二元一次方程式解的圖形
自我評量
y = k 的圖 形
二元一次方程式的圖形
x = h 的圖
二元一次聯立方程式的圖形形
上一節中,我們學習利用數對表示坐標平面 上某一點的位置。在本節中,我們將透過數對 將二元一次方程式以圖形呈現在坐標平面上,
並進一步探討二元一次聯立方程式的解與其圖 形之間的關係。
一個二元一次方程式的任意一組解,
可以記錄成數對的形式,此時這一組解在坐標平 面上的圖形就是一個點。
例如: x = 0 , y = 5 是二元一次方程式 x
+ 3y = 15 的一組解,這一組解的圖形就是坐標 平面上( 0 , 5 )這一點。
又如 x = 1 , y = 是二元一次方 程式 x + 3y = 15 的另一組解,這一組解的圖形 就是坐標平面上( 1 , )這一點。
143
143
求出二元一次方程式 x + 2y = 5 的任意七組 解,並在坐標平面上畫出這七個點。
解解 將 y 分別以 0 、 1 、 2 、……、 6 代入,
求出對應的 x 值,可得到七組解,如下表:
x 5 3 1 - 1 - 3 - 5 - 7
y 0 1 2 3 4 5 6
1 二元一次方程式的解與描點
x = 5 , y = 0 這一組解的圖形是點 A (5 , 0)
;
x = 3 , y = 1 這一組解的圖形是點 B (3 , 1)
;
x = 1 , y = 2 這一組解的圖形是點 C (1 , 2)
;
x =- 1 , y = 3 這一組解的圖形是點 D ( - 1 ,3) ;
x =- 3 , y = 4 這一組解的圖形是點 E ( - 3 , 4) ;
x =- 5 , y = 5 這一組解的圖形是點 F ( - 5 , 5) ;
x =- 7 , y = 6 這一組解的圖形是點 G ( - 7 ,6) 。
圖 2-11
1. 下表中 x 與 y 的值都是二元一次方程式 2x - y = 4 的解,請完成下表,並將這些 解的圖形畫在坐標平面上。
x - 1 0 3
y -
2 0 6
1.
- 6 - 4 2
1 2 5
2. 下列哪些是二元一次方程式 3x + y = 4 的 解?
( 4 , 0 )、( 0 , 4 )、( 1 , 1 )、( 2 , 2 )、
(- 2 , - 2 )、(- 2 , 10 )
( 0 , 4 )、( 1 , 1 )、 (- 2 , 10 )是二元 一次方程式 3x + y = 4 的解。
在第一章,我們學過二元一次方程式的 解有無限多組,例如下表中的每一組 x 、 y 的 值都是二元一次方程式 x - y = 1 的一組解:
x … -
3 -
2 -
1 0 1 2 3 4 … y … -
4 -
3 -
2 -
1 0 1 2 3 …
把這些解的點描繪在坐標平面上,如圖 2-12 。
圖 2-12
在圖 2-13 中,畫出通過 A (- 3 , - 4 )、 B ( 4 , 3 ) 兩點的直線,並稱此直 線為直線 AB , 如圖 2-13 。
圖 2-13
可以發現,上表中二元一次方程式 x
- y = 1 其他解的點都落在直線 AB 上。
我們再來看看下面的例子。下表中,每 一組
x 、 y 值都是二元一次方程式 2x + y = 3 的解:
x … -
2 -
1 0 1 2 3 4 …
y … 7 5 3 1 -
1 -
3 -
5 …
把這些解的點描繪在坐標平面上,如圖 2-14 。
圖 2-14
在圖 2-14 中,畫 出通過 P (- 2 , 7 )、 Q
( 4 , - 5 )兩點的直線,
並稱此直線為直線 PQ , 如圖 2-15 。
圖 2-15
可以發現,二元一次方程式 2x + y = 3 其他解的點都落在直線 PQ 上。
