1 極限的嚴格定義

1 極限的嚴格定義

本來在直觀上，我們能夠很容易地了解什麼叫「極限」，於是也能夠解 一些題目。但是隨著所遇到的函數越來越奇怪複雜，開始出現一些直觀上 不容易看出極限的題目。舉個例子，

f (x) =







1 如果 x 是有理數 0 如果 x 是無理數

, 求 lim

x→0f (x) (1) 要用直觀來說這題極限是多少，可能就會出現一些爭議，每個人用直觀 所得的答案不太一樣。於是數學家開始對極限下了嚴格、精確、難懂、無 聊、骯髒的定義。雖然我偷偷加了些壞話，但發展出了嚴格定義以後，不 可否認地能做的事情更多了，也除去了爭議的可能。

牛頓與萊布尼茲所發展的微積分，其實是相當不嚴謹、不甚牢靠的。

譬如說對於無窮小的概念，一下說是零，一下又說不是零，造成混亂。所 以在微積分剛發展的階段，其實是受到許多人的批評與質疑。經過這幾百 年下來，許多數學家幫助將微積分進行嚴格化，這才逐漸形成今日微積分 的面貌。十九世紀的法國數學家柯西 (Augustin-Louis Cauchy) 在他的《分 析教程》(Cours d’Analyse de l’Ecole Royale Polytechnique, Paris 1821) 當 中，給了一個口語的定義：

如果 x 無限地靠近 a，使得 f(x) 的值與 L 的誤差，

能夠要多小就有多小的話。這便是

xlim→af (x) = L

後來又在《無窮小計算教程概論》(Résume des leçons sur le calcul infinites- imal, Paris 1823) 當中，對於微分的定義，使用

ε

^和

δ

^{符號，來做更形式} 的定義，其意義與前一個口語的定義是相同的¹。這個定義如下

1微分是用極限來定義的。

極限的嚴格定義

xlim→af (x) = L 的定義是：

任意給定一個正數

ε

，都相應地存在一個正數

δ

^。使得：

只要 0 <|x − a| <

δ

^，便會有|f(x) − L| <

ε

^。

這就是惡名昭彰的

ε

-

δ

定義了。看得霧煞煞嗎？看不懂它在說什麼是相 當正常的，有一位一流的數學家 Paul R. Halmos(1916-2006)，他當年在大 學時，也完全不懂

ε

-

δ

到底在幹嘛，一點感覺也沒有。後來在一次跟同學 的談話中，他突然好像一道光打在頭上，突然明白了

ε

-

δ

^{的意義。接著他} 趕快拿出微積分課本出來重新唸，以前覺得沒有意義的東西突然變得明白 了，也能自己證明出一些定理。就這樣，他開始掌握了那些高等數學，後 來他便成了數學家。所以，你也不要灰心，不懂是很正常的，也許哪天你 懂了，也跟著成了數學家。

我在此給一些闡釋，以幫助你成為數學家。在此之前，我們先來認識 一個人。台灣的政治人物陳定南，曾任宜蘭縣長。他對於部屬嚴格要求，

對於包商的工程也吹毛求疵。宜蘭運動公園中主軸大道筆直的欒樹列、棵 棵樹徑相等，還動用測量儀器來對齊。凡是鋪地不夠平整、欄杆間距不規 則、樹種歪了等等，一律打掉重做，讓包商多花了好幾萬元。「我對品質 從不妥協」陳定南堅決地說。

好，現在陳定南讓你做一件事，你受命要選個 x = a 附近的範圍，

讓 f(x) 的值在這範圍與 L 是相當相當接近的。陳定南說：「我希望 f(x) 與 L 的誤差值可以小於 10⁻⁵。」於是你就開始找，找出某一個小範圍 (a−

δ

1, a +

δ

1)，在這裡面，除了 x = a 的地方 ²，

所::

:::有 的::

:::函 數::

::值，其與 L 的誤差：|f(x) − L| 的確全都比 10⁻⁵ 來得小。你就很高興地交件，結果陳 定南皺一皺眉，說：「不不不，我覺得還是讓誤差值小於 10⁻⁸ 會比較好，

