代数系统定义与实例

1



代数系统定义



同类型与同种的代数系统



子代数



积代数

5.2 代数系统及其子代数、积代数

代数系统定义与实例

定义

非空集合 S 和 S 上 k 个一元或二元运算 f

,

f

, … , f

组成的系统称为一个代数系统 , 简称

代数，记做 V=<S, f

, f

, … , f

>.

S 称为代数系统的载体， S 和运算叫做代数

系统的成分 . 有的代数系统定义指定了 S 中的

特殊元素，称为代数常数 , 例如二元运算的单

位元 . 有时也将代数常数作为系统的成分 .

3

实例

<N,+>, <Z,+,·>, <R,+,·> 是代数系统，

+ 和 · 分别表示普通加法和乘法 .

<M

(R),+,·> 是代数系统，

+ 和 · 分别表示 n 阶 (n≥2) 实矩阵的加法和乘法 .

<Z

, ,> 是代数系统， Z

＝ {0, 1, … , n-1} ，

 和  分别表示模 n 的加法和乘法， x,y Z ∈

， x y = (x ＋ y) mod n ， xy = (xy) mod n

<P(S), ,∩,~> ∪ 也是代数系统，

∪ 和∩为并和交， ~ 为绝对补

4

同类型与同种代数系统

定义 (1) 如果两个代数系统中运算的个数相同，

对应运算的元数相同，且代数常数的个数也相同

，则称它们是 同类型的 代数系统 .

(2) 如果两个同类型的代数系统规定的运算性质

也相同，则称为 同种的 代数系统 . 例 1 V

= <R, +, ·, 0, 1>,

V

= <M

(R), +, ·, , E>,

 为 n 阶全 0 矩阵， E 为 n 阶单位矩 阵

V = <P(B), , ∩, ∪ , B>

5

V₁ V₂ V₃

+

可交换 , 可结

·

可交换 , 可结 合

满足消去律 合

·

满足消去律

·

对 + 可分配

+

对 · 不可分配

与 · 没有吸收

律

+

可交换 , 可结

·

可交换 , 可结合 合

满足消去律

·

满足消去律

·

对 + 可分配

+

对 · 不可分配

与 · 没有吸收

律

∪ 可交换 , 可结合

∩

可交换 , 可结合

∪ 不满足消去律

∩

不满足消去律

∩

对∪可分配

∪ 对∩可分配

∪ 与∩满足吸收律

V

, V

, V

是同类型的代数系统 V

, V

是同种的代数系统

V

, V

与 V

不是同种的代数系统

同类型与同种代数系统（续）

子代数

定义 设 V=<S, f

, f

, … , f

> 是代数系统， B 是 S 的非空子集 ，如果 B 对 f

, f

, … , f

都是封 闭的，且 B 和 S 含有相同的代数常数，则称 <

B, f

, f

, … , f

> 是 V 的子代数系统，简称 子代 数 . 有时将子代数系统简记为 B.

实例 N 是 <Z,+> 和 <Z,+,0> 的子代数 . N{0} 是

<Z,+> 的子代数，但不是 <Z, ＋ ,0> 的子代数 说明：

子代数和原代数是同种的代数系统

对于任何代数系统 V ，其子代数一定存在 .

7

关于子代数的术语

最大的子代数 就是 V 本身 . 如果 V 中所有代数常 数构成集合 B ，且 B 对 V 中所有运算封闭，则 B 就构成了 V 的最小的子代数 . 最大和最小子代 数称为 V 的平凡的子代数 . 若 B 是 S 的真子集

，则 B 构成的子代数称为 V 的真子代数 .

例 2 设 V=<Z,+,0> ，令 nZ = { nz | z Z} ∈ ， n 为

自然数，则 nZ 是 V 的子代数 , 当 n = 1 和 0

时， nZ 是 V 的平凡的子代数，其他的都是 V

的非平凡的真子代数 .

积代数

定义 设 V¹=<S₁,^o>

和 V

> 是代数系统，其中

和  是二元运算 . V

与 V

的 积代数 是 V=<S

S

S

<x₁,y₁> ∙ <x₂,y₂>=<x₁^ox₂, y₁

y

例 3 V¹=<Z,+>, V₂=<M₂(R), ∙ >, 积代数 < ZM²(R),^o>

<z1,M1>, <z2,M2>ZM2(R) ,

<z1,M1> ^o <z2,M2> = <z1+z2, M1∙M2>

 

 



 

 



 



 





 



 



 

0 2

1 , 2

1 3 0

1 , 2

1 2 1

0 , 1

5 

9

积代数的性质

定理 设 V1 = <S₁,o> 和 V2 = <S₂,





(1) 若 ^o 和



(2) 若 ^o 和



(3) 若 ^o 和



(4) 若 ^o 和



也具有单位元 <e1,e₂>

(5) 若 ^o 和



也具有零元 < 1, 2>

(6) 若 x 关于 ^o 的逆元为 x^1, y 关于



么 <x,y> 关于 运算也具有逆元∙ <x^1,y^1>

5.3 代数系统的同态与同构



同态映射的定义



同态映射的分类



单同态、满同态、同构



自同态



同态映射的性质

11

同态映射的定义

定义 设 V

=<S

,∘> 和 V

=<S

, > 是代数系统，其 中 和 ∘ 是二元运算 . f: S

S

, 且 x,yS

, f (x ∘ y) =

f(x) f( y), 则称 f 为 V

到 V

的同态映射，简称

同态 .