如果我們再找出方程式 2x + y = 3 的其他組 解,如下表:
x … …
y … 6 4 2 0 -2 -4 -6 … 23
12
21
23
25
72
92
把這些解的點描繪在圖 2-15 的坐標平 面上,可以得到如圖 2-16 的圖形。
圖 2-16
如圖 2-16 ,我們發現這些解的點(以藍 點表示)同樣落在直線 PQ 上。
事實上,方程式 2x + y = 3 的所有解描繪 出的點都會落在直線 PQ 上。相對地,直線 P Q 上的任一點都代表方程式 2x + y = 3 的一組 解。
例如:直線 PQ 上任一點 R 的坐標( m , n )是方程式 2x + y = 3 的解,即 2m + n = 3
,移項後得 n = 3 - 2m
也就是說,在方程式 2x + y = 3 上任一點 R 的坐標,都可以寫成( m , 3 - 2m )的形式。
一個二元一次方程式的所有解在坐標 平面上所成的圖形,稱為該方程式的圖形。例如
:圖 2-16 中,直線 PQ 為二元一次方程式 2x
+ y = 3 所有的解在坐標平面上形成的圖形,我 們就說直線 PQ 是二元一次方程式 2x + y = 3 的圖形,並將直線 PQ 稱為直線 2x + y = 3 。 一般來說,
形如 ax + by = c ( a≠0 , b≠0 )的二元一次 方程式,其圖形在坐標平面上是一條直線,該直 線上任何一點都是原方程式的一組解。
1. 有四個數 a 、 b 、 c 、 d ,且( 2 ,a )、
(- 3 ,b )、( c , 8 )、( d , - 4 )都在二 元 一 次 方 程 式 x + 2y = 6 的 圖 形 上 , 求 a 、 b 、 c 、 d 這四個數的。值 值
a = 2 , b = , c =- 10 , d = 14 。 92
2. 找出二元一次方程式 x - 2y = 4 的五組解,
描繪在坐標平面上,再畫出二元一次方程式 x
- 2y = 4 的圖形。
x 4 2 0 - 2 - 4 y 0 - 1 - 2 - 3 - 4
3. 承上題,若點 A ( __ , a )在方程式 x - 2 y = 4 的圖形上,求 A 點的坐標。(以含 a 的式子表示)
A ( 4 + 2a , a )
通過不同的兩點,可以畫出一條直 線。因為二元一次方程式的圖形都是一條直 線,所以只要求出方程式的兩組解,然後再 描出這兩組解在坐標平面上所對應的點,就 可以藉由這兩點畫出二元一次方程式的圖形
。
2 畫二元一次方程式的圖
在坐標平面上畫出二元一次方程式 2x + y = 1 的圖形。
解解先求出二元一次方程式 2x + y = 1 的兩組解。
x 0 1 y 1 - 1
將這兩組解的點描繪在坐 標平面上, 並畫出通過 此兩點的直線,如圖 2-1 7 。
此直線即為二元一次方程
式 2x + y = 1 的圖形。 圖 2-17
解解
3 畫二元一次方程式的圖
在坐標平面上畫出二元一次方程式 y = 3x + 1 的圖形。
解解先求出二元一次方程式 y = 3x + 1 的兩組解。
x 0 1 y 1 4
將這兩組解的點描繪在坐 標平面上,並畫出通過此 兩點的直線,如圖 2-18 。
此直線即為二元一次方程 式 y = 3x + 1 的圖形。
圖 2-18
解解
1. 在右圖的坐標平面上,畫出二元一次方程式 2x + y = 2 的圖形。
x 1 0
y 0 2
x 0 3
y 3 0
2. 在右圖的坐標平面上,畫出二元一次方程式 y =- x + 3 的圖形。
知足是天賦的財富,奢侈是人為的貧窮。
—— 蘇格拉底( Socrates , 470B.C.-399B.
