 实二次型及其标准形实二次型及其标准形 6.1 6.1

返回

6.1

6.1 实二次型及其标准形 实二次型及其标准形

一、二次型及其矩阵 一、二次型及其矩阵 二、合同变换

二、合同变换

三、用配方法化二次型为标准形 三、用配方法化二次型为标准形

四、用正交变换化二次型为标准形 四、用正交变换化二次型为标准形

返回

一、二次型及其矩阵



 ⁿ

i

n

j

j i ij

n a x x

x x

x f

1 1

2

1, ,..., ) (

n nx x a

x x a x

a_{11 1}²  _{12 1 2}   _{1 1}

 

n nx x a

x a x

x

a_{21 2 1}  _{22 2}²   _{2 2}

 



 

2 2

2 1

1 n n n nn n

n x x a x x a x

a   

 

称为 n 元二次型 .

其中：a^ij = a^ji

返回



 ⁿ

i

n

j

j i ij

n a x x

x x

x f

1 1

2

1, ,..., ) (

若 a_ij 为实数，则称为实二次型 . 若 a_ij 为复数，则称为复二次型 .

,

2 1

2 22

21

1 12

11 2

1

,

, _{ij ji}

nn n

n

n n

n

a a

a a

a

a a

a

a a

a A

x x x

X 





















































 设 

则 f (x₁, …, x_n) = X ^TAX.

A: 二次型 f (x₁, …, x_n) 的矩阵 .

例 1 f (x₁, x₂ , x₃) = 2x₁² – 3x₂² + 4x₃² - 2 x₁x₂ + 3x₂ x₃

AX X

x x x x

x

x  ^T













































3 2 1 3

2 1

2 4 0 3

2 3 3

1

0 1

2 )

, , (

A: f (x₁, x₂ , x₃) 的矩阵

若令 ,

4 3

0

0 3

1

0 1

2























则有 f (x₁, x₂ , x₃) = X^TBX 但 B^T≠ B, 故 B 不是 f (x₁, x₂ , x₃) 的矩

返回



 ⁿ

i

n

j

j i ij

n a x x

x x

x f

1 1

2

1, ,..., ) 二次型 (

也记为 f (X) = X ^TAX. (A^T = A) 二次型 f (X) 的秩： A 的秩 .

在例 1 中， f (x₁, x₂ , x₃) 的矩阵





























2 4 0 3

2 3 3

1

0 1

2

A R(A) = 3 ,

故 f (x₁, x₂ , x₃) 的秩为 3 .

二 . 合同变换

1. 矩阵合同

定义 对 n 阶矩阵 A, B, 若存在可逆矩阵 C,

使 C ^TAC = B,

则称 A 与 B 合同 .

矩阵合同具有以下性质：

(1) 反身性：矩阵 A 与自身合同；

(2) 对称性：若 A 与 B 合同，则 B 与 A 合同

； (3) 传递性：若 A 与 B 合同，且 B 与 C 合同 , 则 A 与 C 合同 .

返回

A 与 B 等价： PAQ = B, P, Q 可逆；

A 与 B 相似： P ^-1AP = B , P 可逆；

请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？

2. 合同变换



 ⁿ

i

n

j

j i ij

n a x x

x x

x f

1 1

2

1, ,..., ) (

































) 1 (

2 2 1

1

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n nn n

n n

n n

n n

y c y

c y

c x

y c y

c y

c x

y c y

c y

c x



















(1) 式称为从 y₁, …, y_n 到 x₁, …, x_n 的线性变 换 .

令























nn n

n

n n

c c

c

c c

c

c c

c C











2 1

2 22

21

1 12

11













































n

n y

y y Y

x x x

X  

2 1 2

1

,

则 (1) 式可记为

X = C Y (2) 若 C 为可逆矩阵，则 (2) 式称为可逆变换，

若 C 为正交矩阵，则 (2) 式称为正交变换 . 当 C 可逆时， (2) 式又可记为

Y = C ^-1 X (3)

返回

对于二次型 f (X) = X ^TAX ，若令 X = CY (C 可逆 ), 则 f (X) = (CY)^TA(CY) = Y^T (C^TAC)Y.