2極限只是在處理 x 很靠近 a 時的行為，與 x = a 之處無關，所以要強調是除了 x = a 的地方。但為了簡便，後面不再贅述這句，我們都心知肚明是除了 x = a 的地方就好。

你重做一次吧。」在 (a−

δ

1, a +

δ

1) 內，某些函數值的誤差有小於 10⁻⁸，但 有些地方沒有，怎麼辦呢？於是你就把範圍再縮小，變成 (a−

δ

2, a +

δ

2)。

在這裡面的所有函數值，其與 L 的誤差的確完全都比 10⁻⁸ 還小。你鬆了 一口氣，又再度交件。此時，陳定南又 . . .

每當陳定南又把條件改得更嚴格的時候，因為事實上在 x→ a 時，f(x) 的確是趨近 L 的。所以你只要把你找到的範圍再縮得更小，就可以讓誤差 值足夠小，便可以交件。

那假如，你們做另一個函數，當陳定南要求誤差值要小於 10⁻³⁷ 時，你 發現不管如何縮小，總會有某些函數值與 L 的誤差超出 10⁻³⁷，那就代表，

事實上在 x→ a 時，f(x) 並不會趨近到 L。

與陳定南共事完以後，現在我們回過頭看

ε

^-

δ

定義。為什麼這個定義會 這樣講呢？本來口語一點的說法是，只要透過 x 與 a 無限地靠近，就能使 f (x) 的值與 L 的誤差要多小就有多小。好啦，既然你說要多小就有多小，

意思就是隨我要求都可以啦。我不管要求誤差多小，你都可以透過讓 x 跟 a 很靠近，來讓誤差是確實滿足我的要求的。也就是說，如前面所示，不 管我如何龜毛，訂了如何嚴格的誤差標準

ε

。你都可以回答我，在與 a 的 差距在

δ

^{以內的 所}_:::::^有不_:::::^等於 a 的 x，它們的函數值的確滿足我的誤差標_:::::::::

準。如果我更龜毛一點，把誤差標準

ε

訂得更嚴格，那你只要把你的

δ

^跟 著縮小，便可滿足誤差標準。無論我的

ε

是多麼小多麼小的一個正數，你 都可以找到相應的

δ

來滿足誤差標準。這句話被數學家翻譯成：「任給一 個正數

ε

，都相應地存在一個正數

δ

。使得：只要 0 <|x − a| <

δ

^，便會有

|f(x) − L| <

ε

^{。」任給的意思就是說}

ε

^{不管多小都無所謂。}|f(x) − L| <

ε

就是 f(x) 和 L 兩者的誤差 (error) 比

ε

還來得小。因為 error 的第一個字 母 e，對應到希臘文就是

ε

^{，所以符號就選用}

ε

^{。與 a 的差距在}

δ

^以內的所 有 x，寫成數學式就是，只要 |x − a| <

δ

。difference 的第一個字母 d，對 應到希臘文就是

δ

^{，所以符號就選用}

δ

。數學家喜歡用一大堆符號，英文 字母用完就用希臘文，後來又用希伯來文。但是等一下等一下，還記不記 得 x 趨近 a 的極限值與 x = a 時的函數值是無關的？所以我們要把 x = a 的情況排除，所以將 |x − a| <

δ

改寫成 0 < |x − a| <

δ

^{。否則，如果明明}

xlim→af (x) = L，但只因為 f (x) ̸= f(a)，而我們又沒將 x = a 排除，就讓它 變成不合定義，那這樣我們的定義就是錯的了。

只要滿足這個定義，就是 lim

x→af (x) = L。反過來說，只要不滿足定義，

就是極限不存在，或是極限值存在但非 L。

這裡用一個函數圖來闡釋，紅色的線是誤差要求，希望 f(x) 可以完全 落在兩條紅色線之間。橘色虛線則是我找出來的範圍，你的任務是讓這範 圍內的 f(x) 都完全落在兩條紅色線之間。

