第 第
第 第 2 章 章 章 章 數列與級數 數列與級數 數列與級數 數列與級數
2-1 數 數 數 列 數 列 列 列
例題例題
例題例題 2 寫出等差或等比數列的前五項寫出等差或等比數列的前五項寫出等差或等比數列的前五項 寫出等差或等比數列的前五項 寫出下列各數列的前五項：
(1) 等差數列 an ，首項 a1＝10，公差 d＝3 (2) 等比數列 bn ，首項 b1＝3，公比 r＝2
解 解 解
解 (1) 等差數列首項 a1＝10，公差 d＝3
∴ a2＝10＋3＝13 a3＝13＋3＝16 a4＝16＋3＝19 a5＝19＋3＝22
故前五項為 10，13，16，19，22 (2) 等比數列首項 b1＝3，公比 r＝2
∴ b2＝3 ×2＝6 b3＝6 ×2＝12 b4＝12 ×2＝24 b5＝24 ×2＝48
故前五項為 3，6，12，24，48
例題例題
例題例題 3 由數列的已知項求首項由數列的已知項求首項由數列的已知項求首項、公差與一般項由數列的已知項求首項 公差與一般項公差與一般項公差與一般項 (1) 等差數列 an 中，a5＝11，a8＝29。試求：
① 首項 a1 ② 公差 d ③ 一般項 an (2) 等比數列 bn 中，b2＝4，b5＝32。試求：
① 首項 b1 ② 公比 r ③ 一般項 bn
解解
解解 (1) 已知 a5＝11，a8＝29 故 1
1
4 11 7 29
a d
a d
+ =
+ =
L L L L L L L L
－得 3d＝18 d＝6 代入，得 a1＝11 －24＝－13
∴ an＝－13＋6（n －1）＝6n －19
故得首項 a1＝－13，公差 d＝6，一般項 an＝6n －19 (2) 已知 b2＝4，b5＝32
故 1 4
1
4 32 b r b r
=
=
L L L L L L L L L L L
得 r3＝8 r＝2，代入，得 1 4 2 2 b = =
∴ bn =b r1 n−1＝2 2× n−1＝2n
故得首項 b1＝2，公比 r＝2，一般項 bn＝2n
……
…….
………
……….
例題例題
例題例題 4 將等差數列寫成遞迴式將等差數列寫成遞迴式將等差數列寫成遞迴式 將等差數列寫成遞迴式 將下列等差數列改寫為遞迴定義式：
(1) 等差數列 an ，首項 a1＝20，公差 d＝－3
(2) 等差數列 bn = 5 11 17， ， ， ，23 L L
解 解 解
解 (1) 1
1
20
3 2
n n
a
a a− n
=
= − ≥
，
(2) 首項 b1＝5
公差 d＝11 －5＝6
故得 1
1
5
6 2
n n
b
b b− n
=
= + ≥
，
例題 例題 例題
例題 5 將等比數列寫成遞迴式將等比數列寫成遞迴式將等比數列寫成遞迴式 將等比數列寫成遞迴式 將下列等比數列改寫為遞迴定義式：
(1) 等比數列 an ，首項 a1＝－2，公比 r＝3
(2) 等比數列 bn = 2，−4， ，8 −16，L L
解解
解解 (1) 1
1
2
3 2
n n
a
a a− n
=
= ≥
，
(2) 首項 b1＝2 公比 2
1
4 2 2 r b
b
= = − = −
故得 1
1
2
2 2
n n
b
b b− n
=
= − ≥
，
…
…
例題例題
例題例題 6 寫出數列的遞迴式與一般項寫出數列的遞迴式與一般項寫出數列的遞迴式與一般項（觀察圖形寫出數列的遞迴式與一般項 觀察圖形觀察圖形觀察圖形）
(1) 用牙籤拼成連續正方形如右圖，若依此規 律，第 n 圖需要 an 枝牙籤，請寫出數 列 an 的遞迴式
(2) 如右圖，正方形 S1 的邊長為 2，連接 S1 四邊中點得正方形 S2，依此規 律得一系列正方形 S1，S2，S3，S4，……。設 bn 表示 Sn 的邊長，請寫 出數列 bn 的遞迴式
解解
解解 (1) 觀察圖形得
a1＝4，a2＝a1＋3，a3＝a2＋3，a4＝a3＋3 故得 an 的遞迴式為 1
1
4
3 2
n n
a
a a− n
=
= + ≥
，
(2) 由已知得 b1＝2
如右圖，b2 = 12+1 = 22
同理，
2 2
3
2 2
2 2 1 b
= + =
3 2
2 1
1 2 2
2 2
2
b b
b = = ，b =
故得 bn 的遞迴式為
1
1
2
2 2
n 2 n
b
b b− n
=
= ≥
，
例題例題
例題例題 7 觀察規律寫出數列的指定項觀察規律寫出數列的指定項觀察規律寫出數列的指定項 觀察規律寫出數列的指定項
(1) 數列 an = 2， ， ， ， ，8 18 32 50 L L ，試寫出此數列的第 10 項