记 B = C^TAC , 则 B ^T = B, 且

f (X) = Y^TBY = g(Y).

二次型 f (X) 与 g(Y) 的矩阵 A 与 B 合同 . 也称二次型 f (X) 与 g(Y) 合同 .

称 X = CY (C 可逆 ) 为合同变换 .

正交变换是一种特殊的可逆变换，也是一种特殊

的合同变换，而合同变换就是可逆变换 .

三 . 用配方法化二次型为标准形

只含平方项的二次型

d₁ y₁² + d₂ y₂² + … +d_r y_r² (d_i ≠0) 称为标准形 .

形如

z₁² + …+ z_p² – z_p+1² - … - z_r² 的二次型称为规范形 .

p: 正惯性指数；

r - p: 负正惯性指数；

|r - 2p|: 符号差 .

返回

例 2 用配方法化二次型为标准形

f (x₁, x₂ , x₃) = x₁² + 2x₂² + 3x₃² + 2 x₁x₂ + 6x₂ x₃ +2 x₁x₃

=(x₁²+2x₁x₂+2x₁ x₃ + x₂² + x₃² + 2x₂ x₃ )+ x₂² + 2x₃² +4 x₂x₃

=(x₁+x₂+ x₃ )²+ (x₂² + 4x₂ x₃+ 4x₃²) - 2x₃²

=(x₁+x₂+ x₃ )²+ (x₂+ 2 x₃ )² - 2x₃²



















3 3

3 2

2

3 2

1 1

2 x y

x x

y

x x

x y

令

则 f (x₁, x₂ , x₃) = y₁² + y₂² – 2y₃²

) 1 ( 2

3 3

3 2

2

3 2

1 1



















x y

x x

y

x x

x y

令 即 2 (2)

3 3

3 2

2

3 2

1 1



















y x

y y

x

y y

y x

(1): 从 x₁, x₂, x₃ 到 y₁, y₂ , y₃ 的线性变换 . (2): 从 y₁, y₂ , y₃ 到 x₁, x₂, x₃ 的线性变换 .

(1) 与 (2) 所表达的 x₁, x₂, x₃ 与 y₁, y₂ , y₃ 的关系是相 同的 .

利用配方法与归纳法可以证明：

定理 1 任一实二次型 f (X) = X ^TAX 都可用配方法 化为标准形 .