由上圖左可見，現在誤差要求嚴格到一個程度，讓橘色虛線範圍內的 f (x)，並沒有完全落在兩條紅色線之間，有些地方跑出去。此時怎麼辦 呢？只要將橘色虛線往內縮，讓這範圍縮小一點，如上圖右，此時又滿足 f (x) 都完全落在兩條紅色線之間啦！那如果繼續變得更嚴格，把兩條紅色 線拉得更近，可能就會讓你的範圍又不適用了！如下圖左，此時在範圍內 的 f(x) 又有一些跑出紅色線了。那你就再繼續把範圍縮得更小，如下圖

右，現在又滿足 f(x) 都完全落在兩條紅色線之間啦！

等一下就算繼續再把紅色線拉更近，不管多近你也不怕，只要跟著再把橘 色虛線也拉更近就好了。

反過來說，極限不存在的話一定就不滿足定義，所以我們想一下定義的 反面敘述。原本定義的敘述是說，任給

ε

^{，都找得到相應的}

δ

^{來滿足誤差} 要求。換句話說，在圖中紅色線不管拉多近，都可相應地找橘色虛線間範 圍，讓範圍內的 f(x) 落在紅色線之內。那麼它的反面敘述就是，誤差要求

ε

嚴格到一個程度，你就找不到相應的

δ

了。換句話說，紅色線拉近到一 個程度，你會發現，橘色虛線不管怎麼拉，範圍內的 f(x) 都會有至少一部 份跑出去。

我們來實際看極限不存在的函數圖。

上面這函數是否 lim

x→1f (x) = 1 呢？在上圖左，一開始的紅色線並沒有拉得 太近，以致於你還是可以找一個範圍，使得範圍內的 f(x) 全都落在紅色線 之間。但是紅色線近到一個程度以後，如上圖右。你會發現，此時不管橘 色虛線怎麼拉，範圍內的 f(x) 全都在紅色線以外，不滿足誤差要求！這個 極限不存在的函數果然不滿足極限的定義。

接著再看另一種極限不存在的類型，它在 x 接近 0 時，不斷地來回震 盪。上圖左，一樣地，一開始紅色線還沒拉得很近，以致於你還是可以找 一個範圍，使得範圍內的 f(x) 全都落在紅色線之間。但是紅色線近到一 個程度以後，如上圖右。你會發現，此時不管橘色虛線怎麼拉，都會有些 f (x) 跑出紅色線以外，不滿足誤差要求！這個極限不存在的函數果然也不 滿足極限的定義。

這樣下來，你有比較明白定義為何那樣寫了嗎？文學家哥德說：「數學 家猶如法國人，無論你對他們說什麼，他們把它翻譯成自己的語言，於是 就成了全然不同的東西。」你認同這句話嗎？

