？ APPB有最小值＝？
(2) 若 Q 點在 x 軸上移動，當 Q 點座標為何時？ |AQ QB |有最大值＝？
【(4,0)，3 13；(-4,0)，3 5】
○
練動 動 手 動 動 腦 ○
習1. 設 A(－2,0 )、B(3,1 )，若直線 L：ymx4與AB相交，則m的範圍為何？ m ≤ －1 or m ≥ 2
2. ABC之三頂點為 A(6,－3)、B(－1,－10)、C(2,－1)，試求 ABC 之垂心座標。 ( 3 ,－2 )
主題四 二元一次不等式 1. 二元一次不等式
當 a、b 不全為 0 時，不等式axbyc，axbyc，axbyc，axbyc 稱為「二元一次不等式」。
2. 二元一次不等式的圖形
直線ax by c會將平面分割成兩個半平面：其中一個滿足ax by c，另一個則滿足 ax by c
※畫圖的注意事項
(1) 使x的係數 a 為正，則右半為大於；左半為小於 (2) 有等號畫實線；無等號畫虛線
3. 線性規劃
(1) 依聯立不等式組繪製圖形，找出可行解區域
(2) 利用頂點法或平行線法找目標函數的極值，此時滿足的x、y稱為問題的最佳解。
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1. 圖示下列二元一次不等式的解：(1) x2y4 (2) 2x 3y12
2. 圖示下列二元一次聯立不等式的解：
(1) 3 6 2 4 x y
x y
(2) 4 0 2 4 0 x y
x y
(3)
2 1 1 x y x y y
3. 圖示二元一次聯立不等式 0 0
2 0 2 4 12 0 x
y x y
x y
的解，並求：
(1)可行解區域面積？ (2)可行解區域內有多少格子點？
4. 已知一聯立不等式的解所成圖形為下圖的三角形區域，求此聯立不等式
