韓信點兵與傳統的數學教育典範

科學月刊【數‧生活與學習】專欄 9902

韓信點兵與傳統的數學教育典範

單維彰‧99 年 1 月 10 日

我要講一個可能大家都知道的故事。重點不是這個故事，而是我在後面要表達的 意見。這個故事只需要簡單的數學，卻又不會太簡單（才能讓讀者有比較深刻的 感受），恰可以為我的意見提供一個範例。

大家可能都知道所謂的韓信點兵問題：命不知為數多少的士兵，三人一伍排 好，看看剩下幾個人；馬上又叫他們五人一伍排好，看看剩下幾人；再命令他們 七人一伍排好，看看剩下幾人？（好像在玩某種「大風吹」遊戲。）然後，有經 驗的將領或師爺（通常是後者），稍微沈吟，就能「很神奇」地說出士兵的總數。

這樣顯一顯本領，讓眾人震懾佩服，也是領導統御的手段啊。

以上作法並不能決定唯一的答案。所以將領或師爺還需要老到的經驗，估計 總數大約多少，再配合以下算法，做一個調整。此處，先以《孫子算經》裡面的 例題作為韓信點兵問題的典型：

今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，

問物幾何？（《孫子算經》卷下第 26 題）

順便一提，此「孫子」並非《孫子兵法》的那位孫子。《孫子算經》可能比《九 章算經》稍晚，至少也是在漢朝了，而《孫子兵法》是東周時期的典籍。用今天 的術語，並且更精確地命題，這一題的意思是：

若 n 是一個正整數，已知n   ，3 q₃ 2 n   ，5 q₅ 3 n   ，7 q₇ 2 問滿足此條件的最小正整數是多少？

其中 就是 n 除以 3 得到商數 和餘數 2 的意思，而那又等於是說

。 3 3

n  q 3 q3 2

  

2 q₃

n

《孫子算經》先演示一個解法。他說，「三三數之剩二」就放 140，「五五數 之剩三」就放 63，「七七數之剩二」就放 30；把它們加起來，得到 233。再減去 210 就是答案，亦即 23。

真是神奇的孫子傑克。為什麼呢？先別急著問。接著他寫了這種題型的一般 解法：

凡三三數之剩一，則置七十，五五數之剩一，則置二十一，七七數之 剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得。

用今天的符號和術語來說，就是

只要是三三數之剩 ，五五數之剩 ，七七數之剩 ，則 的餘數就是最小正整數解。

r3

7 1

r 

r5 r₇

3 5

(r 70  r 21 5) 105

為了要牢牢背住公式裡的四個數，自古傳下一首詩歌：

三人同行七十稀（ 乘以 70） r₃ 五樹梅花廿一枝（ 乘以 21） r₅

七子團圓正半月（ 乘以 15） r₇ 除百零五便得知（除以 105）

各位讀者是否覺得以上「教學」結構非常眼熟？從一個特殊的例題開始，以 一個特殊的公式解決它，給一套背誦公式的口訣，也許再做兩道練習題。所以，

只要是這一型的題目，都可以「速解」。這不就是常見的所謂參考書或者補習班 教法嗎？不但頗受學生歡迎，部分的老師也自翎這是「有效」的教法。

我並不要依慣例批評這些參考書或老師們。我想要表達的意見是，其實，這 種教法，正是中國固有數學教學的典範！多少的老師、作者和學生，不知不覺 地繼承了中國的這項傳統而不自覺？文化入人之深，正是表現在這種瞬忽微渺的 不察之處。現在「主流的」數學教法，也就是注重前提，考究原因，按邏輯嚴格 演繹的教法，是西方承自希臘數學的典範；它是外來的，並不是我們的傳統文化 中所固有的。

也許四百年前翻譯《幾何原本》的徐光啟，是第一個認識西方數學典範的中 國人，他也是第一個指出其優越性的中國人。從他開始，歷經了三百年，才讓中 國的知識份子普遍認識到，中國固有的數學教學典範有些缺憾，而引進西方的數 學知識以及教學典範。但是，這個數學教育的「革命」，至今只有一百年左右，

