一、乘法公式與多項式
1-1 多項式的乘法
【二項式相乘公式】
如下圖，一個長為a b ，寬為c d 的長方形，其面積為 (a b c d )( )，也等於四個長方形的面積和，即ac ad bc bd 。
我們也可利用分配律來展開 (a b c d )( )的乘積而得到下列的公式：
(a b c d )( )ac ad bc bd 【公式 1】
在應用上，a、b、c 及 d 可為數字或任何文字符號。
【範例1】利用公式 1 展開下列各式：
(1) (1a)(1b) (2) (x2)(x3) (3) (2x y )(3x y )
【解】 (1) (1a)(1b) 1 1 1 b a 1 a b
1 a b ab
(2) (x2)(x3) x x x 3 2 x 2 3
x25x6
(3) (2x y )(3x y ) (2x y )[3x ( y)]
2 3x x 2 (x y) y x y3 ( y)
6x22xy3xy y 2
6x2xy y 2
在上例的第(2)題中，x25x6的x2項(或稱二次項)係數為 1，x 項 (或稱一次項)係數為 5，常數項為 6，其中最高次項為二次，所以稱
2 5 6
x x 為x 的二次多項式，並簡稱為一元二次式。在第(3)題中，
2 2
6x xy y 有x、y 兩個變數，其中 6x2、xy 和 y2都是二次項。因此，它 c
a b
d
ac bc
ad bd
的最高次項為二次，所以稱它為x 和 y 的二次多項式，並簡稱為二元二 次式。
【類題練習1】展開下列各式：
(1) (5x2)(2x3) (2) ( 2 x 3 )(3y x4 )y
二項式相乘公式也常運用於來簡化數的計算過程，例如：
求123279 127121 123121 127279 的值。
我們觀察到123279 與 123121 有公因數 123；127121 與 127279 有公 因數127，所以
123279 127121 123121 127279
123279 123121 127279 127121
123(279 121) 127(279 121)
(279 121)(123 127)
400250
100000。
【範例2】展開下列各式：
(1) (x1)(x5x4 x3x2 x 1) (2) (x1)(x4 x3 x2 x 1)
【解】 利用分配律：
(1) (x1)(x5x4 x3 x2 x 1)
6 5 4 3 2 5 4 3 2 1
x x x x x x x x x x x
6 1
x
(2) (x1)(x4 x3 x2 x 1)
5 4 3 2 4 3 2 1
x x x x x x x x x
5 1
x
【範例3】 分別求(3x25x 1)( 2x34x2 的展開式中，x 3) x 、5 x 、3 x 和2 x 的係數。
【解】 利用分配律做展開運算時，只需要觀察兩式中，兩項次數的和等 於所要求次數，則其係數乘積的總和即為所求，因此
x 的係數為 5 3 ( 2) 6；
x 的係數為 3 ( 1) ( 5) 4 1 ( 2)3 3 20 2 ；25 x 的係數為 3 3 ( 5) ( 1) 1 4 9 5 4 182 ； x 的係數為 ( 5) 3 1 ( 1) 15 1 16。
【類題練習 2】分別求(3x4 x3 2x2 5x 1)( 2x34x2 的展開式中，x 3) x 、7 x 、6 x 、 x 的係數。4
【重點整理】
1. 【二項式相乘公式】
(a b c d )( )ac ad bc bd ，其中a、b、c 及 d 可為數字或任何文 字符號。
2. 兩多項式相乘，若求部分項的係數時，只需將兩多項式中次數和相等 的兩項係數相乘後，再求其和即可。
【家庭作業】
基礎題
1. 展開下列各式：
(1 2 )(2 3 ) a b ( x 5 )(2y x y )
(x1)(x2)(x3) (x1)(x2)(x3)(x4)
2. 分別求(x5 2x35x1)(3x5x42x33x2 7x 的展開式中，5) x 、8 x 、7 x 、5 x 、 x 及常數項的係數。3
進階題
3. 回答下列各題：
若(x3 ax2)(2xa)的展開式中，x3的係數為 9，求 a 的值。
若x(x1)3，求(x1)2(x2)2 3(x3)(x4)5的值。
