传媒与信息工程学院 欧 新 宇
第08讲 维数、基底与坐标
⚫ 向量和向量组
⚫ 向量空间和子空间
⚫ 线性相关性
⚫ 空间的张成
⚫ 维数、基底与坐标
⚫ 构成基底的条件
⚫ 基底变换
⚫ 基底变换的实例
维数、基底与坐标
【定义】在线性空间 𝑉 中，如果存在 𝑛 个元素𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎n
满足：1. 𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎n
线性无关；2. 𝑉 中任一元素 𝑎 总可由𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎n
线性表示，那么𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎n
就称为线性空间 𝑉 的一个基（基底），𝑛 称为线性空间 𝑉 的 维数。维数为 𝑛 的线性空间称为 𝑛 维线性空间，记作 𝑽
𝑛
或𝑹𝑛
。=> 则线性空间𝑽
𝑛
可表示为：𝑽
𝑛
={𝑎=𝑥1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥n
𝑎n
|𝑥1
,𝑥1
,...,𝑥n
∈R}，⚫ 基的特性：若𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎n
为 𝑽𝑛
的一个基，则 对 任 何 向 量𝑎∈ 𝑽
𝑛
， 都 有 一 组 有 序 数𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
， 使 𝑎=𝑥1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥𝑛
𝑎𝑛
，并且这组数是唯一的。反 之 ， 任 给 一 组 有 序 数𝑥
1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
， 总 有 唯 一 的 元 素 𝑎=𝑥1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥𝑛
𝑎𝑛
∈𝑽𝑛
。在向量空间中，向量可以用来描述空间中的一个特定点。
⚫ 二维向量空间：向量 a= [4,5]
𝑇
可以用来表示二维平面上的一个 点，它在x轴上的分量是4，在y轴上的分量是5，记作(4,5)。⚫ 三维向量空间：三维向量 b= [3,4,5]
𝑇
，可以表示三维空间中的 一个点，它在x,y,z轴上的分量分别是3,4,5，记作(3,4,5)。相似的，高维向量也可以用来表示高维空间中的位置。
对于计算机专业的同学来说，要特别注意抽象理解高维空间 的“几何”形态，例如在进行图像视频处理的时候，一个视频的时 序关系就是第4个维度的特征。
二维向量 𝑎 在空间中的坐标 (4,5)，有一个潜在条件没有被指 明，它的分量值4和5分别是投影在x轴和y轴上的有向线段的参照 系是x轴上长度为1的有向线段和y轴上长度为1的有向线段。我们 不妨做下列的假设：
⚫ 若参照系变为: x轴上长度为0.5的有向线段和y轴上长度为0.5 的有向线段，即x轴和y轴上的单位都由原来的1变为了0.5。
此时，原始的坐标(4,5)就变成了(8,10)。
⚫ 若参照系变为: x轴上长度为2的有向线段和y轴上长度为0.5的 有向线段，则原始的坐标(4,5)，将就为了(2,10)。
注意，此时坐标轴x和坐标轴y使用不同长度的参照。
值得注意的是，上面的假设，我们依然使用的是与坐标轴重合 的参照系。在默认情况下，x轴上的参照系，是一个长度为1的有 向线段，进一步说是一个x方向为1，y方向为0的向量，表示为 𝒆
𝑥
= 10 ；相似地，y轴的参照系，可以表示为𝒆
𝑦
= 01 。
⚫ 假设一，参照系可以表示为𝒆
𝑥1
= 0.50 , 𝒆
𝑦1
= 10.5 ；
⚫ 假设二，参照系可以表示为𝒆
𝑥2
= 20 , 𝒆
𝑦2
= 00.5 。
对于二维向量 𝑎 在二维空间的坐标(4,5)来说，它更完整的写 法应该是 𝑎=4𝑒
𝑥
+5𝑒𝑦
，展开后表示为：𝑎=4 10 +5 0 1 。
类似地，对于假设二中的二维向量 𝑎 在二维空间的坐标(2,10) 来说，它更完整的写法应该是 𝑎=2𝑒
𝑥1
+10𝑒𝑦1
，展开后表示为：𝑎=2 2
0 +10 0
0.5 。
至此，我们仍然没有脱离坐标轴重合的参照系的假设。
事实上，参照系 𝑒
𝑥
, 𝑒𝑦