而隱藏在大眾民間、有兩千年歷史的傳統，仍然無聲無形地操弄著我們的思考習 慣。要以一百年的耕耘，翻犁兩千年的土壤，到底有多難？

真的很難。這是我們全體數學教育工作者，需要透徹地認識，並且時時警惕 的啊。

意見說完了，讓我們探討原因吧。一個關鍵的知識是，如果 ，

，則 「基本上」就是

1 1

m   k q r₁

2

2 2

m   k q r r₁r₂ (m₁m₂)k

1 2

( ) k r r

的餘數：如果 則 它就是餘數；如果 ，減去 k 就是餘數了。理由是，因為 ，

，所以 ，如果

1 2

r  r k

1 1

m   q k r

1 2

r  r m m

k

1 2

1 2

2 2 2

m q  k r (q₁q₂) r₁ 沒有超過 k，它就r 是 的餘數；如果超過了，那也必定不會超過 2k，因為

所以

1 2

(m m )k

1 2 1

m m (q q₂  1) k (r₁ r₂ k) r₁  就是餘數。 r₂ k

如果有兩個數，叫它們 和 。如果 被 3 整除（也就是 餘 0 的意 思）， 餘 2，則 就是餘 2。那麼，如果 被 5 整除，而 餘 3，那不就是 (

m3

3 5

5

m5

3

m3 m₃3

5 3

m  (m m )

3 5)

m5 m₃5 m m  餘 3 嗎？所以，找到具有上述性質的 和 ，則它們 的和，就是一個「三三數之剩二，五五數之剩三」的數。從 3 的倍數 3、6、9、

裡找一個除以 5 餘 3 的數，例如 18，就可以當作 ；從 5 的倍數 5、10、15、

裡找一個除以 3 餘 2 的數，5 就可以，當作 。檢查看看， m m 就是 一個除以 3 餘 2、除以 5 餘 3 的數。

3 m5

3 5 

m





m3

m5 23

但是 23 並非唯一那樣的數，例如 38 也是。沿用前面的「關鍵知識」，只要 是 15 的倍數，它被 3 整除也被 5 整除，則

m15

3 5 1

m m m₅ 15 8

除以 3 還是餘 2、除以 5 還是餘 3。注意15也是 15 的倍數，而23 

23 15

是「三三數之剩二，五五數之 剩三」的最小正整數；換個說法，8 其實就是  的餘數。對所有的非負整數 k，8 1 5k都是解。

現在我們需要第二個關鍵知識。如果m₁   ，k q₁ 1 m₂   ，則k q₂ r 除以 k 也是餘 r。這是因為

m1m₂ m₁   q₁ k 1，m₂ q₂  ，所以k r

，也就是說

1 2

m m (q q k_{1 2} rq₁q₂) k r (m₁m₂) 餘 r。 k

這就厲害了。只要在 3 的倍數中找到除以 5 餘 1 的最小正整數M ，在 5 的₃ 倍數中找到除以 3 餘 1 的最小正整數M ，則不論題目怎麼出，只要是「三三數₅ 之剩 ，五五數之剩 」的形式，全都可以用公式r₃ r₅ (r M_{3 5}r M ) (3 5)_{5 3}   的餘數得 到最小正整數解。而M 固定是 6，₃ M 固定是 10。不妨拿前面的題目試招：₅

餘 8，就是最小正整數解。

(2 10 3 6) 15  38 1 5

把上述想法往上推一層樓。如果M_3,5是 3 和 5 的公倍數中除以 7 餘 1 的最小

數；M_5,7是 5 和 7 的公倍數中除以 3 餘 1 的最小數；M_3,7是 3 和 7 的公倍數中除 以 5 餘 1 的最小數。則凡是「三三數之剩 ，五五數之剩 ，七七數之剩 」的 題型，全部可以用公式

r3 r₅ r₇

3 5,7 5 3,7 7 3,5

(r M r M r M )  (3 5 7) 的餘數

得到最小正整數解。而M_5,7 70，M_3,7 21，M_3,5 15，3 5 7  105。它們就 是《孫子算經》指出的那四個神奇的數。

回到韓信點兵。因為23 都是士兵的可能數目，韓信必須目測一個概 數，再配合公式說出答案。目測 105 的倍數實在不容易，例如八百多人和九百多 人並不容易區分。想必聰明的韓信，早就推廣這個算法，造出「五五數之，八八 數之，九九數之」的公式。可惜這是韓氏秘技，傳子不傳女…。現在，既然我們 明白了原理，是否就可以『為往聖繼絕學』了呢？

105k