空間中的直線方程式
例題 1
將下列各直線以參數式表示：1 L1： x－5 2 ＝ y
4 ＝ z＋3
－1 ；2 L2：
2x－y＋3z－4＝0 x＋4y－2z＋7＝0‧
■
解：
1 直線參數式為
x＝5＋2ty＝4t z＝－3－t
，t
2 方向比為
－1 4
3
－2 ：
3
－2 2 1 ：
2
1
－1
4 ＝－10：7：9 令 z＝9t 代回得
2x－y＋27t－4＝0
x＋4y－18t＋7＝0 x＝1－10t y＝－2＋7t
∴直線參數式為
x＝1－10ty＝－2＋7t z＝9t
，t 例題 2
設 P（5，0，－1），Q（3，1，7），下列何者是 PQ←→
的方程式？
A
x＝5＋2ty＝t
z＝－1－8t
，t B
x＝3－2ty＝1－t z＝7＋8t
，t C
x＝1＋4ty＝2－2t z＝15－16t
，t
D x－2 2 ＝
y－1 －1 ＝
z－3 －8 E
x＋3 －6 ＝
y－4 3 ＝
z－31 24 ‧
■
解：
已知 PQ＝（－2，1，8） ∴PQ←→
：
x＝5－2sy＝s
z＝－1＋8s
，s A 方向比為 2：1：－8＝＼－2：1：8（不合）
B 方向比為－2：－1：8＝＼－2：1：8（不合）
C 令 s＝2－2t 代入 PQ←→
：
x＝5－2sy＝s
z＝－1＋8s
，s
x＝1＋4ty＝2－2t z＝15－16t
，t （合）
D 方向比為 2：－1：－8＝＼－2：1：8（不合）
E x＋3 －6 ＝
y－4 3 ＝
z－31 24 ＝t
x＝－3－6ty＝4＋3t z＝31＋24t
，t
令 t＝ s－4 3 代入
x＝5－2sy＝s
z＝－1＋8s
，s 與 PQ←→ 同 故選C E
例題 3
求過點（2，－1，3）且與直線 L：x＋y＋z＝1
2x－y＋3z＝2 平行的直線方程式為 ‧
■
解：
直線 L：
x＋y＋z＝1
2x－y＋3z＝2 其方向比為
1
－1 1 3 ：
1 3
1 2 ：
1
2 1
－1 ＝4：－1：－3 ∴過點（2，－1，3）與直線 L 平行的直線方程式為 x－2
4 ＝ y＋1
－1 ＝ z－3
－3
例題 4 L1： x－1
2 ＝ y
－1 ＝ z＋3
3 ，L2： x＋1 －4 ＝
y－3 2 ＝ z
－6 ，試求包含 L1，L2 的平面方程式 為 ‧
■
解：
L1： x－1 2 ＝ y
－1 ＝ z＋3
3 ，L2： x＋1
2 ＝ y－3 －1 ＝ z
3 ，因此 L1// L2
在 L1 上取 A（1，0，－3），L2 上取 B（－1，3，0），則 AB＝（－2，3，3）
（－2，3，3）×（2，－1，3）＝（3，3，－1）
取平面法向量（3，3，－1），方程式為 3（x－1）＋3（y－0）－（z＋3）＝0 即 3x＋3y－z＝6
例題 5
設點 P（1，－2，3），直線 L： x－2 1 ＝
y＋1 2 ＝
z＋3
2 ，試求：
1 P 在直線 L 上的投影點坐標為 ‧ 2 P 對於直線 L 的對稱點坐標為 ‧ 3 P 點到直線 L 的距離為 ‧
■
解：1 設 B 為 P 在直線 L 上的投影點
∵B L，B：
x＝2＋ty＝－1＋2t z＝－3＋2t
，t PB＝（1＋t，1＋2t，－6＋2t）
又 L 之方向向量 u ＝（1，2，2）
∴利用 PB⊥ u （1＋t） 1‧ ＋（1＋2t） 2‧ ＋（－6＋2t） 2‧ ＝0 t＝1 ∴B 坐標為（3，1，－1）
2 設 P 對於直線 L 的對稱點為 Q（x，y，z）
利用 B 為 P，Q 之中點，即 x＋1 2 ＝3，
y－2 2 ＝1，
z＋3 2 ＝－1 ∴x＝5，y＝4，z＝－5 ∴Q（5，4，－5）
3 由1知 B＝（3，1，－1） ∴P 到直線 L 的距離為 ─ PB ∴─
PB＝ （3－1）2＋（1＋2）2＋（－1－3）2 ＝ 4＋9＋16 ＝ 29 例題 6
P（1，2，0）到直線 L： x－2 1 ＝
y＋2 2 ＝
z－10
－2 的最近距離是 ‧
■
解：設 ─
PQ⊥L 於 Q（t＋2，2t－2，－2t＋10）
PQ＝（t＋1，2t－4，－2t＋10）
由 PQ⊥ ＝（1，2，－2）
得（t＋1）＋2（2t－4）－2（－2t＋10）＝0，即 t＝3 因此 PQ＝（4，2，4），最短距離 PQ＝6 ─
例題 7
兩平行線 L1： x－3 1 ＝ y
－1 ＝ z＋2
－2 ，L2： x－9 2 ＝