若 a、b、c 是整數，且2x2 3x5a(x1)2 b(x1)c， 求a、b、c 的值。
4. 試證明下列兩式成立：
(x1)(xn1xn2 x2 x 1) xn 1
(x1)(xn1xn2 xn3 x2 x 1) xn 1，其中 n 是奇數。
1-2 平方公式
多項式的乘法公式除了用來簡化多項式的乘法運算外，還可運用於因 式分解。我們首先來複習已經學過的平方公式，然後再延伸到立方公式。
【完全平方公式】
我們觀察到上圖中，邊長為(a+b)的大正方形是由邊長分別為 a、b 的兩個 正方形A、B，和 C、D 兩個長方形所組合而成，其中 C 的面積為 ab、D 的 面積為ba，所以，大正方形的面積等於 A、B、C、D 四個區域的面積總和，
也就是說
(a b )2 a2 + b2 + ab + ba
a2 + b2 + 2ab
a2 + 2ab + b2。 因此，我們得到和的平方公式：
(a b )2 a22ab b 2 【公式 2】
事實上，將公式 1 中的 c、d 分別以 a、b 代入，也可以得到 (a b a b )( ) a a a b b a b b
a2 2ab b 。2
【範例1】利用公式 2 展開下列各式：
(1) (x1)2 (2) (2x3 )y 2
【解】 (1) (x1)2 x2 2 x 1 12
x22x1
b
a
A D
C B
b a a
b
乘法交換律：
ba＝ab 乘法交換律：
(2) (2x3 )y 2 (2 )x 2 2 (2 ) (3 ) (3 )x y y 2
4x2 12xy9y2
有了和的平方公式，是否也有差的平方公式呢？如果在下面的左圖 中，我們剪下一個邊長為a b 的正方形，如下圖：
由上面各圖形之間面積的關係，我們知道(a b )2 a2b22ab。
同樣的，若將公式1 中的 b、c、d 分別以 b、a、 b 代入，即可得 (a b a b )( ) a a a ( ) ( )b b a ( ) ( )b b
a2 2ab b ，2 因而得到差的平方公式：
(a b )2 a2 2ab b 【公式 3】2 其實，只要將公式2 中的 b 改為 b，也可得到公式 3。
【範例2】利用公式 3 展開下列各式：
(1) (x a )2 (2) (2x3 )y 2
【解】 (1) (x a )2 x2 2 x a a2
x2 2ax a 2
(2) (2x3 )y 2 (2 )x 2 2 (2 ) (3 ) (3 )x y y 2
4x212xy9y2
b
b a
a
a b 2b2
b b a
a-b a a2
我們也常用和或差的平方公式來簡化數的計算，例如：在求1092時，
可將109 寫成 100 9，再利用公式 2 即可求得：
1092= (100 9) 2 1002 2 100 9 9 2
10000 1800 81
11881 接著來看三項和的平方公式。由下圖，
我們觀察到，邊長為(a+b+c)的大正方形是由邊長分別為 a、b、c 的三個正 方形，和六個面積分別為ab、bc、ac 的長方形所組合而成，所以，大正方 形的面積等於這九個區域的面積總和，也就是說
2 2 2 2
(a b c ) a b c 2ab2bc2ca
此外，我們知道a b c (a b) c，所以利用公式(2)即可得到：
(a b c )2[(a b ) c]2
(a b )2 2 (a b c c) 2
a22ab b 2 2ac2bc c 2
a2 b2 c2 2ab2bc2ac 因此，得到三項和的完全平方公式：
(a b c )2 a2 b2 c2 2ab2bc2ac 【公式 4】
【範例3】利用公式 4 展開下列各式：
(1) (x y 3)2 (2) (a2b3 )c 2
a b
a
b
c
c
a2 ca
ca
b2
c2 bc
bc ab
ab
【解】 (1) (x y 3)2 x2 y2 32 2 x y 2 y 3 2 3 x
x2y2 9 2xy6y6x
x22xy y 26x6y9
(2) (a2b3 )c 2 [a(2 ) ( 3 )]b c 2
a2(2 )b 2 ( 3 )c 22 (2 ) 2(2 )( 3 ) 2( 3 )a b b c c a
a24b29c24ab12bc6ca
