2 三、平方根

(1)

三、平方根

在本章中，我們將介紹平方根及學習平方根的四則運算與根式中分母的有理化，並介紹雙重根式的化簡。

3-1 認識平方根

對於一個正數a，如果 b 的平方等於 a，即

b

²

 a

^{，我們就稱}^{b 是 a 的} 平方根又稱二次方根。例如：3 的平方等於 9，所以稱 3 是 9 的平方根。另外，因為(  3)² 9，所以  3 也是 9 的平方根。由此，我們知道 9 的平方根有3 和  3。

在國中階段，我們引進符號「」，讀作「二次根號」，或簡讀作「根號」，來表示一個正數的平方根：對於任何一個正數a，

a (讀作根號 a)表示 a 的正平方根；

 a(讀作負根號 a)表示 a 的負平方根。

例如：4 的平方根記作 4，即 ₄  2 及 4   2。也就是說，由平方根的定義，

( a )

²

 a

^、

(  a )

²

 a

^。當a = 0 時，a 的兩個平方根都為 0。

此外，在 a 中，我們稱 a 為被開方數。例如： 1 的被開方數為 1，

而 1 ＝1； 9 的被開方數為 9，而 9  3。在本章中，除了在雙重根式的情形外，我們所討論的被開方數均為非負的有理數。

【平方根的近似值】

如果a 不是某一個整數的平方時，如何求出它的平方根所表示的值 呢？例如2 不是某一個整數的平方，那麼，如何求出 2 的值呢？我們先由下列三個面積分別為1、2 和 4 平方公分的正方形來說明：

1

2

2 2

1 4

(2)

我們可看出這三個正方形依其面積的大小，由小至大依序排列，因此，

它們的邊長的大小順序也應相同。因為這三個正方形的邊長分別為1 公分、

2 公分和 2 公分，所以， 2 的值應介於 1 和 2 之間，即 1  2  2。

若想進一步知道 2 的值為何，我們可以將 1 和 2 之間作十等分，依序可得1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8 和 1.9，並分別計算其平方：

我們可看出

 

^1.4 ² ^{ }²

 

^1.5 ²，所以 2 介於 1.4 和 1.5 之間，即 1.4 2 1.5 。

若再將 1.4 和 1.5 之間作十等分得 1.41，1.42，1.43，1.44，1.45，1.46，1.47，1.48 和 1.49 等九個二位小數，

那麼， 2 又介於哪兩個小數之間呢？事實上，由



^1.41



² ^^{1.9881 2}^



^1.42



² ^^{2.0164 2}^

可看出



^1.41



² ^{ }²



^1.42



²，因此 2 介於 1.41 和 1.42 之間，即

 

^1.5 ² ^^{2.25 2}^

 

^1.6 ² ^^{2.56 2}^

 

^1.7 ² ^^{2.89 2}^

 

^1.8 ² ^^{3.24 2}^

 

^1.9 ² ^^{3.61 2}^

22 4 2 12 1 2

 

^1.1 ² ^^{1.21 2}^

 

^1.2 ² ^^{1.44 2}^

 

^1.3 ² ^^{1.69 2}^

 

^1.4 ² ^^{1.96 2}^

(3)

1.41  2  1.42。

依照上面的方法繼續做下去，我們知道1.414  2  1.415，…，進而算出 1.4142135  2  1.4142136。

如果我們想用四捨五入法取 2 的近似值到小數第二位，那麼就依上面的方法算到小數第三位，然後再用四捨五入法取捨即可。也就是說，因為1.414  2  1.415，所以取到小數第二位時， 2 的近似值為 1.41，記作 2 ≒1.41（讀作根號 2 約等於一點四一）。事實上，依這樣的步驟且取越多的小數位數時，我們所算出的近似值越接近 2 的值。