(2) 數列 bn = 1 5， ， ， ， ， ，6 11 17 28 L L ，試寫出此數列的第 10 項
解解
解解 (1) 觀察此數列的規律性
a1＝2＝2 ×1＝2 ×12，a2＝8＝2 ×4＝2 ×22，a3＝18＝2 ×9＝2 ×32 a4＝32＝2 ×16＝2 ×42，a5＝50＝2 ×25＝2 ×52
故第 10 項為 a10＝2 ×102＝200 (2) 觀察此數列的規律性
b1＝1，b2＝5，b3＝6＝1＋5＝b1＋b2，b4＝11＝5＋6＝b2＋b3
b5＝17＝6＋11＝b3＋b4，b6＝28＝11＋17＝b4＋b5 故 b7＝b5＋b6＝17＋28＝45，b8＝b6＋b7＝28＋45＝73 b9＝b7＋b8＝45＋73＝118，b10＝b8＋b9＝73＋118＝191
…
…
例題例題
例題例題 8 由遞迴式求數列的前五項由遞迴式求數列的前五項由遞迴式求數列的前五項 由遞迴式求數列的前五項
(1) 數列 an 滿足遞迴式 1
1
12
3 5 2
n n
a
a a− n
=
= − ≥
， ，試寫出此數列的前 5 項
(2) 數列 bn 滿足遞迴式
1
1
1 3
1 2
n 3
n
b
b n
b−
=
= ≥
− ，
，試寫出此數列的前 5 項
解解
解解 (1) 由遞迴式得
a1＝12，a2＝3 ×12 －5＝31，a3＝3 ×31 －5＝88 a4＝3 ×88 －5＝259，a5＝3 ×259 －5＝772 故前 5 項為 12，31，88，259，772 (2) 由遞迴式得
1
1 b =3
2
1 1 3
1 8 8 3 3 3
b = = =
−
3
1 1 8
3 21 21 3 8 8
b = = =
−
4
1 1 21
8 55 55 3 21 21
b = = =
−
5
1 1 55
21 144 144 3 55 55
b = = =
−
故前 5 項為 1 3，3
8， 8 21，21
55， 55 144
例題例題
例題例題 9 由數列的遞迴式推測一般項並用數學歸納法證明由數列的遞迴式推測一般項並用數學歸納法證明由數列的遞迴式推測一般項並用數學歸納法證明 由數列的遞迴式推測一般項並用數學歸納法證明
設數列 an 滿足遞迴式
1
1
1 3
1 2
( 2 1) ( 2 1)
n n
a
a a n
n n
−
=
= + ≥
− +
，
，試觀察此數列前幾
項，推測其一般項 an 的形式，並用數學歸納法證明
解 解 解
解 n＝1 時， 1 1
a =3；n＝2 時， 2 1 1 6 2 3 3 5 15 5
a = + = =
× n＝3 時， 3 2 1 15 3
5 5 7 35 7
a = + = =
× ；n＝4 時， 4 3 1 28 4 7 7 9 63 9
a = + = =
× n＝5 時， 5 4 1 45 5
9 9 11 99 11
a = + = =
×
觀察前五項，推測此數列一般項為
2 1
n
a n
= n
+ ，底下用數學歸納法證明 (1) 當 n＝1 時， 1 1 1
2 1 1 3
a = =
× + (2) 設 n＝k 時，原式成立，即
2 1
k
a k
= k
+ ， 則 n＝k＋1 時，
1
1 1
2 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 2 1 ( 2 1) ( 2 3)
k
k k
a+ = k + k k = k + k k
+ 〔 + −〕〔 + +〕 + + +
( 2 3) 1 2 2 3 1 ( 2 1) ( 2 3) ( 2 1) ( 2 3)
k k k k
k k k k
+ + + +
= +
+ + + +
( 2 1) ( 1) 1 1
( 2 1) ( 2 3) 2 3 2 ( 2 1) 1
k k k k
k k k k
+ + + +
= = =
+ + + + +
所以 n＝k＋1 時，推測也成立 故由數學歸納法可知，此數列
2 1
n
a n
= n
+ ，對所有正整數 n 都成立
例題例題
例題例題 10 數學歸納法數學歸納法數學歸納法（正整數的恆等式數學歸納法 正整數的恆等式正整數的恆等式正整數的恆等式）
利用數學歸納法證明：1＋3＋5＋7＋……+（2n －1）＝n2，對所有正整數 n 均成立 證證
證證 (1) 當 n＝1 時，2 ×1 －1＝12，原式成立
(2) 設 n＝k 時，原式成立，即 1＋3＋5＋7＋……+（2k －1）＝k2 則 n＝k＋1 時，
1＋3＋5＋……+（2k －1）+〔2（k＋1）－1〕
＝k2＋2k＋1 ＝（k＋1）2 所以 n＝k＋1 時，原式也成立
故由數學歸納法可知，原式對所有正整數 n 均成立