【類題練習1】試利用公式4 展開下列各式：
(1) (2x y 3 )z 2 (2) ( 3 x 4y5 )z 2
【平方差公式】
事實上，將公式 1 中的 c、d 分別以 a、b取代，即可得：
(a b a b )( ) a a a ( )b b a b ( )b
a2 b2 因而得到平方差公式：
(a b a b )( ) a2 b2 【公式 5】
【範例4】利用公式 5 展開下列各式：
(1) (3x4 )(3y x4 )y (2) (a b c a b c )( )
【解】 (1) (3x4 )(3y x4 )y (3 )x 2(4 )y 2
9x2 16y2
(2) 由 a b c a (b c) 和 a b c a (b c)，可以得到：
(a b c a b c )( ) [a (b c a)][ (b c)]
a2 (b c)2
a2 (b2 2bc c 2)
a2 b22bc c 2
如同完全平方公式，我們也常利用平方差公式來簡化數的計算。例如：
求78822122的值時，我們可得到下列算式：
7882 2122 (788 212)(788 212)
1000576
576000
又如求10793 的值時，我們觀察到 107 100 7、93 100 7，所以可得 到下列算式：
10793 (100 7)(100 7)
1002 72
10000 49 9951
【類題練習2】求下列各式的展開式：
(1) (x3y1)(x3y1) (2) (x y ) (2 x y )2
【重點整理】
1. 常用的平方公式有:
【乘法分配律】 (a b c d )( )ac ad bc bd
【和的平方公式】 (a b )2 a2 2ab b 2
(a b c )2 a2 b2 c2 2ab2bc2ac
【差的平方公式】 (a b )2 a22ab b 2
【平方差公式】 (a b a b )( )a2 b2
2. 做乘法運算時，有時候可以用平方公式來簡化運算過程。
【家庭作業】
基礎題
1. 展開下列各式：
(4x3)2 ( 5 x 2 )y 2
2 3 2
( )
3a2b (x3y5)2
(2x y 3)2 2 2
( 3 )( 3 ) 5x y 5x y (x1)(x1)(x2)(x2) (x2)(x2)(x24) 2. 回答下列各題：
求
2
2 2
176
138 38 。 求 19 1 (19 ) (20 )
20 20 。 求2001 2003 1998 2006 。
已知(6825.5)2 68252 ，求 x 的值。x 進階題
3. 展開下列各式：
2 2(2 3) )
3 2
( a a (a22ab4 )(b2 a2 2ab4 )b2 (a b c a b c )( ) (a2)4
4. 回答下列各題：
求1994 2006 1999 2的值。
求 2 2852 1152 2 285 230 285 115
的值。
5. 回答下列各題：
利用乘法公式展開 1 2 (x )
x 。 若 1
3
x ，求x 2 12
x x 的值。
1-3 立方公式
在國中時期，同學們較少接觸到立方的乘法運算，事實上，在多項式 的乘法和因式分解的過程中，立方公式也經常被引用。
【完全立方公式】
如下圖，一個邊長為( a b )的正立方體可切割成 2 個邊長分別為 a、b 的正立方體，3 個體積為a b 的長方體和 3 個體積為2 ab 的長方體，即2
3 3 2 2 3
(a b ) a 3a b3ab 。b
至於(a b )3a33a b2 3ab2 圖形的切割，請同學自行試驗。b3 事實上，展開(a b )3時，可先將(a b )3寫成(a b a b )( )2，再利用 二項和的平方公式與分配律展開即可，也就是說：
(a b )3 (a b a b )( )2
(a b a )( 2 2ab b 2)
a32a b ab2 2a b2 2ab2b3
a33a b2 3ab2b3 由此，我們可得到和的完全立方公式：
(a b )3 a33a b2 3ab2 b3 【公式 6】
b a b a b
a b
b b b a
b a
b b
a a
b
a
b a a
a a b
a
b a a
b
同樣的，展開(a b )3的乘積，並經化簡後即可得到差的完全立方公 式：
