第 1 章極限與函數

(1)

1-4 函數的極限

1. 求下列各極限﹕

(1) ₂

2

2 1 lim^x 3

x

 x



 (2)

2 2

1

1 2

lim^x 3 4 1

x x x



     

    

 

(1) 原式 2 2 1₂ 5 2 3 7

   

 ﹒

(2) 原式

1 1 1

1 2 1 2

lim lim lim

4 1 4 1

x x x

x x x x

  

   

 

         1 1 1 2 2 3 1 1

1 4 1 1 5 2 1 0

 

     

  ﹒

2. 求下列各極限﹕

(1) ₂

5

1 10 10 lim^x 5 25

x x



 

  

   

  (2) ₂

3

4 2

lim^x 3 4 3 x

x x x



   

    

 

(1) 原式

  

2

5 2 5

5 1 4 5

lim lim

25 5 5

x x

x x x

 

 

   

     

5

1 5 1 3 l i m

5 5 5 5

x

 x

 

  

  ﹒

(2) 原式

  

     

2

3 3

4 1 2 5 6

lim lim

1 3 1 3

x x

x x x x

 

    

 

   

3

2 3 2 1 l i m

1 3 1 2

x

 x

 

  

  ﹒

第 1 章極限與函數

(2)

3. 求

 

0

1 1 limx

x

 x

 

﹒ 利用二項式定理﹐得原式

1 0 1 0 1 0 9 1 0 1 0

0 1 9 1 0

0

lim 1

x

C x C x C x C

 x

    





¹0 ⁰ ⁹ 1 ¹ ⁰ ⁸



9 ¹ ⁰

l i m0

x C x C x C

    

C¹⁰₉10﹒

4. 求

 

10 1 2

1 10 lim^x 1 1

x x x



   

 

 

 

 ﹒

原式

 

10

1 2

1 10 1 lim

x 1

x x

 x

  

 

   

 

9 8

1 2

1 9

lim

x 1

x x x x

 x

    

 

   

 

2 8 7

1 2

1 2 8 9

lim

x 1

x x x x

 x

    

 

^^lim_x_₁



^x⁸^²^x⁷^{ }⁸^x^⁹



1 2  9 ﹒ 4 5

5. 求

2 0

lim 2

x

x x

 x

 ﹒

因為

右極限﹕ ² ²

 

0 0 0

2 2

lim lim lim 2 2

x x x

x x x x

x x x

  

  

       ﹐

左極限﹕ ² ²

 

0 0 0

2 2

lim lim lim 2 2

x x x

x x x x

x x x

  

  

      

 ﹐

即右極限左極限﹐所以

2

0

lim 2

x

x x

 x

 不存在﹒

(3)

6. 已知

2 1

lim 4

1

x

x ax b

 x

   

 ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒

因為此分式在x1的極限存在﹐且其分母在x1的函數值為 0 ﹐ 所以其分子在x1的函數值為 0 ﹐即

1  a b 0  b  1 a﹒ 於是

² ²

 

1 1

lim lim 1

1 1

x x

x ax a

x ax b

x x

 

   

  

 

  

1

1 1 lim^x 1

x x a

 x

  

 

 

lim1 1 2

x x a a

      ﹐ 即 2  a 4﹐解得a 6﹐b5﹒

7. 已知

2

lim2

2

x

x x a x b



  

 ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒

因為此分式在x2的極限存在﹐且其分母在x2的函數值為 0 ﹐ 所以其分子在x2的函數值為 0 ﹐即

22  2 a 0﹒ 解得a 6﹒因此

 

2 2

2 2 2

lim lim 6 lim 3 5

2 2

x x x

x x a x x

x x x

  

       

  ﹒

故a 6﹐b5﹒

(4)

8. 已知

  

lim1 2

1 2

x

x ax b

x x



  

  ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒

因為此分式在x1的極限存在﹐且其分母在x1的函數值為 0 ﹐ 所以其分子在x1的函數值為 0 ﹐即分子有x1的因式﹒

令^x²^^{ax b}^{ }



^x^¹



^x^^k



﹐則

     