在上面求 2 的近似值的過程中，我們也可以用數線來說明。我們首先算出 2 介於兩個連續整數之間，即1  2  2，或者說，

在數線上， 2 的位置在 1 和 2 之間；接下來把1 和 2 之間分成十等分，然後得出 2 在 1.4 和 1.5 之間；再把 1.4 和 1.5 之間分成

十等分，並得出 2 介於 1.41 和 1.42 之間，…。

事實上，我們可將這樣逼近的過程看成是在數線上，利用「十等分」

的方法逐漸接近 2 的位置，因此稱這樣的方法為十分逼近法。

【範例 1】以十分逼近法求 3 的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。

【解】由1²  和1 2²  ，可得 4 1  3² 2 ，因此 1 3  2。²

將 1 和 2 之間作十等分並計算

 

1.1 ，²

 

^1.2 ²，…，

 

^1.9 ²的值如下：

1.41 1.42

1.4 1.5

0 1 2

1 ^{1.4 1.5} 2

(4)

 

^1.1 ² ^^{1.21 3}^

 

^1.6 ² ^^{2.56 3}^

 

^1.2 ² ^^{1.44 3}^

 

^1.7 ² ^^{2.89 3}^

 

^1.3 ² ^^{1.69 3}^

 

^1.8 ² ^^{3.24 3}^

 

^1.4 ² ^^{1.96 3}^

 

^1.9 ² ^^{3.61 3}^

 

^1.5 ² ^^{2.25 3}^

因此，1.7  3  1.8。依題意，我們再將 1.7 和 1.8 之間作十等分，並計算



^{1.71 、}



²



1.72 、…的值如下：



²



^1.71



² ^^{2.9241 3}^ ^，



^1.73



² ^^{2.9929 3}^ ^，



^1.72



² ^^{2.9584 3}^ ^，



^1.74



² ^^{3.0276 3}^ ^，

所以，1.73  3  1.74。因此，依題意取到小數第一位時，

3 ≒1.7。

在範例1 求 3 的過程中，當已知 3 介於 1 和 2 之間後，我們可先比較

 

^1.5 ²^和^{3 的大小。因為}

 

^1.5 ²  2.25 3，所以 3 介於 1.5 和 2 之間。因此只須取

 

^1.6 ²^、

 

^1.7 ²^、…、

 

^1.9 ²的值來做比較即可。有時候，這樣的方式可省去一些不必要的計算。

【類題練習1】試以十分逼近法求

5

的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。

事實上，除了利用十分逼近法之外，我們也可以用開方表或計算器來求得正數的平方根較準確的近似值。

我們再來看畢氏定理（又稱商高定理）和平方根的關係。由畢氏定理，

我們知道：

任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。

(5)

也就是說，若直角三角形的兩股長分別為a、b，斜邊長為 c，那麼

2 2 2

a  b  c

^，或c a²b² 。

【範例2】在方格紙上，利用直角三角形，畫出一條長為 5單位的線段。

【解】因為1²2² ( 5)²，所以，兩股長分別為1、2 的直角三角形，它的斜邊長即為 5 。

因此我們只需在方格紙上畫出兩股長分別為1 和 2 個單位長 的直角三角形 ABC ，如右圖，

那麼其斜邊 AC 即為 5 個單 位長的線段。

【類題練習2】在方格紙內，利用直角 三角形畫出長度分別為

10 和 13 個單位長的線段。

【想想看】給定一個正整數n，如何利用尺規作圖畫出一條 n 個單位長的 線段？

(提示：1²  ，1² 2 1² ( 2)² 3，₁²_{( 3)}² ₄，…)

【範例3】(1) 已知某直角三角形中，兩股長分別為 5 和 12，求斜邊長。

(2) 已知直角三角形的一股長為 4，斜邊長為 7，求另一股長。

A

B C

2

1 ⁵

(6)