C. )
4 畫二元一次方程式的圖
在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x + 2y = 0 的圖形。
解解先求出二元一次方程式 3x + 2y = 0 的兩組解。
x 0 2 y 0 - 3
將這兩組解的點描繪在坐 標平面上,並畫出通過此 兩點的直線,如圖 2-19
。
此直線即為二元一次方程 式 3x + 2y = 0 的圖形。
圖 2-19
x 0 1
y 0 4
在右圖的坐標平面上,畫出二元一次方程式 4x - y = 0 的圖形。
若方程式 ax + by = c 的 a 、 b 都不為 0 時
,其圖形為一條斜直線。
特別當 c = 0 時,該直線會通過原點。
坐標平面上任意一條直線與 x 軸相交 時,因為交點在 x 軸上,所以這個交點的 y 坐標必為 0 ;同樣地,坐標平面上任意一條 直線與 y 軸相交時,因為交點在 y 軸上,所 以這個交點的 x 坐標必為 0 。
5 圖形與兩軸的交點
在坐標平面上畫出二元一次方程式 3x + 4y = 12 的圖形,並寫出該圖形與 x 軸、 y 軸的交點 坐標。
解解將 x 、 y 值分別以 0 代入,並求得對應的值:
x 0 4 y 3 0
將這兩組解的點描在坐標 平面上,並畫出通過此兩 點的直線,如圖 2-20 。 此直線即為二元一次方程 式 3x + 4y = 12 的圖形
。
該圖形與 x 軸的交點為( 4 , 0 ),與 y 軸的 交點為( 0 , 3 )。
圖 2-20
1. 在右圖的坐標平面上
, 畫 出 二 元 一 次 方 程 式- 3x + 4y = 12 的 圖 形 , 並 寫 出 該 圖 形 與 x 軸、 y 軸的交點 坐標。
1.
x - 4 0
y 0 3
與 x 軸交點為 ( - 4 , 0 ) ,
與 y 軸交點為 ( 0 , 3 )
。
2. 在右圖的坐標平面 上,畫出二元一次 方程式 y =- 3x
- 2 的圖形,並寫 出該圖形與 x 軸、
y 軸的交點坐標。
2.
x 0
y - 2 0 32
與 x 軸交點為 ( , 0 )
,
與 y 軸交點為 ( 0 , - 2 ) 。
32
在坐標平面上, x 軸上的任一點,不 論 x 坐標為任何數,其 y 坐標必為 0 ,例如:
( - 2 , 0) 、( 0 , 0 )、( 1 , 0 )、( 3 , 0 )
、……。這些點的坐標都可以寫成( a , 0 )的 形式。也就是說, x 軸所代表的直線方程式為 y = 0 ,如圖 2-21 。
圖 2-21
如圖 2-22 ,已知坐標平面上一直線通過 (0 , 3) ,且該直線與 x 軸平行。那麼,這條直線所 代表的方程式會是什麼呢?
圖 2-22
如同 y = 0 的圖形是 x 軸之情形,
這個圖形上的任一點,其 y 坐標都是 3 ,例 如:(- 2 , 3 )、 (- 1 , 3 )、( 0 , 3 )、
( 1 , 3 )、( 2 , 3 )、( 3 , 3 )、……,這些 點的坐標都可以寫成( a , 3 )的形式,其中 a 為任意數,此直線的方程式為 y = 3 ,如圖 2- 23 。
圖 2-23
y = 3 也可解釋為 0‧x + y = 3 ,
但因 0‧x = 0 ,所 以直接記成 y = 3 。
反過來說,在坐標平面上,滿足方程 式 y = 3 的解,都會在同一條直線上,而且這條 直線是由所有 y 坐標都是 3 的點所形成的,
它的圖形是一條與 x 軸平行的直線。
由下列數對中找出滿足方程式 y =- 5 的解
,並將這些解描在坐標平面上。
( 0 , - 5 )、( 1 , - 5 )、( 4 , - 5 )、
(- 2 , - 5 )、(- 5 , - 5 )、(- , - 5 )、
(- 5 , 0 )、(- 5 , 5 )、( 1 , 1 )、( 0 , 0 )
21
(0, - 5) 、 (1, - 5) 、
(4 , - 5) 、 ( - 2 , - 5) 、 ( - 5 , - 5) 、 ( - , - 5)