上面講了這麼多，都是在講 lim

x→af (x) = L 的定義。至於其它各種極限，

其精神也是差不多的，我列出如下：

極限的嚴格定義 2

xlim→af (x) =∞ 的定義是：

任意給定一個正數 N，都相應地存在一個正數

δ

^。使得：

只要 0 <|x − a| <

δ

，便會有 f(x) > N。

現在這個極限，f(x) 是會趨近到無窮大的。無窮大的意思就是要多大 就有多大，換句話說，可以比一萬大、可以比一千萬大、可以比十億大、

· · · 無論你給我多大的數，只要 x 與 a 夠靠近，f(x) 就可以比那個數還要 大。

極限的嚴格定義 3

xlim→∞f (x) = L 的定義是：

任意給定一個正數

ε

，都相應地存在一個正數 N。使得：

只要 x > N，便會有|f(x) − L| <

ε

^。

現在這個極限是說，隨著 x 趨近到無窮大，f(x) 就會無限地接近 L。

也就是說，只要 x 夠大，便可讓 f(x) 與 L 之間的誤差足夠小。所以一樣 是給定

ε

，但現在是要找夠大的 N。使得所有比 N 還要大的 x，都滿足

|f(x) − L| <

ε

^。一旦

ε

給得更嚴格，所找的 N 就必須更大，使得所有比新 的 N 更大的 x 都滿足誤差要求。

極限的嚴格定義 4

xlim→∞f (x) =∞ 的定義是：

任意給定一個正數 M，都相應地存在一個正數 N。使得：

只要 x > N，便會有 f(x) > M。

只要弄懂前面兩類，那麼這一類只不過是結合起來。

右極限的嚴格定義

lim

x→a⁻f (x) = L 的定義是：

任意給定一個正數

ε

，都相應地存在一個正數

δ

^。使得：

只要 0 < x− a <

δ

^，便會有|f(x) − L| <

ε

^。

右極限就是 x 從比 a 大的地方趨近到 a。所以我們將原定義中 x− a 外 的絕對值拆掉，就會是這樣的意思了。

左極限的嚴格定義

lim

x→a⁻f (x) = L 的定義是：

任意給定一個正數

ε

，都相應地存在一個正數

δ

^。使得：

只要 0 < a− x <

δ

^，便會有|f(x) − L| <

ε

^。

左極限的情況也類似，寫成 0 < a− x <

δ

，便是 x 在 a 左邊的意思了。

2 用極限的定義作證明

現在，我們已經有了極限的嚴格定義。那如果我想證明 lim

x→3f (x) = 7，

就只要跑一次定義就好了。換句話說，我只要 show 給你看，任給

ε

^，我都 可以找到相應的

δ

^{。使得 0 <}|x − 3| <

δ

^就能保證 |f(x) − 7| <

ε

^。但我總 不可能列一張表格，說如果

ε

^給多少，

δ

^{就取多少。因為}

ε

^{是任給的，它} 有無限多可能的值，根本就列不完。所以當我們使用極限的定義來做證明 時，我們常常是直接寫一個函數

δ

(

ε

)，來表達一般而言

δ

^{要如何因應著}

ε

而取。舉個例子，我告訴你我只要取

δ

=

ε

4，就會符合定義，所以極限是 L。那麼不管你給

ε

^{= 0.01 或是}

ε

^{= 10−7}，我一律將之除以四，就是我給 你的

δ

，這叫一勞永逸。如果看不懂我在說什麼，來看看下面這例題：

證明 lim

x→1(3x + 4) = 7

我們的目的是要找出適當的

δ

，以便由 0 <|x − 1| <

δ

^保證

|(3x + 4) − 7| <

ε

。那我們先將我們的目標 |(3x − 4) − 7| 作一番分析整理：

|(3x + 4) − 7| = |3x − 3| = 3|x − 1|

整理成這樣後發現，剛好有 |x − 1|。使用 0 < |x − 1| <

δ

^，便有

3|x − 1| < 3

δ

目前為止，我們有 |(3x + 4) − 7| < 3

δ

^{，但我們目標是} |(3x + 4) − 7| <

ε

^。 要如何補個臨門一腳來達成目的呢？我們知道若 A < B 且 B < C，那麼 A < C；或是 A < B 且 B = C，也可以得出 A < C 的結論。於是我們取

