勾股定理證明-G098

(1)

勾股定理證明-G098

【作輔助圖】

1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。

2. 過 C 作 CLHK於 L ，且與 AB 相交於 P 點。

3. 過 G 作 MN // HK ，分別與 AH , BK 相交於 M 點, N 點。

4. 連接 AD , BG , CK 。

A B

C

D E

F

G

H K

M

L

N P

【求證過程】

以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 將正方形 ABKH 切割成兩個長方形，最後由底高的面積計算得到這兩個長方形的面積 和會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。

1. 先證明三角形 AMG 與三角形 APC 全等，再得到 AM  AP：由作圖的平行關係可知AMG APC90^，又因為 AG AC,

90

MAG ^ BAG PAC

      ，所以

AMG APC

   (AAS 全等).

(2)

可得到

AM  AP.

2. 證明四邊形 MNKH 的面積與四邊形 PBKL 的面積相等：

由作圖的平行關係可知四邊形 MNKH 與四邊形 PBKL 皆為長方形，又因為 AM  AP，所以 MH  AHAM  ABAPBP，因此

MNKH MH HK BP BK

PBKL



長方形面積＝

＝

＝長方形面積.

3. 證明三角形 KBC 與三角形 ABD 全等：

因為BK  AB, BCBD, 且KBC90^ ABC ABD，所以 KBC ABD

   (SAS 全等).

4. 證明長方形 MNKH 的面積與正方形 BCED 的面積相等：

2 2

2 (1 )

2

MNKH PBKL

BK BP KBC ABD

BD BC



 

  

長方形面積＝長方形面積

＝＝＝＝

面積面積

BD BC BCED

 ＝

＝正方形面積.

5. 證明四邊形 ABNM 的面積與正方形 ACFG 的面積相等：

由作圖的平行關係可知四邊形 ABNM 為長方形，且

2

2 (1 )

2 ABNM AB AM

ABG

AG AC AG AC

ACFG



 

  



長方形面積＝

＝＝＝

面積

＝正方形面積.

6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：

ABKH ABNM MNKH

ACFG BCED

正方形面積＝長方形面積＋長方形面積

＝正方形面積＋正方形面積.

得到

2 2 2

, AB  AC BC

(3)

即

2 2 2

. c a b

【註與心得】

1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：

Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 268.

2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 AMG 與三角形 APC 全等，四邊形 MNKH 的 面積與四邊形 PBKL 的面積相等，以及三角形 KBC 與三角形 ABD 全等，進 一步透過圖形的切割與面積相等的關係轉換，推得正方形 ABKH 的面積會等 於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。

3. 評量：

國中高中教學欣賞美學

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