第三节

二、高阶导数的运算法则

第三节

一、高阶导数的概念

高阶导数

第二章

一、高阶导数的概念

) (t s s 

速度 即

v  s 

加速度

d , d

t v  s

t a v

d

 d )

d ( d d

d

t s

 t

a  s (   )

定义 .若函数

y  f (x )

y   f  (x )

,

d d

2 2

x

y

) (  

  y

y

)

d ( d d

d d

d

2 2

x y x y  x

类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,

 1

n

n

y  , y

,  , y

或

,

d d

3 3

x

y ,

d d

4 4

x y

n n

x y d

, d

 )

(x

f

y 

) (x

f 

依次类推 分别记作,

则称

设

y  a

 a

x  a

x

   a

x

,

y

.

y   a

 2 a

x    n a

x





  2 a 1

y 3  2 a

x    n ( n  1 ) a

x

n

n a

y

 !

2

 3 x a

例 1.

思考 : 设

y  x

(  为 为 为 为 为 ) , y

 ?

n

n

n x

x

)   (   1 )(   2 ) (    1 )

(



问 可得

x)n

1 ( 

,

3

,

x

 e

a y  

解 :

特别有 :

解 :

! ) 1 ( n 

规定 0 ! = 1 思考 :

x

, e

y  y

.

x

, e

a

y   y   a

e

,

x a n

n

a e

y



x n

x

e

e )

 (

例 3. 设

y  ln ( 1  x ) ,

y

. 1 ,

1 y x

 

 ,

) 1

(

1 x

y     ,

) 1

(

2 ) 1

1

(

y x



 

 

)



y

(  1 )

,

) 1

(

ln x

y   y



y x

 

 

1 1



  y

x n

n

) 1

(

! ) 1 (



 

)2

1 (

1

 x

 ,

例 4. 设

y  sin x ,

y

.

y   cos x  sin( x 

)

) cos( 

  x

y  sin( x 



) )

2 sin(  

 x

) 2

cos(  

  x

y  sin( x  3 

)

(sin x )

 sin( x 

类似可证 :



 x

x )

cos(

(cos

2

)



n

2

)



n

例 5. 设

f ( x )  3 x

 x

x ,

f

( 0 )

f (x )     4 x

, x  0

 0 , x

2 x

x

f x

x

0 lim 2

) 0

(

0

 





 0

x f x

x

0 lim 4

) 0

(

0

 





 0

 0 x

 0

 x

 

 

 f (x ) 12 x

, , 6 x

 



( 0 )

f x

x

x

2 0

lim 6

 

 0

 



( 0 )

f x

x

x

2 0

lim 12

 

 0  f  (x )    

但是

f

 ( 0 )  12 , f

 ( 0 )  24 ,  f  ( 0 )

.

 ____

n ²

又

24x , x  0

 0 x ,

12x

二、高阶导数的运算法则

都有

n

) 则

)

( .

1 u  v

 u

 v

)

)

( .

2 C u

 C u

)

 )

( .

3 u v

u

v 

! 2

) 1 (



!

) 1 (

) 1 (

k

k n

n

n

  



  

 



v

u

) ( ) (n k

v

u

)

v

 u



莱布尼兹 (Leibniz) 公式

)

(x u

u 

v  v (x )

 



v u

n

例 6.

y  x

e

,

y

.

u  e

, v  x

,

x k

k

e

u

 2

,

2x

v   v   2 ,

)

0

(^k

 v

代入莱布尼兹公式 , 得

)



20

y

2

e

 x

 20  2

e

 2 x

! 2

19 20 

  2

e

2

 ( x

 20 x  95 )

e

2

) 20 ,

, 2 , 1

( k  

) 20 ,

, 3

( k  

内容小结

(1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法

(3) 间接法—— 利用已知的高阶导数公式

(4) 利用莱布尼兹公式 高阶导数的求法

  ^



)

1

x

a ( )

) ! 1

(





x a

n

  ^



)

1

x

a ( )

!

 x

a

n

思考与练习

y x

 



 1

1 2

1 )

(

) 1

( ) ! 1 (

2

 



n

x y n

x x x

y       1 1 1

2

3 ) ,

1 (

!

1 )

(



 

n

x

y

n

1.

n

x y x



  1 ) 1

1 (

x y x

  ) 1

2 (

3

解 :

解 :

解 :

设

y  x

f (sin x )

y  ,



y 

  y

x x

f

x (sin ) cos

2 



) (sin

2 f x

 Ex:

x

2  f (sin x )  x

 f  (sin x )  cos x ) cos )

(sin (

) ) (sin 2

( x f x   x

f  x x 

) sin )(

2

f (sin x x

x  



x

 2  f  (sin x )  cos x

x x

f

x

 (sin ) cos



) (sin )

sin cos

4 ( )

(sin

2 f x  x x  x

x f  x



) (sin cos

2

x f x

x 