δ

=

ε

3，則

3|x − 1| < 3

δ

= 3·

ε

3 =

ε

這樣便成功了，我們導出了 |(3x + 4) − 7| <

ε

。而之所以成功地導到此一 結論，是由於我們取

δ

⁼

ε

3。換句話說，我們說明了，只要一律取

δ

⁼

ε

3， 便可由 0 <|x − 1| <

δ

^保證|(3x + 4) − 7| <

ε

^。

從前一例題當中可以見到，我們的方向是要以 0 < |x − a| <

δ

^為出 發點，接著導出 |f(x) − L| <

ε

的結論。所用的手法是先找出一個中介 的 A，使得，或者 |f(x) − L| < A <

ε

^，或者 |f(x) − L| < A =

ε

^。而這 個 |f(x) − L| < A 要如何取，就是先將 |f(x) − L| 作一番整理，然後配合 0 < |x − a| <

δ

^{。至於 A}≤

ε

^{，則靠我適當地取}

δ

(

ε

) 來達成。以下我再多舉 幾題來讓你好好地體會。

證明 lim

x→3(2x− 1) = 5

|(2x − 1) − 5| = |2x − 6| = 2|x − 3| < 2

δ

取

δ

=

ε

2，則

2

δ

= 2·

ε

2 =

ε

在作答的時候，我們不見得要以和思考過程完全一樣的順序作答。也就 是說，實際作答你可以先偷偷在旁邊做上面那樣的運算，知道了

δ

^該如何 取以後，便這樣作答：

取

δ

=

ε

2，則只要 0 <|x − 3| <

δ

^，便有

|(2x − 1) − 5| = |2x − 6| = 2|x − 3| < 2

δ

= 2·

ε

2 =

ε

好像有點簡單。

證明 lim

x→−24x =−8

|4x − (−8)| = |4x + 8| = 4|x + 2| < 4

δ

取

δ

=

ε

4，則只要 0 <|x + 2| <

δ

^，便有 4|x + 2| < 4

δ

=

ε

作答的時候可以直接這樣寫：

取

δ

=

ε

4，則只要 0 <|x + 2| <

δ

^，便有

|4x − (−8)| = |4x + 8| = 4|x + 2| < 4

δ

⁼

ε

雖然長度差不多，但起碼式子可以不必中斷，比較流暢。

證明 lim

x→0sin(x) = 0

| sin(x)| <

ε

與 0 < |x| <

δ

該 如 何 牽 扯 上 關 係 呢？我 們 可 以 利 用

| sin(x)| ≤ |x| 這個不等式。於是取

δ

=

ε

，則只要 0 <|x| <

δ

^，便有

| sin(x)| ≤ |x| <

δ

⁼

ε

證明 lim

x→3

1

(x− 3)² =∞

任給 N > 0，取

δ

= 1

√N，則只要 0 <|x − 3| <

δ

^，便有

1

(x− 3)² > 1

δ

^{2 =}

1

1 N

= N

證明 lim

x→∞

1 x = 0

任給

ε

> 0，取 N = 1

ε

，則只要 x > N，便有 1

x < 1 N =

ε

有 關

δ

(

ε

) 的 取 法，並 沒 有 一 個 標 準 的 答 案，只 要 它 可 以 幫 助 導 出

|f(x) − L| <

ε

的結論即可。譬如說你取

δ

⁼

ε

3 是可以的，那如果你想取

δ

⁼

ε

7，那當然也是可以的，因為後者的取法更小了。本來 0 <|x − a| <

ε

的範圍內的函數值全部都符合誤差標準，那我自己把這範圍縮小，0 <3

|x − a| <

ε

7 這個比較小的範圍本身就完全包含在 0 < |x − a| <

ε

3 的範圍 內，所以在 0 <|x − a| <

ε

7 內也同樣是滿足「其內所有函數值都符合誤差 要求」這句話。明白的話便可以來看下面這一題較難一點的。

證明 lim

x→2x² = 4

|x²− 4| = |x + 2||x − 2| < |x + 2|

δ

我們有 0 < |x − 2| <

δ

^{，卻沒有關於} |x + 2| 的不等式可以使用，怎麼辦 呢？我們現在要想辦法，讓 |x + 2| 小於某個東西，這樣才有辦法繼續下 去。這一招就是，假設

δ

≤ 1。我們絕對可以這麼做，因為如果某些時候 所取的

δ

比 1 來得大，那麼我縮小範圍，取更小的

δ

^{，小到小於等於 1，}

那也是可以符合誤差要求的。

這樣一來，0 < |x − 2| <

δ

≤ 1。拆開絕對值，1 < x < 3, x ̸= 2，同時 加 2，3 < x + 2 < 5, x + 2̸= 4。寫成這樣以後，我們便知道 |x + 2| 是小於 5 的，於是就可以繼續寫下去

