向量微積分(向量分析)

向量微積分(向量分析)

廣泛應用於：物理和工程，電磁場和流體的動態.

數學上學什麼？

（I） :幾個微分有關的量

1. Gradient(梯度):grad ( f ) = f ∇ (向量場) .

描述在某點附近，純量場 f 增加率最大的方向 .

2. Divergence(散度): div ( ) F = ∇ ⋅ F (純量場) .

描述在某點附近，向量場 F 的發散或匯聚的程度 .

3. Curl(旋度): curl ( ) F = ∇× F (向量場) .

描述在某點附近，向量場 F 的旋轉程度 .

（II） :四個重要的定理(都是微積分基本定理的推廣，

尤其是高維度的推廣)

1.

: ∫ C ∇ ⋅ f d r = f ( ) b − f ( ) , a

一維: 曲線

梯度定理

and C .

b a 是曲線 的終點和起點

一個函數的某種微分型式在某一 n 維區域的 n 重積分量(積分)＝原函

數在此區域邊界的 ( n − 1) 重積分量(積分).

2.

^{: } _ ^∂ _∂ ^{− ∂} _∂ ^ _ ⁼

^{⋅ =}

^{+ .}

 

∫∫ ∫ D ∫ D

D

Q P dA d P dx Q dy x y

Green's Theorem F r

二維

F = , P Q

3. : ∫∫ ∇× ⋅ = ∫

S ⋅ .

S

d d

Stokes' Theorem F S F r

4. ( )

( )

:

div = .

E R E

dV d

⊂ ∂

∫∫∫ ∫∫ ⋅

Divergence Theorem F F S

三維

符號：粗體代表向量，如 r, ; 正常體代表純量，如 r, F

§16.1 Vector Fields

主題：

(i) Vector Field : , 2, 3.

(ii) Conservative Vector Field : s.t. = ; Such is called a potential function of .

(iii) Curl and Divergence of .

⊂ → =

∃ → ∇

：

：

n n

n

D R R n

f R R f

f

F F

F F

F F

Example 1： F ( , ) = x y 〈− y x , 〉

Example 2： ( )

(Field)

Gravitation Force F x = − GmM x ; x

, are masses of two objects, = ( , , ).

m M x x y z

Gravitation

 ∝ 

 

 

mM r

符號：粗體代表向量，如 r, ; 正常體代表純量，如 r, F

Example 3： ( )

(Field)

Electric Force F x = qQ ε x q Q , are electric charges ( ).

x 電荷

(i) qQ > 0 ⇒ the for ce is repulsive . (ii) qQ < 0 ⇒ the forc e i s attr a ct o i n.

Example 4：Gradient Fields f ∇ :此處 f 是個多變數的存量函數 也即 f R _: ⁿ → R n _{, 1.} >

Definition: a vector field F is called a conservative vector field

if ∃ a scalar function f s.t. ∇ = f F .

Example 1： F ( , ) = x y 〈− y x , = 〉 〈 M N , 〉 . Is F a CVF?

If s.t. = , , then and ,

However, 1 and 1. Hence, , ( ) . Thus, is not conservative .

∃ ∇ = 〈 〉 = =

∂ = = − ∂ = = ≠ →←

∂ ∂

： _{x y x y}

xy yx xy yx

f f f f f M f N

M f M f f f

y x

Solution F

F

Example 2： Is the gravitational field F a CVF?

( ) = Gravitational Field = − (

)

, , .

+ +

GmM x y z x y z

F x

(

)

, , =

+ +

： f x y z GmM x y z

Solution .

Example 3： F ( , ) x y = 〈 2 , xy x

− 〉 = 〈 y

M N , 〉 = ^? f f _x , _y . Find a potential function of . f F

2 2 2

1 2

2 2

( , ) = ( ) ( ).

2

( , ) .

2

+ = − +

⇒ = − +

： f x y x y g y x y y g x f x y x y y k

Solution

已知：

: ( , )

(i) Let : , : open desk , = , . (ii) , have continuous first partial derivatives on .

⊂ ⁿ → ⁿ 〈 〉

D R R D M N

M N R

Theorem F

F F 檢查 二維,是否是保守場的充分必要條件

結論： F = 〈 M N , 〉 is conservative ← ∂ → Theorem 16.3.5 ∂ M = ∂ N . (ii) - a：Given F, check if F is conservative vector field (CVF)?

(ii) - b：If yes, how to find a potential function f ?

How about the counterpart Theorem in space？

(三維的相對定理)

先介紹 curl F ( F 的旋度)

Definition：Let F ( , , ) = x y z 〈 M N P , , 〉

Define Curl ( , , ) ( , , ) , , , ,

, , .

∂ ∂ ∂

= ∇ × = × 〈 〉

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂

=

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − − −

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

： x y z F x y z M N P

x y z

x y z

M N P

P N M P N M

y z z x x y

F

 Physical (Intuitive) Interpretation of the curl of F. (見習題 § 16.5-37) F：velocity field of a fluid flow 中放入一個球心固定的球

則 球的轉軸 = curl F

球的轉速 = 1 curl ( )

2 F 球心 .

 If curl F = 0, then F is said to be irrotational.

 Curl F(x, y, z)代表向量場 F 在(x, y, z)附近的旋轉的方向和大小程度.

已知： , , , , , : continuous 1 partial derivatives on an

open space in space .

: ( , )

F = M N P M N P Q

Theorem 檢查 三維,是否是保守場的充分必要條件 F

結論： Theorem 16.5.3

Theorem 16.6.4

is conservative . ← → curl (x, y, z) = , for all (x, y, z) in . Q

F F 0

of a

( ) Vector Field

Divergence 散度 F = M N P , , .

 div F = ⋅ = ^∇ F M

+ N

+ P

.

 If div F = 0, then is said to be incompressible F .

 div ( , , ) the net rate of outward flux per unit volume at ( , , ) F x y z = x y z . =描述在(x, y, z)點附近, 向量場 F 的發散或匯聚的程度.



0 a source,

div ( , , ) 0 ( , , ) incompressible,

0 a sink.

x y z x y z

 >

= ⇒ 

<



F