12
6 水平直線的畫圖
在坐標平面上畫出方程式 y =- 4 的圖形。
解解 y =- 4 圖形上的任意一點,其 y 坐標 皆為- 4 。
先找出在方程式 y =- 4 圖形上的兩點 A ( 0 , - 4 ), B ( 1 , - 4 ),
x 0 1 y - 4 - 4
並畫出通過 A ( 0 , - 4 ), B ( 1 , - 4 ) 兩點的直線,如圖 2-24 。
此直線即為方程式 y =- 4 的圖形。
圖 2-24
1. 已知一直線通過 C ( 5 , - 2 ),且該直線 平行
x 軸,試求出這條直線所代表的方程式。
y =- 2
2. 在右圖的坐標平面上,畫出方程式 y = 1 的 圖形。
x 0 1
y 1 1
事實上, y = 0 的圖形就是 x 軸。其他
如 y = 1 ,
y =- 5 , y = ,……,這種形如 y = k , k≠
0 的方程式,在坐標平面上的圖形都是一條與 x 軸平行的直線。
25
方程式 ax + by = c :
(1) 若 a = 0 , b≠0 , c = 0 ,則可得 y = 0
,其圖形 為 x 軸。
(2) 若 a = 0 , b≠0 , c≠0 ,則可得 y = k , k≠0 ,其圖形為平行 x 軸的直線。
在坐標平面上, y 軸上的任一點,不論 y 坐標為任何數,其 x 坐標必為 0 ,例如:( 0 ,
- 2 )、( 0 , 0 )、( 0 , 3 )、……,這些點 的坐標都可以寫成( 0 , b )的形式。也就是說
, y 軸所表示的直線方程式為 x = 0 ,如圖 2- 25 。
圖 2-25
如圖 2-26 ,已知坐標平面上一直線 通過(- 3 , 2 ),且該直線與 y 軸平行。那麼,
這條直線所代表的方程式會是什麼呢?
圖 2-26
如同方程式 x = 0 的圖形是 y 軸之情 形,這個圖形上的任一點,其 x 坐標都是- 3 , 例如:(- 3 , - 1 )、(- 3 , 0 )、(- 3 , 1 )、(- 3 ,
2 )、(- 3 , 3 )、……,這些點的坐標都可 以寫成(- 3 , b )的形式,其中 b 為任意數,
此直線的方程式為 x =- 3 ,如圖 2-27 。
x = - 3 也 可 解 釋 為
x + 0‧y =- 3 , 但 因 0‧y = 0 , 所以
直接記成 x =- 3
。 圖 2-27
反過來說,在坐標平面上,滿足 方程式 x =- 3 的解,都會在同一條直線上
,而且這條直線是由所有 x 坐標都是- 3 的 點所形成的,它的圖形是一條與 y 軸平行的 直線。
解解 x = 5 圖形上的任一點,其 x 坐標皆為 5 。
先找出在方程式 x = 5 圖形上的兩點 A ( 5 , 0 )、 B ( 5 , 1 ),
x 5 5 y 0 1 7 鉛垂直線的畫圖
在坐標平面上畫出方程式 x = 5 的圖形。
並畫出通過 A ( 5 , 0 ), B ( 5 , 1 )兩 點的
直線,如圖 2-28 。
此直線即為方程式 x = 5 的圖形。
圖 2-28
1. 已知一直線通過 A ( 4 , - 2 ),且該直線 平行
y 軸,試求出這條直線所代表的方程式。
x = 4
2. 在右圖的坐標平面上,畫出方程式 x =
的圖形。 25
1 0
y
x 25
25
事實上, x = 0 的圖形就是 y 軸。其 他如 x = 1 , x =- 5 , x = ,……,這種形 如 x = h , h≠0 的方程式,在坐標平面上的圖形 都是一條與 y 軸平行的直線。
25
方程式 ax + by = c :
(1) 若 a≠0 , b = 0 , c = 0 ,則可得 x = 0 ,其圖形
為 y 軸。
(2) 若 a≠0 , b = 0 , c≠0 ,則可得 x = h , h≠0 ,
其圖形為平行 y 軸的直線。
只要先找出滿足二元一次方程式的兩 點,就可以畫出這個方程式在坐標平面上的圖 形。那麼,如果在坐標平面上,已知一條直線 上的兩個點的坐標,可不可以求出這條直線的 方程式呢?
