二 次 函 數

二 次 函 數

二 年 ___ 班 ___ 號 姓名 ______________

複習

函數：_______________________________________________

一次函數：如 y = ax + b 的等式，圖形為 _________________

二次函數：如 y = ax² + bx + c 的等式，圖形為 ______________

摺紙 利用 附件 摺出『拋物線』

＊ 包絡線：參考網站http://www.cognitiohk.edu.hk/maths/math/cm04loc.HTM

http://www.cshs.kh.edu.tw/teachingsource/mathematics/第四冊/拋物線動畫/

求值

1. 一次函數

(1) y = 3x – 2 (2) y = -2x + 1 (3)

¹ 5

y = − 2 x +

x –1 2 –5 7 4 x -2 -4 -6 3 7 x 10 6 -8 -3 5 y -5 4 -17 19 10 y 5 9 13 -5 -13 y 0 2 9 6.5 2.5

2. 二次函數

(1) y = x² (2) y = -x²

x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3

y 9 4 1 0 1 4 9 y -9 -4 -1 0 -1 -4 -9

(3) y = -2x² + 3 (4)

¹

2 1

y = 3 x + x −

x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y -15 -5 1 3 1 -5 -15 y -1 ^{-8/3 -11/3} -4 ^{-11/3 -8/3} -1 拋物線

描點 試將上面各題求出之坐標，標示在坐標平面上：

(1) y = 3x – 2 (2) y = -2x + 1

(3)

¹ 5

y = − 2 x +

(1) y = x² (2) y = -x²

(3) y = -2x² + 3 (4)

¹

2 1 y = 3 x + x −

繪圖 試將上面的點，以直線或曲線串連。

比較 試將下列各題的函數，畫在同一個直角坐標上，並寫出各函數圖形的頂點：

1. y = 2x、y = 2x + 1、y = 2( x - 1 ) + 1 2. y = x²、y = -x²

3. y = x²、y = 2x²、

¹

y = 2 x

5. y = -2x² - 1、

¹

1

y = 2 x +

7. y = -2( x – 1 )²、

¹ ( 2)

y = − 2 x +

【發現】經由上面的圖形比較發現：

二次函數 y = a( x + b )² + c

1. a： a > 0 → __________________；a < 0 → ____________________

| a | > 1 → __________________；| a | < 1 → ____________________

2. b： b > 0 → __________________；b < 0 → ____________________

3. c： c > 0 → __________________；c < 0 → ____________________

4. 頂點 → ________ 對稱軸 → ___________

5. 最高( or 最低 )點 → ________

6. 從 y 值來看

最大值 → __________________________________________

配方法

1. 試在下列各式中，補上一項，使能得到完全平方式：

(1) x² + 2x + ____ (2) x² + 4x + ____ (3) x² + 6x + ____

(4) x² – 4x + ____ (5) x² – 12x + ____ (6) x² – 10x + ____

(7) x² + x + _____ (8) x² + 3x + _____ (9) x² + 5x + _____

(10) 4x² + 4x + ____ (11) 9x² + 12x + ____ (12) 16x² + 24x + ____

(13) 2x² + 8x + ____ (14) 3x² + 12x + ____ (15) 2x² + 12x + ____

(16) 2x² + 4x + ____ (17) 2x² + 5x + ____ (18) 3x² + x + _____

2. 利用配方法，將下列各方程式配成 a( x + b )² = c 的形式：

(1) x² + 2x = 0 (2) x² – 4x = 0 (3) x² + 6x = 0

(4) x² – 10x = 0 (5) x² + x = 0 (6) x² + 5x = 0

(7) 4x² + 4x = 0 (8) 9x² + 12x = 0 (9) 2x² + 8x = 0

(10) 2x² + 5x = 0 (11) 3x² + x = 0 (12) x² + x = 0

(13) x² + 2x + 3 = 0 (14) 2x² – 12x + 5 = 0 (15) x² + x + 1 = 0

(16) 3x² – 6x + 1 = 0 (17) x² – 2x – 5 = 0 (18) 2x² – 6x + 7 = 0

3.利用配方法將下列各函數配成 y = a( x + b )² + c 的形式：

(1) y = x² + 2x (2) y = x² – 4x (3) y = x² + 6x

(4) y = x² – 10x (5) y = x² + x (6) y = x² + 8x + 16

(7) y = 4x² + 4x + 3 (8) y = 9x² + 12x – 6 (9) y = 2x² + 8x – 4

(10) y = 2x² + 5x + 1 (11) y = 3x² + x – 3 (12) y = x² + x – 1

(13) y = x² + 2x + 3 (14) y = 2x² – 12x + 5 (15) x² + x + 1 = 0

(16) y = 3x² – 6x + 1 (17) y = x² – 2x – 5 (18) y = 2x² – 6x + 7

4. 利用上面的結果，寫出各函數的 頂點、對稱軸、最大值 或 最小值：

(1) y = x² + 2x (2) y = x² – 4x (3) y = x² + 6x

頂點： 頂點： 頂點：

對稱軸： 對稱軸： 對稱軸：

極值： 極值： 極值：

(4) y = x² – 10x (5) y = x² + x (6) y = x² + 8x + 16

頂點： 頂點： 頂點：

對稱軸： 對稱軸： 對稱軸：

極值： 極值： 極值：

(7) y = 4x² + 4x + 3 (8) y = 9x² + 12x – 6 (9) y = 2x² + 8x – 4

頂點： 頂點： 頂點：

對稱軸： 對稱軸： 對稱軸：

極值： 極值： 極值：

(10) y = 2x² + 5x + 1 (11) y = 3x² + x – 3 (12) y = x² + x – 1

(13) y = x² + 2x + 3 (14) y = 2x² – 12x + 5 (15) x² + x + 1 = 0

頂點： 頂點： 頂點：

對稱軸： 對稱軸： 對稱軸：

極值： 極值： 極值：

(16) y = 3x² – 6x + 1 (17) y = x² – 2x – 5 (18) y = 2x² – 6x + 7

頂點： 頂點： 頂點：

對稱軸： 對稱軸： 對稱軸：

極值： 極值： 極值：

圖形與交點

例：二次函數 y = x² – 5x + 6 的圖形：

y = x² - 5x + 6

O y

x

圖形與兩軸交點的關係：

二次函數 y = ax² + bx + c = ( x + p )( x + q ) (1) 圖形與 y 軸交點：( 0，c )

(2) 圖形與 x 軸：

(a) 圖形交於兩點 → 利用因式分解，將 ax² + bx + c = 0 分解成 ( x + p )( x + q ) = 0 交點坐標：( p，0 )、( q，0 )

(b) 圖形交於一點 → 利用乘法公式，將 ax² + bx + c = 0 分解成 ( x + p )² = 0 交點坐標：( p，0 ) [ 即 頂點坐標 ]

(c) 圖形沒有交點 → 沒有交點坐標 換句話說 ax² + bx + c

(a) 圖形交於兩點 ⇄ 判別式 D =b² – 4ac > 0

(b) 圖形交於一點 ⇄ 判別式 D = 0 [ 交點為頂點 ]

左邊函數圖形中，

(1) 圖形與 y 軸坐標：________

(2) 圖形與 x 軸坐標：

_______________________

動動腦

描繪下列各二次函數的圖形：

(1) y = x² (2) y = x²

【討論】 比較上面兩個圖形，有沒有發現什麼？為什麼？

【附件】

拋物線