3-1三角形的內角與外角三角形的內角度數和為

(1)

3-1 三角形的內角與外角

三角形的內角度數和為180°

例題1--- 右圖△ABC 中，∠1＝75°，∠2＝60°，求∠3 的度數。

---

∠3＝180°－75°－60°＝45°。

Ex1--- 已知△ABC 中，∠A＝55°，∠B＝25°，求∠C 的度數。

---

例題2--- 右圖△ABC 中，已知∠A、∠B、∠C 的度數成等差數列，且∠A＝50°，求∠C 的度

數。--- ---

∠C＝( 50＋2 × 10 )°＝70°

Ex2--- 已知△ABC 中，∠A、∠B、∠C 的度數成等差數列，且∠C＝80°，求∠A 的度

數。--- ---

A

B

1

2 3

C

(2)

多邊形的內角和

四邊形的內角和180° × ( 4－2 ) 五邊形的內角和 180° × ( 5－2 ) 內角和定理：n 邊形的內角和為 180° × ( n－2 )，其中 n ≥ 3。

說明：n 邊形可用通過同一頂點的對角線分割成( n－2 ) 個三角形，再利用「三角形的內角

和為180°」，即可推得。

例題3--- 六邊形ABCDEF 的內角和為多少

---

Ex3---

筱珮求四邊形ABCD 的內角和時，使用下列方法：

先在四邊形的內部找一點E，

然後連接、、、，

則四邊形ABCD 被分成四個三角形。

因此四邊形ABCD 的內角和

　　＝180° × 4＝720°

為什麼筱珮的答案比四邊形的內角和多360°？試說明理

由。--- ---

例題4---

右圖五邊形ABCDE 中，已知∠A＝120°，∠B＝100°，∠C＝115°，∠D＝135°，

求∠E 的度

數。--- ----

∠E＝540°－( 120°＋100°＋115°＋135° )

＝540°－470°

A

E

B

C

D

A

E

B C

D

(3)

＝70°

Ex4---

已知六邊形ABCDEF 中，∠B＝100°，∠C＝140°，∠D＝95°，∠E＝120°，∠F＝125°，

求∠A 的度數。

---

正n 邊形每個內角的度數均為，其中 n ≥ 3。

例題5--- 求正八邊形的一個內角度

數。--- ----

＝＝135°

三角形的外角和

由一內角的一邊和另一邊的延長線所成的角稱為這內角的外角，因此，∠1、∠2 與∠3 分別稱為△ABC 三內角∠BAC、∠CBA 與∠ACB 的外角，

此時，∠1 和∠BAC 互為補角，亦即內角和其一個外角互為補角。

繞△ABC 逆時針走一圈時∠1、∠2 與∠3 是△ABC 的一組外角。

反之，依順時針方向走一圈時，可得到另外一組外角∠4、∠5 與∠6。

(4)

B

C A

3 1 2

4 6 5

例題6---

如右圖，筱珮從P 點出發，沿 P → A → B → C → P 的路線走。若∠CAB＝30°，∠ABC＝

80°，∠BCA＝70°，則：

(1) △ABC 的外角分別是多少度？

(2) 筱珮共轉了多少

度？--- ---

(1)　∠CAB 的外角為 180°－30°＝150°，

∠ABC 的外角為 180°－80°＝100°，

∠BCA 的外角為 180°－70°＝110°。

(2) 筱珮在 A 點轉了 150°，在 B 點轉了 100°，在 C 點轉了 110°，

因此共轉了 150°＋100°＋110°＝360°。

Ex5---

如右圖，智晴從P 點出發，沿 P → A →

B → Q 的路線走。若∠A＝45°，∠B＝30°，

則她共轉了多少

度？--- ----

135°＋150°＝285°

三角形的一組外角和為360°。

例題7--- 右圖△ABC 中，若∠A 的外角為 120°，求∠B 與∠C 的外角

和。---

A B

C P

A B

P Q

C

A

B

C

(5)