|x + 2|

δ

< 5

δ

此時取

δ

=

ε

5，則只要 0 <|x − 2| <

δ

^，便有

|x²− 4| = |x + 2||x − 2| < 5

δ

=

ε

如果像這樣寫呢，就錯啦！大致架構上是對的，但要記住一件事，我們之 所以一路過關斬將，推出誤差值小於

ε

^，是依賴

δ

≤ 1 這關鍵的一招。其 後的一連串不等式是建立在此前提之下的，所以，萬一這個任給的

ε

是 6，

那我們的

δ

^{就是 6}

5 > 1。這樣便不滿足

δ

≤ 1，於是最後小於

ε

^的結論也 就跟著不成立了。這樣的話該怎麼辦呢？還記得剛剛說的嗎？如果某些時 候所取的

δ

比 1 來得大，那麼我縮小範圍，取更小的

δ

，小到小於等於 1，

那也是符合誤差要求的。所以我只要在剛剛所寫的「取

δ

=

ε

5 」作些修 改，變成「取

δ

= min{1,

ε

5} 」意思是說看 1 與

ε

5 誰比較小，

δ

^就取那個

值。這樣一來，當

ε

5 不大於 1 時，

δ

^就是取

ε

5，完全沒問題。而當

ε

5 比 1 還大時，

δ

就是取 1，這樣取一方面滿足

δ

≤ 1，另一方面，此時

δ

^比

ε

來得小，所以也可滿足誤差要求。 5

證明 lim

x→9

√x = 3

|√

x− 3| = |x − 9|

|√

x + 3| <

δ

√x + 3

現在我們遇到一個問題，√x + 3 該怎麼處理掉？由於它是在分母，所 以我們要看它會大於誰。我們假設

δ

≤ 1，於是 0 < |x − 9| <

δ

_{≤ 1，}

8 < x < 10, x̸= 9，接著開根號，√ 8 <√

x <√

10, x ̸= 9。從此處我們知道

√x >√

8，為了簡便起見也可以寫 √

x > 2。無所謂嘛，既然會比 √ 8 大的 話那當然也會比 2 還要大。於是 √

x + 3 > 5，我們便可以繼續寫下去：

√

δ

x + 3 <

δ

5 現在取

δ

= 5

ε

^，於是

δ

5 =

ε

記得在前面我們假設

δ

≤ 1，所以要修改一下。正式作答可以這樣寫：

若

δ

≤ 1，0 < |x − 9| <

δ

≤ 1，⇒ 8 < x < 10, x ̸= 9，⇒ √ 8 < √

x <

√10, x ̸= 9。所以 √

x > 2，√

x + 3 > 5。取

δ

^{= min}{1, 5

ε

}，於是只要 0 < |x − 9| <

δ

|√

x− 3| = |x − 9|

|√

x + 3| < 5

δ

=

ε

證明 lim

x→3

1 x = 1

3

|1 x− 1

3| = |3 − x|

|3x|

假設

δ

≤ 1，0 < |x − 3| <

δ

≤ 1，⇒ 2 < x < 4, x ̸= 3，⇒ 3x > 6。於是

|3 − x|

|3x| <

δ

6

取

δ

^{= min}{1, 6

ε

}，於是只要 0 < |x − 3| <

δ

^，便有

|1 x− 1

3| = |3 − x|

|3x| <

δ

6 =

ε

證明 lim

x→2x³ = 8

|x³− 8| = |x − 2||x²+ 2x + 4|

假設

δ

≤ 1，0 < |x−2| <

δ

≤ 1，⇒ 1 < x < 3, x ̸= 2，2 < x+1 < 4, x ̸= 2，

⇒ 4 < (x + 1)² < 16, x̸= 2，最後便可得知 x²+ 2x + 4 = (x + 1)²+ 3 < 19。

取

δ

^{= min}{1, 19

ε

}，於是只要 0 < |x − 2| <

δ

^，便有

|x − 2||x²+ 2x + 4| < 19

δ

=

ε

證明 lim

x→2x³− x²− x = 2

|x³− x²− x − 2| = |x − 2||x²+ x + 1|

不必擔心這個因式分解的問題，因為我們打從一開始就知道一定有 x− 2 這 個 因 式 ³，那 麼 剩 下 的 用 除 的 就 可 以 出 來 了。現 在 我 們 設

