第十节 闭区间上连续函数 的性质

第十节 闭区间上连续函数 的性质

一、最大值和最小值定理 二、介值定理

三、小结

一、最大值和最小值定理

定义 :

. )

( )

( )

(

)) (

) ( ( )

( )

(

,

), (

0

0 0

0

值 小

上的最大 在区间

是函数 则称

都有 使得对于任一

如果有

上有定义的函数 对于在区间

I x

f x

f

x f x

f x

f x

f

I x

I x

x f I









例如 ,

, sgn x

y  在

(

,

)

,

,

max 

2

;

min  1 y

, )

, 0

(

在  y_max  y_min 

1 .

sin

1 x

y   _{在[0,2]上,} y_min 

0 ; ,

max 

1

定理 1( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 .

a ₂ ₁ b x

y

o

) ( x f y 

).

( )

(

), (

) (

], ,

[

], ,

[ ,

], ,

[ )

(

2 1

2 1

x f

f

x f

f

b a x

b a

b a C x

f























使得 则 若

注意 :1. 若区间是开区间 , 定理不一定成立 ; 2. 若区间内有间断点 , 定理不一定成立 .

x y

o

) ( x f y 

2 1

1 x

y

o

2



) ( x f y 

定理 2( 有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一 定在该区间上有界 .

二、介值定理

定理 3(零点定理) 设函数 f ( x)在闭区间

 

上连续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a )  f (b)  0), 那末在开区间





定义 :

. )

(

, 0 )

( _{0 0}

0

的零点

称为函数 则

使 如果

x f

x x

f

x 

. )

, ( 0

)

(

f x

a b

a ₁ ₂ ₃ b

几何解释 :

. ,

) (

轴至少有一个交点 线弧与

则曲 轴的不同侧

端点位于

的两个 连续曲线弧

x x

x f

y 

定 理 4( 介 值 定 理 ) 设 函 数 ^{f ( x )} 在 闭 区 间

 

上 连 续 ， 且 在 这 区 间 的 端 点 取 不 同 的 函 数 值 ^{f ( a )  A} 及 ^{f ( b )  B} ,

那 末 ， 对 于 A 与 B 之 间 的 任 意 一 个 数 ^C ， 在 开 区 间





f (

)

C

x y

o

) ( x f y 

几何解释 :

M B C

A m

a

b

1 ₂ ₃ x₂

x1 x

y

o

) ( x f y 

证 _设^{(x)  f (x)  C,} , ]

, [ )

( 在 上连续

则 x a b

C a

f

a)  ( ) 

( 且

, C A 



C b

f

b)  ( ) 

(  B  C, ,

0 )

( )

(  

 a  b _{由零点定理 ,}  ( ba, ),_使 ,

0 )

( 

 _即₍ _{)  f (} _{)  C  0,}  f ( )  C. .

) ( 至少有一个交点

直线

与水平 连续曲线弧

C y

x f y





推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值 .

例 1

.

) 1 , 0 ( 0

1 4

3

至少有一根

内 在区间

证明方程

x

证 ^{令 f (x)  x3  4x2  1,} 则 xf ( )在[0,1]上连续,

, 0 1

) 0

(  

又 f f (1)  2  0, 由零点定理 , 使

), ,

( ba



 f ⁽ ^{)  0,} _即 ³  4 ²  1  0, . )

1 , 0 ( 0

1 4 ²

3 _{在 内至少有一根} 方程   

 x x

M m

例 2

. )

( ),

, ( .

) (

, )

( ,

] , [ )

(













f

b a b

b f

a a

f b

a x

f

使得 证明

且 上连续

在区间 设函数

证 令 ^{F(x)  f (x)  x,} 则F(x)在[a,b]上连续, a

a f a

F( )  ( ) 

而  0,

由零点定理 , 使

), ,

( ba



  F⁽ ^{) } f ⁽ ^{) }  ^{ 0,}

b b

f b

F( )  ( )   0,

. )

(   即 f

三、小结

四个定理

有界性定理 ; 最值定理 ; 零点定理 ; 介值定理 注意　 1 ．闭区间； 2 ．连续函数．

这两点不满足上述定理不一定成立．

解题思路

1. 直接法 : 先利用最值定理 , 再利用介值定理

;2. 辅助函数法 : 先作辅助函数 F(x), 再利用零点定理

;

思考题

下述命题是否正确？

如果

f (x )

[ b a , ]

( b a , )

内连续，且

f ( a )  b f ( )  0

f (x )

)

,

( b a

思考题解答

不正确 .

例函数 







 

0 ,

2

1 0

) ,

( x

x x e

f ) (x

f

( 0 , 1 )

^{( 0 )}

^{( 1 )}

²

^{0 .}

但

f ( x )

( 0 , 1 )

一 、 证 明 方 程 x  a sin x  b ， 其 中 a  0 , b  0 ， 至 少 有 一 个 正 根 ， 并 且 它 不 超 过 a  b .

二 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 连 续 ， b

x x

x

a  1  2    _n  则 在 [ x ₁ , x _n ] 上 必 有

 ， 使

n

x f x

f x

x f

f ( ) ( ) ... ( ⁿ )

)

( ¹  ²  

 .

练 习 题