---- 240°

Ex7--- 如右圖，若∠1＋∠2＝230°，求∠A 的度

數。--- ---

∠A 的外角＝360°－230°＝130°，

∠A＝180°－130°＝50°。

三角形的外角定理：

三角形的任一外角等於其兩個內對角的和。

如圖∠BAC 的外角恰為其內對角∠B、∠C 的和

任意畫出△ABC，延長至 D 點，如圖所示。此時∠DAB 為∠BAC 的外角，其餘兩個內角

∠B、∠C 是∠DAB 的兩個內對角。

例題8--- 右圖△ABC 中，已知∠BAC 的外角為 140°，∠B＝55°，求∠C 的度

數。--- ----

∠C＝140°－55°＝85°。

Ex8---

△ABC 中，若∠A 的外角為 166°，且∠B＝∠C，求∠C 的度

數。---

A

B C

2 1

A

B C

(6)

---

∠A 的外角＝∠B＋∠C＝166°，

又∠B＝∠C，故∠C＝166°÷2＝83°。

例題9--- 如圖，已知為∠BAC 的角平分線，∠B＝30°，∠ADC＝70°，求∠C 的度

數。--- ----

∠C＝180°－80°－30°＝70°。

Ex9--- 如圖，已知∠DEB＝120°，∠D＝40°，∠ACB＝60°，求∠DCA 的度

數。--- ---

∠DEB＝∠D＋∠DCE 120°＝40°＋∠DCE

∠DCE＝80°

∠DCA＝∠DCE－∠ACB＝80°－60°＝20°

例題10--- 如右圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度

數。--- ----

因為∠1 是△BDQ 的一個外角，

　　∠B、∠D 是它的內對角，

A

B C

D

A

B E C

D

(7)

所以∠1＝∠B＋∠D。

因為∠2 是△PAC 的一個外角，

　　∠A、∠C 是它的內對角，

所以∠2＝∠A＋∠C。

因為△EQP 的內角和是 180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 　　＝( ∠A＋∠C )＋( ∠B＋∠D )＋∠E　　＝∠2＋∠1＋∠E＝180°

Ex10--- 如右圖，已知∠1＝30°，∠2＝50°，求：

(1) ∠BAC＋∠B 的度數。

(2) ∠CAD＋∠D 的度數。

(3) ∠B＋∠BAD＋∠D 的度

數。--- ---

多邊形的外角和

外角和定理：n 邊形的一組外角和為 360°，其中 n ≥ 3。

正n 邊形每個外角的度數均為，其中 n ≥ 3。

例題11--- 利用外角和定理求正五邊形的一個內角度

A

B C

1 2

D

(8)

數。--- ----

因為正五邊形的一組外角和為 360°，

正五邊形每個外角的度數為＝72°，故正五邊形的一個內角度數為 180°－72°＝108°。

Ex11--- 利用外角和定理求正八邊形的一個內角度

數。--- ---

180°－＝180°－45°＝135°。

例題12--- 若正n 邊形每個內角都是 156°，則 n 是多

少？--- ---

正

n 邊形每個外角＝180°－156°＝24°，

則＝24°，n＝360°÷24°＝15。

Ex12--- 若正n 邊形每個內角都是 140°，則 n 是多

少？--- ----

正

n 邊形每個外角＝10°－140°＝40°，則＝40°，n＝9。

(9)

3-1 自我評量

下列哪一組是三角形的三內角度數？

( 15 分 )

(A) 80°、80°、10°　　(B) 50°、60°、80°

(C) 70°、70°、70°　　(D) 30°、110°、40°

答：　

(D) 　。

因為三角形的內角和為 180°，所以選(D)。

如右圖，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋

∠F＋∠G＋∠H 的度數。　　　　　( 15 分 )

所求＝四邊形

ACEG 與四邊形 BDFH 的內角和

　　＝360° × 2＝720°

如右圖，已知∠1＝80°，∠D＝45°，∠A＝63°，

求∠DBA、∠DCA 的度數。　　　　　( 20 分 )

∠1＝∠A＋∠DBA，∠DBA＝80°－63°＝17°。

∠1＝∠D＋∠DCA，∠DCA＝80°－45°＝35°。

如右圖，小美依逆時針方向繞五邊形公園 ABCDE 散步，由P 點出發，經過 B、C、D、E 到達 Q 點。

3-1三角形的內角與外角三角形的內角度數和為