8 求過已知兩點的直線方程式
已知方程式 ax + by = 1 的圖形通過 A ( 3 , 5 )、 B ( 1 , 1 )兩點,試求出這條直線的方 程式。
解解 因為方程式 ax + by = 1 的圖形通過 A ( 3 ,5 )、 B ( 1 , 1 )兩點,所以 A ( 3 , 5 )、
B ( 1 , 1 )
必為方程式 ax + by = 1 的解。
將 A ( 3 , 5 )、 B ( 1 , 1 )代入 ax + by
= 1 得
解得 a = 2 , b =- 1 。
所以通過 A 、 B 兩點的直線方程式為 2x - y
= 1 。
3a + 5b = 1
a + b = 1
已知方程式 y = ax + b 的圖形通過 A ( 0 , 1 )、 B ( 1 , - 2 )兩點,試求出這條直線 的方程式。
y =- 3x + 1
提出一個問題往往比解決一個問題更重要,因 為解決問題也許僅是一個數學上或實驗上的技 能而已。而提出新的問題,新的可能,從新的 角度去看舊的問題,都需要有創造性的想像力
,而且標誌著科學的真正進步。
—— 培根( Francis Bacon , 1 561-1626 )
上一章我們學過二元一次聯立方程式
,例
如: 。其中包含兩個二元 一次方程式
x - y = 1 與 x + 2y = 4 ,我們可以在坐標 平面上
分別畫出它們的圖形:
x - y = 1
x + 2y
= 4
(1) 找出 x - y = 1 的兩組解:
x 0 1 y - 1 0
則 x - y = 1 的圖形 是通過 A ( 0 , - 1 )
、 B ( 1 , 0 )兩點的 直線 L1 。(如圖 2-2 9 )
先選定 x 值或 y 值為 0 ,會比較容易畫圖。
(2) 找出 x + 2y = 4 的兩組解:
x 0 4 y 2 0
則 x + 2y = 4 的圖 形是通過 C ( 0 , 2 )
、 D ( 4 , 0 )兩點的 直線 L2 。(如圖 2-2
9 ) 圖 2-29
由圖 2-29 可以發現,直線 L1 與 L2 於一點 P(2 , 1) 。
因為 P ( 2 , 1 )在直線 L1 上,所以 x = 2 , y = 1 是方程式 x - y = 1 的解,
又 P ( 2 , 1 )也在直線 L2 上,所以 x = 2 , y = 1 也是方程式 x + 2y = 4 的解。
也就是說,
兩直線的交點坐標就是二元一次聯立方程式的解
,反過來說,二元一次聯立方程式的解,在坐標 平面上的位置就是此兩直線的交點。
在坐標平面上,不一定每次都容易描 述所看到兩直線的交點坐標,此時可配合二元一 次聯立方程式的求解法,找出兩直線的交點坐標
。
9 兩直線的交點坐標
在坐標平面上分別畫出二元一次方程式 6x + y
= 6 與 3x - 2y =- 7 的圖形,若此兩直線相 交於一點 A ,試求出交點的坐標。
解解 (1) 先找出 6x + y = 6 的 兩
組 解 , 畫 出 直 線 L1 。x 0 1
y 6 0
再找出 3x - 2y =-
7 的兩組解,畫出直 線 L2 。(如圖 2-3 0 ) x 1 - 1
y 5 2 圖 2-30
(2) 解聯立方程式
由式 ×2 +式得:
15x = 5 x =
將 x = 代入式得:
6× + y = 6
2 + y = 6 y = 4
所以直線 L1 與 L2 的交點坐標為 A ( , 4 )。
31 31 13
13
兩直線的交點坐標就是二 元一次聯立方程式的解。
6x + y = 6 ………
3x - 2y =- 7 …
…
1. 若坐標平面上直線 2x + y =- 2 與直線 x + 2y = 5 交於一點 P ,試畫出兩直線的 圖形,並求出 P 點的坐標。
2x + y =- 2 x 0 - 1
y -
2 0
x + 2y = 5
x 5 1
y 0 2
1.