【解】 (1) 由c a²b² ，設a ，5 b12，所以斜邊長

2 2

5 12 169 13 c    。

(2) 設一股長 a 為 4，斜邊長 c 為 7，由b c²a² ，

可得另一股長b 7²4²  33。

【類題練習 3】(1) 已知某直角三角形中，兩股分別為 2 和 5，求斜邊長。

(2) 已知直角三角形的一股長為 5，斜邊長為 8，

求另一股長。

【重點整理】

1. 每一個正數有兩個平方根，負數沒有平方根，而 0 的平方根就 0。

2. 我們可以用十分逼近法來求出平方根的近似值。

3. 已知直角三角形任意二邊的邊長時，可以利用畢氏定理求得第三邊的邊長。

【家庭作業】

基礎題

1. 3  2 是正數還是負數？

2. 7 介於哪兩個連續整數之間？

3. 以十分逼近法求 13 的近似值（以四捨五入法取到小數第一位）。

4. 引用畢氏定理的概念，繪出一條 11 個單位長的線段。

(7)

5. 已知某直角三角形中，兩股分別為 5 和 9，求斜邊長。

已知直角三角形的一股長為 5，斜邊長為 14，求另一股長。

(8)

3-2 平方根的運算

【平方根的乘法與除法】

我們首先來看如何做平方根之間的乘法及除法運算。假設a  0、b  0。

因為

( a b)2  ( a b) ( a b)

 ( a a) ( b b)

( a)²( b)²

 ab，

由定義我們知道( ab  ab，所以)²

a b  ab。

此外，假設b  0，由 1 ² 1 1 1 ₂ 1 ( )

( ) b

b  b b  b  ，且 1 ² 1 ( )

b  ，我們知b

道 1 1

b  b 。同樣的，我們可以得到

a b  a b  a

b 。

在數學上，我們稱含有根號的算式為根式。例如： 2 3、 2 3 和 1

2 3都是根式。事實上，形如 a 的數也稱為根式。

【範例1】計算下列根式：

(1) 3 12 (2) 1 45 5 4

(9)

(3) 18

2 (4) 6 2 5  15

【解】 (1) 3 12  36 6

(2) 1 45 1 45 9 3 5 4  5 4  4  2

(3) 18 18 2 9 3 2   

(4) 6 2 6 2 6 15

5  15  5 15  5 2  9 3

【類題練習1】計算下列根式：

(1) 5 20 (2) 27 2 8  3

(3) 75

3 (4) 15 3 4  5

【最簡根式】

當一個整數 a 為某個整數的平方時，我們就稱 a 為完全平方數，也叫 做平方數，例如：81 ⁹²，所以 81 為完全平方數，因此 81 9 。另外，

當被開方數是整數，且不是一個完全平方數時，我們可利用數的標準分解式及平方根的乘法，來化簡根式。例如：化簡 360 時，我們先把 360 寫成標準分解式：

360  ²³^{  }³² ^{5 (2 3)}^ ²^{ }^{2 5}，再化簡得到

360  (2 3) ²  2 5 6 10。

為方便以後做同類根式的加減運算，當被開方數為有理數時，我們通常會將運算結果寫成分母不含有根號的形式。例如：我們會將平方根

(10)

8 2 2

3  3 改寫成下列的形式：

2

2 2 2 2 3 2 6 2 6 3 3 3 ( 3) 3

   

 （或2

3 6）

也就是說，習慣上我們會將一個正有理數的平方根寫成 p

q n或

p n q

^的

形式，其中 p

q 為最簡分數，n 為大於 1 的整數，並且不能被任何大於 1

的整數的平方整除，我們稱這種形式的根式( ^p ⁿ

q 或 p n

q )為「最簡根式」。

例如： 6 10 和2

3 6都是最簡根式，但 360 和 8

3就不是最簡根式。我們稱將平方根化成最簡根式的過程為「平方根化簡」。

【範例2】將下列根式化為最簡根式：

(1) 12 (2) 63 (3) 45 2

【解】 (1) 12  4 3  2² 3 2 3 (2) 63 9 7  3² 7 3 7

(3)

45 45 32 5 2 3 5 2 3

2 2 2 2 2 2 10

  

   



【類題練習2】將下列根式化為最簡根式：

(1) 24 (2) 180 (3) 27

2 (4) 75 7

(11)