并非一定要和坐标轴重合，例如，参照 系可以变为 𝑒𝑥1
= 11 , 𝑒
𝑦1
= −1−1 ，或者其他值。
甚至于，可以使用极坐标系作为参照系，例如：
𝑒
𝑟
=𝑒𝑥
𝑐𝑜𝑠𝜙+𝑒𝑦
𝑠𝑖𝑛𝜙, 𝑒𝜙
=𝑒𝑥
(−𝑠𝑖𝑛𝜙)+𝑒𝑦
𝑐𝑜𝑠𝜙 。在上例中，基 E= (𝒆
𝑥
= 10 , 𝒆
𝑦
= 01 ) 称之为标准基，
⚫ 在一阶张量（向量）中，我们将一组始终依附于坐标轴x,y，且 长度为1的有向线段
𝑒 1
,𝑒 2
,...,𝑒 𝑛
称为 𝑛 维度数组（向量）在 𝑛 维 空间 𝑉𝑛 中的标准基。⚫ 对于二阶张量（矩阵），同样依附于坐标轴，且长度为1的有向 线段称为标准基。
例：在空间 𝑅
2
中，集合 A = {𝒆11
= 1 00 0 , 𝒆
12
= 0 10 0 , 𝒆
21
= 0 01 0 , 𝒆
22
= 0 00 1 }，就是一组典型的标准基。
对照 维数与基的【定义】，我们可以发现二维向量 𝑎 在二维 空 间 中 的 完 整 表 示 𝑎=4𝑒
𝑥
+5𝑒𝑦
， 正 好 可 以 满 足 空 间𝑉𝑛
的 表 示 𝑉𝑛
={𝑎=𝑥1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥n
𝑎n
|𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
∈R} 。此处，向量 𝑎 正好可以表示为有序数 (4,5) 与向量组𝑎
1
=𝑒𝑥
, 𝑎2
=𝑒𝑦
的线性组合，使得 𝑉2
={𝑎=4𝑎1
+5𝑎1
|𝑥1
=4, 𝑥2
=5∈R} 。由此，我们可以得出一个结论，在空间𝑉
𝑛
中，元素 𝑎 与有序 数组 (𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
)𝑇
之间存在着一种一一对应的关系，因此可以用这 组有序数来表示元素 𝑎 。【定义】设𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎n
是线性空间𝑉𝑛
的一个基，对于任意元素 𝑎∈𝑉𝑛
， 总 有 且 仅 有 一 组 有 序 数𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
， 使 𝑎=𝑥1
𝑎1
+𝑥2
𝑎2
+...+𝑥n
𝑎n
。 有 序 数𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
就 称 为 元 素 𝑎 在 𝑎1
,𝑎2
,...,𝑎n
这个基下的坐标，并记作：𝑎=(𝑥1
,𝑥2
,...,𝑥𝑛
)𝑇
。需要注意的是，在不特别说明基底的时候，均表示使用标准 基来表征向量和坐标。
在默认情况下，坐标轴的原点为起点。此时，向量可以被看 作是一个以原点为起点，以向量坐标为终点的有向线段。
⚫ 在二维坐标系中，向量 a=[4,5]
𝑇
可以表示一条存在于平面xOy 中，起点为O[0,0]，终点为[4,5]的有向线段。此时，它在x轴上 的投影长度为4，在y轴上的投影长度为5.⚫ 在三维坐标系中，向量 b=[3,4,5]
𝑇
可以表示为空间中，起点为 O[x,y,z]，终点为[3,4,5]的有向线段。此时，它在x轴上的投影 长度为3，在y轴上的投影长度为4，在z轴上的投影长度为5.此外，
⚫ 在空间中的向量，值的正负表示了与坐标轴方向的关系
• 正值表示与坐标轴方向一致
• 负值表示与坐标轴方向相反
⚫ 向量的相加表示多个向量首尾相连，两端的起止点相连的有向 线段；
⚫ 向量的数乘表示向量在某方向上进行倍数的改变。
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构成基底的条件
以不同的形态存在于不同的基底上，这是一个非常有意义的结论。
基于这样的结论，我们可以实现将样本从一个空间向另外一 个空间的转换，这意味着降维压缩、显示优化等应用变成可能。
例如对于一张适配于桌面计算机的1600×1200的RGB图像，我们 可以将其无损地转换为适配于手机显示的640×480的RGB图像，
也可以将其转换为黑白的灰度图；甚至于经过一定的算法将其 从.bmp格式空间转换为.png或.wepp格式空间，以实现其在视觉 上的无损压缩。
给定一组向量 (𝒆
𝑥
= 11 , 𝒆
𝑦
= −1−1 ) 作为空间的基底，但无论 如何，我们都无法找到一个能满足等式
𝑎
=𝑥 11 +𝑦 −1
−1 的{𝑥, 𝑦}的 解，也就意味着向量 𝒆
𝑥