由
解得 x =- 3 , y
= 4
所以 P 點坐標為
(- 3 , 4 )
5 2
2 2
y x
y x
2. 在下圖的坐標平面上,畫出二元一次聯立方 程式 所表示的兩條
直線,並求出這兩條直線的交點坐標。
2x + 3y = 5 x 4 - 2 y - 1 3
x - 6y = 0
x 0 6
y 0 1
0 6
5 3
2
y x
y x
2.
由
解得 x = 2 , y = 所以交點坐標為
( 2 , )
0 6
5 3
2
y x
y x
13 13
有時,二元一次聯立方程式可能無解。
例如解聯立方程式
由式 ×2 -式,即出現不合理的等式 0 =- 12 。 所以這個聯立方程式無解。
2x + y =- 2 ……
4x + 2y = 8 ……
二元一次聯立方程式的解,在坐標平 面上的位置,就是兩直線的交點。因此,聯立方
程 式
無解時,它在坐標平 面上的圖形為互相平行的兩直線,即 L1 與 L2 平 行,如圖 2-31 所示。
2x + y =-
2
4x + 2y = 8
2x + y =- 2 的圖形為 通 過 A(0, - 2) 、 B(1,
- 4) 兩點的直線 L1 ; 4x + 2y = 8 的圖形為 通過 P(0 ,4) 、 Q(1 ,2) 兩點的直線 L2 。
圖 2-31
如果二元一次聯立方程式無解(沒有解),
則表示它所代表的兩條直線平行(沒有交點)。
解二元一次聯立方程式
,並在坐標平面上畫出此聯立方程式所表示的兩 條直線。
10 聯立方程式與平行線
解解 (1) 解聯立方程式
由式 ×3 -式得: 0 = 16
。
所以聯立方程式無解(沒有 解)。
2x - y = 6
6x - 3y
2x - y = 6 ……= 2
6x - 3y = 2 ……
(2) 找出 2x - y = 6 的兩 組
解,畫出直線 Lx 0 3 1 。 y - 6 0
再找出 6x - 3y = 2 的兩組解,畫出直線 L2 。(如圖 2-32 )
x 0
y - 0 圖 2-32 13
32
解二元一次聯立方程式
,並在右圖的坐標平面上,畫出其所表示的兩 條直線。
式 ×2 -式 ×3 得︰ 0 = 6 所以此二元一次聯立方程式無解
...
6 2
2
...
12 3
3
y x
y x
3x - 3y = 12
2x - 2y = 6
3x - 3y = 12
x 4 0
y 0 - 4 2x - 2y = 6
x 3 0
y 0 - 3
有時,二元一次聯立方程式有解,但它的解不一 定只有一組。
例如解聯立方程式
將式各項乘以 2 可得: 6x - 2y = 12 ,
所以 3x - y = 6 的所有解,就是 6x - 2y = 1 2 的所有解。
在坐標平面上畫出的圖形 , 如圖 2-33 所示,
...
12 2
6
...