當兩個根式經過化簡後，如果在它們的最簡根式的根號內有相同的被開方數時，我們就稱這兩個平方根為同類方根。例如： 2 3 、 1

3（可化

簡為 3

3 ）和 3都是同類方根，但 3 與 3 6

2  2 就不是同類方根。

做根式的加減計算時，我們通常會將式中的每一項化為最簡根式，

再將同類方根合併。往後我們所稱的根式化簡是指將結果以最簡根式的形式表示。

【範例3】化簡下列根式：

(1) 3 2 2 3 7 2 6 3    (2)  12 4 3  75 18

(3) ³ ³ 54 ¹ 2  4   3

【解】 (1) 3 2 2 3 7 2 6 3     ( 3 7) 2   (2 6) 3

 4 2  4 3

(2)  12 4 3  75  18  2 3 4 3 5 3 3 2   

 7 3 3 2

(3) ³ ³ ⁵⁴ ¹

2  4   3  ³ ² ³ 3 6 ³

3 3 2 2 2

   

 

 ⁶ ³ _{3 6} ³ 2  2   3

 ⁶ ³

2 6

7 _5

【類題練習3】化簡下列根式：

(1) 4 6 8 3 7 6 4 3   (2) 3 5 6 3  45 75 (3) 53 167  60 17

(12)

現在來看看如何做根式的乘積展開。事實上，我們常利用乘法公式

( a b c d  )(  )  ac ad bc bd   

來展開形如

( a b)( c d) 根式乘積的算式。

【範例4】化簡下列根式：

(1) ( 2 3)( 6 3) (2) ( 7  2 ) ( 7 2 )

【解】 (1) ( 2 3)( 6 3) 2 6  2 3 3 6 3 3

 ₁₂_ ₆_ _{18 3}_

_{3 3 2 2 3}_ _ _ ₆ (2) 利用平方差公式，可得

( 7 2 ) ( 7 2 ) _{( 7)}² __{( 2)}²

 7  2  5。

【類題練習4】化簡下列根式：

(1) ( 2 5)( 3 75) (2) ( 3 1) ( 3 1) 

【根式分母的有理化】

在根式中，如果分母含有根號，我們通常會將運算結果寫成分母不含

有根號的形式。例如： ² ² ⁵ ^{2 5} 5 5 5 5

  

 ，

3 3 24 3 2 6 6

24 4

24 24 24

 

  

 。

如果根式的分母為兩項式且含有根號時，我們可以利用等值分數的概

(13)

念和平方差公式，來將根式化成分母不含有根號的形式。例如；在 1 2 1 中，若對分子、分母同乘以 _{2 1}_ ，即可得到

1

2 1  1 ( 2 1) ( 2 1)( 2 1)

 

  

2 2

2 1 ( 2) 1



 2 1 2 1



 _{2 1}_ 。我們再用下面的例子來說明。

【範例5】將下列各式化為分母不含根號的根式：

(1) ¹

2 3 (2) ¹ 3 2

【解】 (1) 1

2 3  1 ( 2 3) ( 2 3)( 2 3)

 

  (同乘以 2 3 )

 2 2

2 3 ( 2) 3



 ^{2 3} 2 9



 ³ ² 7



(2) 1

3 2  ^{1 ( 3} ²⁾ ( 3 2)( 3 2)

 

  (同乘以 3 2)

 2 2

3 2 ( 3) ( 2)





 ³ ² 3 2





 ₃_ ₂

(14)

我們稱將根式化為分母不含根號的形式的過程為分母的有理化。

【類題練習5】有理化下列各根式：

(1) ¹

5 2 (2) ² 15 3

【範例6】有理化 1 1 2

 2 。

【解】因為 (1 2)(1+ 2) 2 2

 _{1 (} ²₎²

 2  1^²₄  ¹ 2，

所以 1 1 2

 2  ^{1 (1} ⁾ (1 2)(1 )

2 2 2

2 2

 

 

 1 2

12 2

  ₂₍₁ ²₎

 2  ₂_ ₂。

在範例6 中，我們也可以將分子、分母同乘以 2，來將原根式化為 2

2 2 後，再做有理化。

【類題練習6】有理化 1 1 3

 2 。

【雙重根式的化簡】

有時候，算式中會有形如 _{3 2 2}_ 含有雙重根號的根式，我們稱這種形式的根式為雙重根式。事實上，我們可以嘗試利用完全平方公式，來做雙重根式的化簡。我們先以下面的範例來說明，再加以延伸。