  

2

1 1 1

1 1

lim lim lim

1 2 1 2 2 3

x x x

x x k

x ax b x k k

x x x x x

  

 

      

     ﹒

因此﹐1 3 2

k   k  5﹐得

  

2 1 5 2 4 5

x ax b  x x x  x ﹐ 故a4﹐b 5﹒

9. 已知三次多項式 ^{f x 滿足}

   

lim1 1 1

x

f x

 x 

 且

 

lim2 3 2

x

f x

 x 

 ﹐求

 

lim3

1

x

f x

 x ﹒ 因為x1在x1的函數值為 0 ﹐且 x2在x2的函數值為 0 ﹐ 所以兩分式的共同分子 ^{f x 有}

 

^x^¹^與^x^²的因式﹒於是﹐可設

  

¹



²

 

f x  x x ax b ﹒ 得

    

1 1

lim lim 2 1

x x

f x x ax b a b

 x       

 ﹐

    

2 2

lim lim 1 2

2

x x

f x x ax b a b

 x      

 ﹒

由題意﹐得

1

2 3

a b a b

  

  

  4

5 a b

 

  

 ﹒

即 ^{f x}

  

^ ⁴^x^⁵



^x^¹



^x^²



^﹒

故

 

3

7 2 1 7 lim^x 1 3 1 2

f x

 x

   

  ﹒

(5)

10. 已知

2 2

lim 8

2

x

x ax x b



  

 ﹐求實數 a ﹐ b 的值﹒

因為當 x 接近 2 時﹐ x 為負﹐所以

2 2

8 8

lim lim

2 2

x x

x ax x ax

x x

 

    

   ﹒

因為此分式在x 2的極限存在，且其分母在x 2的函數值為 0 ﹐ 所以其分子在x 2的函數值為 0 ﹐即

 

^² ²^{    }^a

 

² ⁸ ⁰ ^ ^a^⁶^﹒

因此﹐

原式

  

     

2

2 2 2

2 4 6 8

lim lim lim 4 2

2 2

x x x

x x

x x x

  

 

      

    ﹒

故a6﹐b 2﹒

11. 已知函數

 

³₂ ^2, ¹

, 1

x x

f x x k x

  

 

  

 為連續函數﹐求實數 k 的值﹒

因為當x1或 x1時﹐ f x 是多項式函數﹐所以只要

 

^{f x 在}

 

^x^¹^處連續﹐

 

f x 就是連續函數 ﹒又由於要使 ^{f x 在}

 

^x^¹^{處連續﹐必須滿足}

   

lim1 1

x f x f

  ﹐且

 

1 1³ 2 3 f    ﹐

  

³



1 1

lim lim 2 3

x _ f x x _ x

     ﹐

  

²



1 1

lim lim 1 1

x _ f x x _ k k

        ﹐ 於是可得 1  k 3﹐解得k4﹒

(6)

12. 已知方程式x 3x 4x 11 0恰有一個負根﹐求與此負根最接近的整數﹒

令 ^{f x}

 

^^x³^³^x²^⁴^x^¹¹^{﹐經過計算得}

 

²1 11 11^{1 0} x

f x

 



因為 ^f

   

^² ^f ^{ }¹ ⁰^{﹐所以此負根在區間}



^{ }^{2, 1}



^內﹒

又因為

3 27 27 55

6 11 0

2 8 4 8

f        ﹐

所以

 

² ³ ⁰

f  f2 ﹐即此負根在區間 3 2, 2

  

 

 內﹒

故與此負根最接近的整數為 2 ﹒

第 1 章 極限與函數

1-4 函數的極限

  

  

  

     

第 1 章 極限與函數

 





 

 

 

   

 

   

 





 

 

 

  

 

 

  







     

  

  

   

 

 

 

  



 

    

    

  







 

 

 

  

     

 

 

 

 

 

   

 

  



  



 

 

   





 

第 1 章極限與函數

第 1 章極限與函數