y＋2 －2 ＝
z＋1
－4 ，則：
1 包含 L1 與 L2 的平面方程式為 ‧ 2 兩平行線 L1 與 L2 的距離為 ‧
■
解：1 在 L1 上取點 P1（3，0，－2），L2 上取點 P2（9，－2，－1）
則平面的法向量 n ⊥（1，－1，－2）且 n⊥P1P2＝（6，－2，1）
n //（
－1
－2
－2 1 ，
－2 1
1 6 ，
1
6
－1
－2 ） ＝（－5，－13，4）//（5，13，－4）
∴平面方程式 E 可令為 5x＋13y－4z＋k＝0 代入 P1（3，0，－2）得 E：5x＋13y－4z－23＝0 2 ＝（1，－1，－2），P1P2＝（6，－2，1）
d（L1，L2）＝｜ ×P1P2｜
｜ ｜ ＝ （－5）2＋（－13）2＋42
12＋（－1）2＋（－2）2 ＝ 210
6 ＝ 35
例題 8
A（1，－1，－2），B（3，1，0），求 ─
AB 在平面 E：x－y－z＝1 上的投影長‧
■
解：方法一：先做 A，B 在平面 E 的投影點 A'，B'，
再做 ─ BC⊥─
AA'
─
AA'＝d（A，E）＝ ｜1＋1＋2－1｜
12＋（－1）2＋（－1）2 ＝ 3
─
BB'＝d（B，E）＝ ｜3－1－0－1｜
12＋（－1）2＋（－1）2＝ 3 3
─ AC＝─
AA'－─ A'C＝─
AA'－─
BB'＝ 2 3 3 利用畢氏定理得 ─
BC＝ ─ AB2－─
AC2 ＝ 12－ 4 3 ＝
4 6 3 例題 9
空間中兩歪斜線 L1： x－3 1 ＝
y
2 ＝ z＋2
－2 ，L2： x
3 ＝ y－2 1 ＝
z＋1 －2 ，
1若平面 E 包含 L1 且與 L2 不相交，則平面 E 的方程式為何？2 L1 與 L2 距離為何？
■
解：L1 E，L2// E， 1 為 L1 之方向向量， 2 為 L2 之方向向量 ∴nE⊥ 1＝（1，2，－2），nE⊥ 2＝（3，1，－2）
因此 nE//（
2
1
－2
－2 ，
－2
－2 1 3 ，
1 3
2 1 ） ＝（－2，－4，－5）//（2，4，5）
1 令 E：2x＋4y＋5z＋k＝0 代入 L1 上點 P1（3，0，－2）得 k＝4 故 E：2x＋4y＋5z＋4＝0
2 在 L2 上取一點 P2（0，2，－1），則 d（L1，L2）＝d（L2，E）＝d（P2，E）＝
｜2 0‧ ＋4 2‧ ＋5（－1）＋4｜
22＋42＋52 ＝ 7 5 15 例題 10
兩直線 L1： x－5 3 ＝
y＋7 －6 ＝
z－1
－2 ，L2： x－1 3 ＝ y
2 ＝ z＋5
2 ，若 P L1，Q L2 且 ─PQ 為 L1，L2 的公垂線段，則：
1垂足 P 點坐標為 ；2垂足 Q 點坐標為 ；3 L1 與 L2 間的距離為 ‧
■
解：設 P 點坐標（5＋3t1，－7－6t1，1－2t1），Q 點坐標（1＋3t2，2t2，－5＋2t2） 故 PQ＝（－3t1＋3t2－4，6t1＋2t2＋7，2t1＋2t2－6）
由 PQ⊥L1 得（－3t1＋3t2－4，6t1＋2t2＋7，2t1＋2t2－6）．（3，－6，－2）＝0 整理得－49t1－7t2－42＝0 7t1＋t2＝－6
由 PQ⊥L2 得（－3t1＋3t2－4，6t1＋2t2＋7，2t1＋2t2－6）．（3，2，2）＝0 整理得 7t1＋17t2－10＝0
因此
7t1＋t2＝－6
7t1＋17t2＝10，解聯立得 t1＝－1，t2＝1 代回 P，Q 坐標 所以 P（2，－1，3），Q（4，2，－3）， L1 與 L2 間的距離為 ─
PQ＝ 22＋32＋62 ＝7
例題 11
兩歪斜線 L1：
x＋y＋5＝0
3y＋2z＋7＝0 與 L2：
2x＋2y＋z－11＝0
x＋4y＋z－16＝0 之公垂線段長為 ‧
■
解：設包含 L1 且平行 L2 之平面為 E：k（x＋y＋5）＋（3y＋2z＋7）＝0，
其法向量 n ＝（k，k＋3，2）
L2 之方向比為
2 4
1 1 ：
1 1
2 1 ：
2 1
2
4 ＝（－2）：（－1）：6 取 2＝（－2，－1，6），由 n． 2＝0
得－2k－k－3＋12＝0，即 k＝3 所以 E：3x＋6y＋2z＋22＝0 在 L2 上任取一點 P（1，3，3），則
（L1，L2 距離）＝（P 與平面 E 距離）＝｜3＋18＋6＋22｜
32＋62＋22 ＝ 49 7 ＝7