【範例7】展開下列各式：

(1) ⁽ ^a^ ^b⁾² (2) ⁽ ^a ^ ^b⁾²

(15)

【解】 (1) ⁽ â^ ^b⁾² ^⁽ â⁾²^²^ â^ ^b^⁽ ^b⁾²

 _a 2 _ab_b

 (ab)2 ab

(2) ⁽ â^ ^b⁾² ^⁽ â⁾²^²^ â^ ^b^⁽ ^b⁾²

 a 2 abb

 (ab)2 ab

我們觀察到：如果設 a  2，b  1，那麼( 2 1) ² (2 1) 2 2 3 2 2    ，所以 _{3 2 2}_ _ _{2 1}_ 。

事實上，由平方根的性質，我們知道 ^a² ^ ^a ，而當a 為非負數時，

a

2

 a

^{。所以，我們先設}a、b 為兩個非負的數，且^a^^b來討論雙重根式的化簡過程：

由 ⁽ â^ ^b⁾² ^⁽â^^b⁾^² âb 可得 ⁽â^^b⁾^² âb ^ â^ ^b

也就是說，如果 ^x^{ 2} ^y ^ â ^ ^b，(其中â^^b)，則^x^â^^b，^y^âb。我們可以利用這個規則，試著作以下雙重方根的化簡。

【範例8】化簡下列各式：

(1) 7 2 10 (2) 8 28

(3) _{14 8 3}_ (4) ⁴^ ⁷

【解】　　(1) 7 2 10  _{5 2 2 5 2}_{ } _

 ₅_ ₂

(2) 根式中雖然沒有 (a b ) 2 ab 的形式，但是 _{28 2 7}_ ，所以可以嘗試做化簡。

8 28  _{8 2 7}_

(16)

 _{7 1 2 7 1}_{ } _

 7 1  _{7 1}_

(3) _{14 8 3}_  _{14 2 48}_ (先將8 3化成_{2 48})

 _{8 6 2 8 6}_{ } _

 8 6 _{2 2}_ ₆

(4) ₄_ ₇  ^{8 2 7} 2

  ^{7 1 2 7 1} 2

    7 1 2



 2( 7 1) 2 2



  14 2 2

由範例8，我們觀察到：做雙重根式化簡時，可嘗試先將根式化成 (a b ) 2 ab 的形式後，再做化簡。

【類題練習7】化簡下列各式：

(1) _{7 2 12}_ (2) 12 4 5

(3) 7 40 (4) 3 5

【想想看】在 (â^b)2 âb  â ^b中，為什麼要假設a b  ？0

(17)

【重點整理】

1. 假設 a0、b0， a b  ab。

2. 假設 a0、b0， a b  a b  a

b ^。

3. 我們可以將一個正有理數的平方根改寫成形如 p

q n或 p n

q 的最簡根式，其中 p

q為最簡分數，n 為大於 1 的整數，並且不能被任何大於 1 的整數的平方整除。

4. 如果 ^x^² ^y ^ ^a ^ ^b ，(其中a b 0)，則

x a b  

，y ab 。

【家庭作業】

基礎題

1. 化簡下列各式：

162 250 2

6 5 6 2. 化簡下列各式：

3 18 7 10

12 21 3 12 50 5 3 3

5  7 21 11 44 3. 化簡下列各式：

(18)

6( 18 15) 4 5 6 3   5 3 3 84 54 32 18 ( 95 35)( 95 35)

( 67 7)( 67 7)  (2 5 3)(2 5 3) 

9 2 14 8 2 12

5 24 18 8 5

1 2 11

4 3 5 2

7 5

29 7 6 進階題

14 2 48 2

 3 2

3 2





1 2 2

 3

1 1 3

 2

1 2 2

 2

6.已知 11 的小數部份為 a，求1 3 2

a 的值。