(a b )3 a33a b2 3ab2b3 【公式 7】
其實，只要將公式6 中的 b 以 b 代入，同樣可得公式 7。
【範例1】展開下列各式：
(1) (x2)3 (2) (3x2 )y 3 (3) (4a5 )b 3
【解】 (1) (x2)3 x3 3 x2 2 3 x 2223
x36x212x8
(2) (3x2 )y 3 (3 )x 3 3(3 ) (2 ) 3(3 )(2 )x 2 y x y 2 (2 )y 3
27x354x y2 36xy2 8y3
(3) (4a5 )b 3 (4 )a 3 3(4 ) (5 ) 3(4 )(5 )a 2 b a b 2(5 )b 3
64a3240a b2 300ab2125b3
【類題練習1】展開下列各式：
(1) 3 1 3
( )
2x2y (2) 2 5 3
(4 )
a 2b
【立方和與立方差】
我們可利用分配律來展開(a b a )( 2 ab b 2)即可得到：
2 2
(a b a )( ab b )= a3 a b ab2 2 a b ab2 2b3
= a3 b3 因此，得到立方和公式：
(a b a )( 2ab b 2)= a3 b3 【公式 8】
【範例2】利用公式 8 展開下列各式：
(1) (x2)(x2 2x (2) 4) (2a5 )(4b a210ab25 )b2
【解】 (1) 由(x2)(x22x4) (x2)(x2 x 2 2 )2 ，與公式 8 比較可知，
以 x 取代 a，以 2 取代 b，可得 (x2)(x22x4) x323
x38。 (2) (2a5 )(4b a210ab25 )b2
(2a5 )[(2 )b a 2 (2 )(5 ) (5 ) ]a b b 2
(2 )a 3(5 )b 3
8a3125b3
同樣的，我們可以展開(a b a )( 2 ab b 2)並經合併化簡後，而得到 立方差公式：
2 2
(a b a )( ab b ) a3b3 【公式 9】
其實，只要把公式8 中的 b 以 b 代入，即可得公式 9。
【範例3】利用公式 9 展開下列各式：
(1) (2x1)(4x2 2x (2) 1) ( )( 2 2) 3 2 9 6 4 a b a ab b
【解】 (1) (2x1)(4x2 2x 1) (2x1)[(2 )x 2 (2 ) 1 1 ]x 2
(2 )x 3 13
8x31 (2)
2 2
( )( )
3 2 9 6 4
a b a ab b ( )[( )2 ( ) ]2 3 2 3 3 2 2 a b a a b b
( )3 ( )3
3 2
a b
3 3 27a b8
【類題練習2】(1) 試展開
2
2 5
(5 )(25 )
2 2 4
b ab b
a a 。
(2) 試展開(x3 )(y x2 )(y x22xy4 )(y2 x23xy9 )y2 。
(3) 已知x3 ，求2 (x3)(x23x 的值。9)
【重點整理】
1. 常用的立方公式有:
【和的立方公式】 (a b )3 a33a b2 3ab2b3
【差的立方公式】 (a b )3 a33a b2 3ab2b3
【立方和公式】 (a b a )( 2 ab b 2) a3 b3
【立方差公式】 (a b a )( 2 ab b 2)a3b3
【家庭作業】
基礎題
1. 展開下列各式：
( x 2)3 (2a3 )b 3
2 2
( )( )
3 2 9 6 4
x y x xy y (2 )(4 2 2)
2 4
b b
a a ab
2 2
(a3)(a3)(a 3a9)(a 3a9) 2. 利用乘法公式回答下列各題：
已知x3 2，求(x2 1)(x4 x2 1)的值。
求 1 3 2 3 (5 ) (4 )
3 3 。 進階題
3. 回答下列各題：
展開(a1)(a1)(a2 a 1)(a2 。a 1)
設a3 ，求8 (a1)(a1)(a2 a 1)(a2 的值。a 1) 設a2 ，求5 (a1)(a1)(a2 a 1)(a2 的值。a 1)
4. 回答下列各題：
已知 a b 3 且 ab 2，求(1) a2b2 (2) a3b3的值。
已知a b1且a2 b2 5，求(1) ab (2) a3 b3的值。