δ

≤ 1，

0 < |x − 2| <

δ

≤ 1，⇒ 1 < x < 3, x ̸= 2，⇒ 1 < x² < 9, x ̸= 2，則 x²+ x + 1≤ 13。於是取

δ

= min{1,

ε

13}，那麼只要 0 < |x − 2| <

δ

^，便有

|x − 2||x²+ x + 1| < 13

δ

⁼

ε

有 關 極 限 的 一 些 基 本 性 質， 譬 如 說 lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x)。若要證明的話，就可以用定義來證。

證明若 lim

x→af (x) 與 lim

x→ag(x) 都存在，則

xlim→a(f (x) + g(x)) = lim

x→af (x) + lim

x→ag(x)

我們所擁有的前提是 lim

x→af (x) 與 lim

x→ag(x) 都存在，假設它們的極限值 各是 L 與 M 好了。所以給定

ε

2 > 0，存在兩正數

δ

1 及

δ

2，使得，只

3我們知道 x³− x²− x − 2 會等於 0，那麼根據高中所學的因式定理，就知道一定會有 x− 2 這因式。

要 0 < |x − a| <

δ

1，便有 |f(x) − L| <

ε

2；只要 0 < |x − a| <

δ

2，便有

|g(x) − M| <

ε

2。

我們現在要做的事情是，由這個前提出發，推論到 lim

x→a(f (x) + g(x)) = L+M 。也就是說，任給

ε

> 0，都存在正數

δ

，使得，只要 0 < |x−a| <

δ

^， 便有 | (f(x) + g(x)) − (L + M)| <

ε

^。

開始寫了！任給

ε

> 0，取

δ

= min{

δ

1,

δ

2}，則只要 0 < |x − a| <

δ

^， 便有

|(f(x) + g(x)) − (L + M)|

=|(f (x)− L) + (g(x)− M)|

現在我要用一招，看清楚了，這叫三角不等式 |A+B| ≤ |A| + |B|

≤ |f (x)− L| + |g(x)− M|

≤

ε

2 +

ε

2 =

ε

因為我們

δ

^是取

δ

1 及

δ

2 當中較小的那個，所以一旦滿足 0 < |x − a| <

δ

^， 便 是 同 時 滿 足 0 < |x − a| <

δ

1 與 0 < |x − a| <

δ

2。於 是 便 同 時 有

|f(x) − L| <

ε

2 及|g(x) − M| <

ε

2，也就是說前提滿足了，也使得最後的不 等式成立。

證明夾擠定理：

若在 a 附近皆有 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且 lim

x→af (x) = lim

x→ah(x) = L。則

xlim→ag(x) = L。

給定

ε

> 0，存在兩正數

δ

1 及

δ

2，使得，只要 0 <|x − a| <

δ

1，便有

|f(x) − L| <

ε

^{；只要 0 <}|x − a| <

δ

^，便有 |h(x) − L| <

ε

^。

在 a 附近皆有 f(x)≤ g(x) ≤ h(x)，意思是說有個橫跨 a 點的開區間，

然後再把 a 點本身挖掉，在這範圍內都成立 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)。換句話 說，存在

δ

3 > 0，使得只要 0 < |x − a| <

δ

3，便有 f(x)≤ g(x) ≤ h(x)。

若取

δ

= min{

δ

1,

δ

2

δ

3}，則只要 0 < |x − a| <

δ

^{4 ，便有}

L−

ε

< f (x)≤ g(x) ≤ h(x) < L +

ε

也就是說，|g(x) − L| <

ε

^。

4那麼 0 < |x − a| <δ1 與 0 <|x − a| <δ2 及 0 <|x − a| <δ3 就都滿足了！所以

|f(x) − L| <ε^與|h(x) − L| <ε^{及 f(x)}≤ g(x) ≤ h(x) 就都成立了！