返回

例 3 f (x₁, x₂ , x₃) = 2 x₁x₂ +2 x₁x₃ - 6x₂ x₃

令 















3 3

2 1

2

2 1

1

y x

y y

x

y y

x

则 , f (x₁, x₂ , x₃)=2y₁² – 2y₂² – 4y₁y₃ + 8y₂ y₃

= 2(y₁² – 2y₁y₃ + y₃²) - 2 y₂² - 2 y₃² + 8y₂ y₃

= 2(y₁ – y₃ )² – 2( y₂² - 4 y₂ y₃ + 4y₃² )+6y₃²

= 2(y₁ – y₃ )² – 2( y₂ - 2 y₃ )² + 6y₃²

= 2z₁² – 2 z₂² + 6z₃²

（法 1 ）

上式最后一步使用的变换是

















3 3

3 2

2

2 1

1

2 y z

y y

z

y y

z













2 3

3 2

1 1

2 6 2

z t

z t

z t

若再令

则 ,

f =2z₁² – 2z₂² +6z₃² = t₁² + t₂² - t₃²

返回

f (x₁, x₂ , x₃) = 2 x₁x₂ +2 x₁x₃ - 6x₂ x₃

令 















3 3

2 1

2

2 1

1

y x

y y

x

y y

x

则 , f (x₁, x₂ , x₃)=2y₁² – 2y₂² – 4y₁y₃ + 8y₂ y₃

（法

2 ） = 2(y₁² – 2y₁y₃ ) - 2 y₂² + 8y₂ y₃

= 2(y₁ – y₃)² - 2(y₂² - 4y₂ y₃ )- 2 y₃²

= 2(y₁ – y₃)² - 2(y₂ - 2y₃)² + 6y₃²

= 2z₁² – 2 z₂² + 6z₃²

上式最后一步使用的变换是

















3 3

3 2

2

2 1

1

2 y z

y y

z

y y

z

则 ,

f =2z₁² – 2z₂² + 6z₃² = t₁² - t₂² - t₃²













2 3

3 2

1 1

2 6 2

z t

z t

z t

若再令

返回

定理 2 任何一个实二次型的规范形都是惟一 的 .

证

将实二次型 f (X) = X ^TAX 经合同变换化为 标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：

d₁ y₁² + … + d_p y_p² - d_{p +1}y_p+1² - … - d_r y_r² )

, ,

2 , 1

(i r y

d

z_i  _{i i}   令

得 f (X) = X ^TAX 的规范形为

z₁² + …+ z_p² – z_p+1² - … - z_r²

由于合同变换不改变二次型的秩，所以 r 是惟一确 定的 . 在理论上还可进一步证明正惯性指数 p 是惟 一的 ( 此证明略 ) ，因此，负惯性指数 r – p 与符号差

|r – 2p| 也是惟一的 .

四 . 用正交变换化二次型为标准形

定理 3 任一 n 元实二次型 f (X) = X ^TAX 都 可用正交变换 X = CY 化为标准形

₁ y₁² + ₂ y₂² + … + _n y_n²

其中  _{1 ，} _{2 ，…，} _n 是 A 的特征值 . 证 因 A 为 n 阶实对称矩阵，

所以存在正交矩阵 C ( 回顾 5.4) , 使 C^TAC = C^-1AC = diag (_{1 ，} _{2 ，…，} _n) 令 X = CY , 则

f (X) = Y^T C^TACY = ₁ y₁² + ₂ y₂² + … + _n y_n²

返回

例 4 用正交变换化二次型为标准形

f (x₁, x₂ , x₃) = x₁² - 2x₂² - 2x₃² - 4 x₁x₂ + 4x₁x₃ + 8x₂ x₃ 解 f (x₁, x₂ , x₃) 的矩阵



























2 4

2

4 2

2

2 2

1 A

) 7 (

) 2 (

2 4

2

4 2

2

2 2

1

|

|   ² 

















  







I A

特征值： ₁= 2 （二重特征值）， ₂ = -7

，

求 ₁= 2 的特征向量：





























4 4

2

4 4

2

2 2

1

1I A

 











 



0 0

0

0 0

0

2 2

1

x₁ + 2x₂ - 2x₃ = 0

特征向量： ₁ = (-2, 1, 0)^T , ₂ = (2, 0, 1)^T 将 ₁, _{2 正交化：}

₁ = ₁ = (-2, 1, 0)^T ,

)T

5 , 4 , 2 5( 1 )

, (

) ,

(

1 1

1

1 2

2

2      







 



返回

求 ₁= -7 的特征向量：































5 4

2

4 5

2

2 2

8

2I A





























0 0

0

1 1

0 2

0 1 1









 2 , 1

3 2

3 1

x x

x

x ₃ = (1, 2, 2)^T ,

将  ₁, ₂ , _{3 单位化：}

设 )T

0 , 1 , 2 5 (

1

||

||

1

1 1

1    

  (2, 4, 5)^T

45 1

||

||

1

2 2

2   

 

)T

2 ,

2 , 1 3( 1

||

||

1

3 3

3    

 





























3 2 5

3 0 5

3 2 5

3 4 5

1 3

1 5

3 2 5

2 )

, ,

(₁  ₂  ₃ 令 C

X = (x₁ , x₂ , x₃ )^T, Y = (y₁, y₂, y₃ )^T 则 X = CY 为正交变换，且

f = 2 y₁² + 2 y₂² - 7 y₃²