, 𝒆𝑦
不能作为基底。类似的向量 (𝒆
𝑥
= 11 , 𝒆
𝑦
= 22 ) , (𝒆
𝑥
= 11 , 𝒆
𝑦
= 1 2 3) 同样也不 能作为基底。
对于 𝑛 维空间
𝑉 𝑛
，并非任意选取 𝑛 个向量都能作为一组基底，构成基底必须要满足一定的条件。
𝑛 维空间 𝑉
𝑛
的充要条件是：具体看，充要条件包含两个方面的要点：
1. 向量完备：任意向量
2. 线性无关：线性组合唯一性
在𝑛维空间中，任意一个向量都可以表示为向量组𝑎的线性 组合，并且这种线性组合的表示方式（系数组合）必须是唯一 的。此时，向量组𝑎，就称为𝑛维空间𝑉
𝑛
的一组基。所谓向量完备主要包含两个层面的概念：数量完备及维数完 备。简而言之，给定一个 𝑛 维空间 𝑉
𝑛
，要使向量组𝑎能成为空间的 一组基向量，必要条件是：1. 𝑎中基向量的数量等于 𝑛
2. 𝑎中的每一个基向量的维数也等于 𝑛
假设在一个三维空间中，按照向量完备的要求，要使向量组𝑎 能成为一组基向量，就要保证 𝑎内的基向量的数量为3，并且每一 个基向量的维数也等于3。我们来做下列两种假设。
1. 数量完备但维数不完备：
基向量数量为3，但是其中有的向量的维度不等于3，即可能 少于3，也可能大于3。例如向量 𝑢=[1,2] 和向量 𝑣=[1,2,3,4] 。不 难想象，在一个三维空间中，这样的向量根本无法表示，因为在三 维空间中任何一个向量都必然会有三个维度的分量，只是在其中某 个值为0的时候，会与某个平面或坐标轴重合，但依然不会出现维 度缺失或维度过多的问题。
因此，违背维数完备是无法成为基向量的。
2. 维数完备但数量不完备：
⚫ 当基向量数量小于3时，向量 𝑎
1
,𝑎2
∈𝑎 不足以表征整个向量空 间，即使它们不共线，也只能用于表征一个平面。⚫ 当基向量数量大于3时，
⚫ 若向量组中存在4个向量，任选三组成一组基向量，则第4 个向量就可由基向量来表征，也就是说第4个向量是多余的；
⚫ 如果任选3个向量不足以表征第4个向量，说明这三个向量 必然存在共线或共面的问题
。
综上，违背数量完备的向量也无法成为基底。
如何确保唯一性呢？即如何确保空间
𝑉
𝑛 中的任意一个向量𝑎 有且仅有一种方法可以通过基向量的线性组合来表示？简而言之，就是确保基向量间是线性无关的。
回顾线性相关的定义：给定向量组 A:𝑎
1
,𝑎2
,...,𝑎m
，如果存在不全 为零的数𝑘1
,𝑘2
,...,𝑘𝑚
，使得 𝑘1
𝑎1
+𝑘2
𝑎2
+...+𝑘𝑚
𝑎𝑚
=0，则称向量组 A是线性相关的，否则称它线性无关。这意味着，只有在 𝑘
1
=𝑘2
=,...,=𝑘𝑚
=0 时，线性组合才能满足 𝑘1
𝑎1
+𝑘2
𝑎2
+...+𝑘𝑚
𝑎𝑚
=0；否则，如果存在 𝑘𝑖
≠0，则A
就是线性相 关的。也就是说，满足向量组A
线性无关的条件是有序数全为0。下面我们简单证明一下，为什么线性无关等价于唯一性。首先 给出两个假设：
⚫ 假设1：存在线性无关的向量组U: 𝑢
1
,𝑢2
,...,𝑢𝑛
是空间 𝑉𝑛
的基底 向量，即空间中的任意一个向量都可以使用U与不全为零的有序 数来表征。⚫ 假设2：给定一个指定向量𝑤，该向量可以同时使用U与两组不 全为零的有序数𝑎
n,
𝑏𝑛
来表征，即：𝑤=𝑎
1
𝑢1
+𝑎2
𝑢2
+...+𝑎𝑛
𝑢𝑛
=𝑏1
𝑢1
+𝑏2
𝑢2
+...+𝑏𝑛
𝑢𝑛
整理一下有:
(𝑎
1
− 𝑏1
)𝑢1
+ (𝑎2
− 𝑏2
)𝑢2
+...+ (𝑎𝑛
− 𝑏𝑛
)𝑢𝑛
= 0，由于𝑢
1
,𝑢2
,...,𝑢𝑛
是一组线性无关的向量，因此为了满足线性组 合的等式等于0的要求，就必须满足：𝑎
1
−𝑏1
+=𝑎2
−𝑏2
=...=𝑎𝑛
−𝑏𝑛
=0。因此，对于任意 𝑎
𝑖
, 𝑏𝑖
都有𝑎𝑖
−𝑏𝑖
=0，即 𝑎𝑖
=𝑏𝑖
。这个结论与假 设2——存在两组有序数相违背。由此，反证了不可能存在两种不 同的线性组合使得基向量 U 能够用来表达空间𝑽𝑛
中的所有向量。综上，线性无关与表示唯一性是等价的。
在 𝑛 维空间中，向量组 𝐸=𝑒
1
,𝑒2
,...,𝑒𝑛
能够构成基底的充要 条件是：1. 𝑛 维空间中的任何向量𝑣，都能表示为：𝑣=𝑥
1
𝑒1
+𝑥2
𝑒2
+...+𝑥
𝑛
𝑒𝑛
的形式；2. 以上的这种表示形式是唯一的。
换句话说，构成 𝑛 维空间的基底的 𝑛 个向量 (𝑒
1
,𝑒2
,...,𝑒𝑛
) 必 须满足线性无关的条件。课堂互动二 Link
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