6 3
y x
y x
12 2
6
6 3
y x
y x
3x - y = 6 的圖形為通過 A ( 0 , - 6 )、 B
( 2 , 0 )兩點的直線 L ;
6x - 2y = 12 的圖形也是通過 A ( 0 , - 6 )
、 B ( 2 , 0 )兩點的直線 L 。
圖 2-33
換句話說,聯立方程式 表面上看起來 是兩個方程式,但其實只有一個方程式,其圖形 就是一條直線。
也可以說 3x - y = 6 和 6x - 2y = 12 所 代表的直線重合。一條直線上有無限多個點,因 此上述聯立方程式有無限多組解。
也就是說,
如果二元一次聯立方程式有無限多組解,則表示 它所代表的兩條直線重合(即一條直線)。
11 聯立方程式與重合直線 1. 解二元一次聯立方程式
6 3
2
18 9
6
y x
y x
2. 在坐標平面上,畫出二元一次聯立方程式 所表示的圖形。
6 3
2
18 9
6
y x
y x
解解 1. 解二元一次聯立方程式
式 ÷3 得: 2x + 3y = 6……
因為式與式完全相同,所以它們的解 就
是 2x + 3y = 6 的所有解。
我們可以找出二元一次方程式 2x + 3y = 6 的
一些解,如下表:
...
6 3
2
...
18 9
6
y x
y x
x 0 1 2 3 4 …..
y 2 0 - …..
34
32
32
表中的每一組 x 、 y 值都滿足二元一次方 程式 6x + 9y = 18 ,故二元一次聯立方程 式
有無限多組解
。
6 3
2
18 9
6
y x
y x
2. 因為 6x + 9y = 18 和 2x + 3y = 6 的解完全 相同,
所以只要畫出 2x + 3y = 6 的圖形即可。
找出 2x + 3y = 6 的兩組解,畫出直線 L
。(如 圖 2-34 ) x 0 3
y 2 0
圖 2-34
1. 解二元一次聯立方程式
6 3
3
2 y x
y x
式 ÷3 得 x + y = 2 與式相同
所以此二元一次聯立方程式有無限多組解
...
6 3
3
...
2 y x
y x
6 3
3
2 y x
y x
x + y = 2
x 0 2
y 2 0
2. 在下圖的坐標平面上,畫出二元一次聯立方程 式 所表示的圖形。
綜合上面的結論,
在坐標平面上,一個二元一次聯立方程式的圖形 有下列三種情形:
(1) 圖形為相交於一點的兩直線,代表此聯立方 程
式有解且僅有一組解。
(2) 圖形為平行的兩直線,代表此聯立方程式無 解
(沒有解)。
(3) 圖形為重合成一直線的兩直線,代表此聯立 方
程式有無限多組解。
1. 二元一次方程式的解:如果一數對代入一個 二
元一次方程式,能使此方程式的等號成立,
則
此數對就是該二元一次方程式的解。
2. 二元一次方程式的圖形與畫法:一個二元一 次方程式的所有解在坐標平面上所成的圖形,
稱為該方程式的圖形。二元一次方程式的圖形 都是一條直線,所以二元一次方程式又稱直線 方程式。畫二元一次方程式的圖形,只要先找 出二元一次方程式中兩組不同的解,然後在坐 標平面描出此兩點並以直線連接之,即為該方 程式的圖形。
3. 直線方程式圖形的類型:( ax + by = c ) (1) 若 a 、 b 都不為 0 時,其圖形為一條斜
直
線,例如: 2x - y = 4 。
特別當 c = 0 時,該直線會通過原 點,例
如: 3x - 2y = 0 。
(2) 若 a = 0 , b≠0 , c = 0 ,則可得 y
= 0 ,
其圖形為 x 軸。
若 a = 0 , b≠0 , c≠0 ,則可得 y = k ,
k≠0 ,其圖形為平行 x 軸的直線。
(3) 若 a≠0 , b = 0 , c = 0 ,則可得 x
= 0 ,
其圖形為 y 軸。
若 a≠0 , b = 0 , c≠0 ,則可得 x
= h ,
h≠0 ,其圖形為平行 y 軸的直線。
