導函數的極限定義

導函數的極限定義

單維彰‧2015 年 5 月

既然知道了導數可以用極限來定義，那麼導函數也可以如法炮製了。我們希望，

一般函數的導函數，都可以寫成一個極限的定義式，就將會得到推廣的微分公 式。如果套公式就能寫出導函數 f x( )，則計算導數不過就是把xa代入 f x( )， 豈不更方便？

回顧 f 在 a 的導數定義 ( )

f a  ( ) ( ) lim

x a

f x f a

 x a





怎樣寫出導函數 f x( )的極限定義式呢？第一個秘訣就是令x a h，意即 x 跟 a 有一個差距為h，h可為正或負數，如下圖。

因為h  x a ，所以當 x 越來越靠近 a ，就是|x a 越來越接近 0；因此| x 等同於a h0。了解以後，剩下第二個秘訣就是簡單的代數運算：

0

( ) ( ) lim

( ) ( ) lim

( )

x a

h

f x f a x a f

h f a

a h f a









 

 



別忘了 f a( )本來就是一個以 a 為變數的函數，當初是因為習慣使用 x 當作變數 符號，而將 a 改成 x。現在重施故技，將

0

( ) (

( ) )

lim

h

f a h f

a a

f h



   

a 改成 x 就是

0

( ) (

( ) )

lim

h

f x h f x

x h

f 

   

於是我們獲得了導函數的極限定義，如下。

導函數的極限定義 令 ( )f x 是一個函數，則

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

 h

 

就是 ( )f x 的導函數，記作 f x 或者[ ( )]'( ) f x  。如果代入xa可以算出 '( )f a ，它 就是 f 在 a 的導數。求導函數的過程也稱作微分。

讓我們先以單項函數 ( )f x  xⁿ，其中n1, 2, 3, … 示範極限定義的操作。

根據定義：

0

( ) [ ] lim

n n

n h

x h x

x ^ h

 

 

以上的分式不能直接代入h0，但是可以用二項式展開分子：





(xh)ⁿ xⁿ  xⁿnhx^n C hⁿ x^n hⁿ xⁿ

1 2 2

2

n n n n

nhx ^ C h x ^ h

   

與分母 h 約分之後，極限式就成了簡單的多項式函數極限（以 h 為變數）

0 0

1 2 1

2

( )

lim lim

n n

h

n n n

h

nxn C hx h

x h x h

  

        nx^n1

可見

1 0

( ) [ ] lim

n n

n n

h

x h x

x nx

h





 

  

這就是我們已經知道的微分基本公式。我們把n0的情況留給讀者去驗證。

最後，我們再以 f x( ) x為例，示範一次導函數極限定義的操作。首先，

寫出導函數的極限定義式

0

lim

h

x h x

 h

 

然後運用有理化分子的伎倆，將分式轉換成可以代入h0的式子：

x h x h

  ( )( )

( )

x h x x h x

h x h x

   

  

( ) ( )

( )

x h x

h x h x

  

 

1

x h x

  

代入h0的得到 1

2 x ，因此 x 的導函數就是

[ x]

0

lim 1

2

h

x h x

h x



   

可見導函數的極限定義，可以將微分的基本公式，推廣到多項式以外的函數。這 是我們將來要逐步學習的目標。