更广泛的同态映射定义

定义 设 V

=<S

, , ∘ ∙> 和 V

=<S

, , ◊> 是代数系统，

其中 和 ∘ 是二元运算 . f: S

S

, 且 x,yS

f (x ∘ y) = f(x)  f(y) , f (x ∙ y) = f(x) ◊ f(y) 则称 f 为 V

到 V

的同态映射，简称同态 . 设 V

=<S

, ,∙, ∘ ∆> 和 V

=<S

, , ◊, ∇> 是代数系统

，其中 和 ∘  是二元运算 . ∆ 和 ∇是一元运算， f : S

S

, 且 x,yS

f (x∘y)=f(x)f(y), f (x∙y)=f(x)◊f(y), f (∆ x)= ∇f(x)

则称 f 为 V

到 V

的同态映射，简称同态 .

13

例题

例 1 V=<R*,>, 判断下面的哪些函数是 V 的自同态

？

(1) f(x)=|x| (2) f(x)=2x (3) f(x)=x

(4) f(x)=1/x (5) f(x)= x (6) f(x)=x+1

解 (2) , (5), (6) 不是自同态 .

(1) 是同态， f(xy) = |x  y| = |x| |y| = f(x) f(y) (3) 是同态， f(x  y) = (x  y)

= x

y

= f(x) f(y)

(4) 是同态， f(xy) = 1/(x  y) =1/x 1/y = f(x) f(y)

特殊同态映射的分类

同态映射如果是单射，则称为单同态；

如果是满射，则称为 满同态，这时称 V

是 V

1

的同态像，记作 V

V

；

如果是双射，则称为 同构，也称代数系统 V

同构于 V

，记作 V

V

.

对于代数系统 V ，它到自身的同态称为自同态 .

类似地可以定义单自同态、满自同态和自同构

15

同态映射的实例

例 2 设 V=<Z,+> ， aZ ，令 f

： ZZ ， f

(x)=ax 那么 f

是 V 的自同态 .

因为 x,yZ ，有

f

(x+y) = a(x+y) = ax+ay = f

(x)+f

(y)

当 a = 0 时称 f

为零同态；

当 a=1 时，称 f

为自同构；

除此之外其他的 f

都是单自同态 .

例 3 设 V

=<Q,+>, V

= <Q*, > ，其中 Q*= Q{0} ， 令

f ： QQ*, f(x)=e

那么 f 是 V

到 V

的同态映射，因为 x, yQ 有 f(x+y) = e

= e

e

= f(x)  f(y).

不难看出 f 是单同态 .

同态映射的实例（续）

17

同态映射的实例（续）

例 4 V

=<Z,+> ， V

=<Z

,  > ， Z

={0,1, … , n- 1},  是模 n 加 . 令

f ： Z→Z

， f(x) = (x)mod n

则 f 是 V

到 V

的满同态 . x, y Z ∈ 有 

f(x+y) = (x+y)mod n

= (x)mod n  (y)mod n

= f(x)  f(y)

例 5 设 V=<Z

, > ，可以证明恰有 n 个 G 的自同态，

 f

： Z

→Z

,

f

(x) = (px)mod n ， p = 0,1, … , n  1 例如 n = 6, 那么

f

为零同态；

f

与 f

为同构；

f

与 f

的同态像是 { 0, 2, 4 } ； f

的同态像是 { 0, 3 }.

同态映射的实例（续）

19

同态映射保持运算的算律

设 V

,V

是代数系统 .

,∗ 是 V

上的二元运算，

’,

∗ ’ 是

V

上对应的二元运算，如果 f ： V

V

是满同态，

那么

(1) 若

运算是可交换的（可结合、幂等的），则

’ 运算也是可交换的（可结合、幂等的） .

(2) 若

运算对 运算是可分配的，则 ∗

’ 运算对 ’ ∗

运算也是可分配的；若

和 运算是可吸收的， ∗

则

’ 和 ’运算也是可吸收的。 ∗

(3) 若 e 为

运算的单位元，则 f(e) 为

’ 运算的单位 元 .

(4) 若 为

运算的零元，则 f() 为

’ 运算的零元 . (5) 设 uV

，若 u

是 u 关于

运算的逆元，则 f

(u

)

是 f(u) 关于

’ 运算的逆元。

同态映射保持运算的特异元素

21

同态映射的性质

说明：

上述性质仅在满同态时成立，如果不是满同态，

那么相关性质在同态像中成立 .

同态映射不一定能保持消去律成立 .

例如 f : ZZ

是 V

=<Z,· > 到 V

=<Z

,>

的同态， f(x)=(x)mod n, V

中满足消去律，但是

当 n 为合数时 , V

中不满足消去律 .

例题

证 假设

是 V

到 V

的同构，那么有 f ： V

，

于是有

 f(1)+f(1) = f((1)(1))= f(1)=0

从而 f(1)=0 ，又有 f(1)=0 ，这与

的单射性矛盾 .

例 3 设 V

=<Q,+> ， V

=<Q*,·> ，其中 Q 为有 理数集合， Q*=Q{0} ， + 和 · 分别表示普通加 法和乘法 .

证明不存在 V

到 V

的同构 .