4. 「二元一次聯立方程式的解」與「兩直線的 交點坐標」:
二元一次聯立方程式的解 這兩個方程式的圖形的交點坐標;
兩直線的交點坐標 這 兩條直線所代表的兩個方程式的共同解。
就是 就是
5. 二元一次聯立方程式的解與圖形的類型:
(1) 圖形為相交於一點的兩直線,代表此聯立
方程式有解且僅有一組解。
(2) 圖形為平行的兩直線,代表此聯立方程式 無解(沒有解)。
(3) 圖形為重合成一直線的兩直線,代表此聯 立方程式有無限多組解。
2-2 自我評量
1. 下列哪些是二元一次方程式 3x + y =- 4 的 解?( 2 , - 2 )、(- 1 , - 1 )、( ,
- 6 )、
( 0 , - 4 )
32
(- 1 , - 1 )、( , - 6 )、( 0 ,
- 4 ) 32
2. 在坐標平面上畫出下列各二元一次方程式的圖 形:
(1) y = 3x - 1
x 0 1
y -
1 2
(2) x + 2y = 4
x 0 4
y 2 0
(3) 3x + y = 0
x 0 1
y 0 -
3
(4) 3x - 4y - 12 = 0
x 4 0
y 0 -
3
(5) y =- 4
x 0 -
1 y -
4 -4
(6) 2x - 5 = 0
1 0
y
x 52
25
3. 下列哪些點在直線 x = 0 ( y 軸)上?
( 4 , 0 )、( 0 , 4 )、( 0 , 0 )、(- , 0 )、( 0 , - )、( 1 , 1 ) 43
43
( 0 , 4 )、( 0 , 0 )、( 0 , -
) 43
4. 在下圖的坐標平面上,畫出通過(- 4 , 3 )且 平
行 y 軸的直線,並求出代表此直線的方程式
。x =- 4
5. 二元一次方程式 y = 4x - 8 的圖形與 x 軸 交於 P
點,與 y 軸交於 Q 點,試求 P 、 Q 兩點 P ( 2 , 0 )、 Q ( 0 , - 8 )的坐標。
6. 已知 x 、 y 的二元一次方程式 ax + by = 2 的圖形
通過 P ( 1 , 1 )、 Q ( 4 , - 2 )兩點,
試求:
(1) a 、 b 之值。
(2) 此直線方程式。(1) a = 1 , b = 1 (2) x + y = 2
7. 已知 x 、 y 的二元一次方程式 ax + y = 3 和
x + by = 4 的圖形都通過點( 2 , - 1 ),
試求出
a 、 b 之值。a = 2 , b =- 2
8. 在坐標平面上,畫出下列各二元一次聯立方 程式的圖形,並 判斷其解為 「只有一組
解」
、「無解」或「無限多組解」:
(1)
6 3 y
x
y x
x 0 3
y 3 0
x 1 4
y -
5 -2
□ 只有一組解 □無 解
□ 無限多組解 ˇ
(2)
0 24
12 8
6 3
2
y x
y x
x 3 0
y 0 -
2 x -3 0
y 0 2
□ 只有一組解 □無 解
□ 無限多組解
ˇ
(3)
10 2
6
5 3
y x
y x
x 2 1
y 1 -
x 0 21 y -5 -
2
□ 只有一組解 □無 解
□ 無限多組解 ˇ
(4)
5 3
5 4
x y
x y
x 1 2
y 1 -
x - 3
1 -
2
y 2 -
1 □ 只有一組解 □無 解
□ 無限多組解 ˇ
笛卡兒
笛卡兒( René Desca rtes , 1596-1650 ) 生 於 法 國 的拉艾鎮( La Haye ),父親 是地方法院的評議員,家境富 裕。求學時代,笛卡兒身體孱 弱,因此養成了每天早上待在 床上思考、作功課、 11 點才 起床的習慣,並且終身奉行不 渝。
他 20 歲畢業於 Poitiers 大學法律系
,之後,前往巴黎追隨 Mydorde 和 Mersenne 學了一年數學,由於解決了荷蘭 Bredas 公開挑 戰的一道難題,而信心大增,從此認真學習並研 究數學。
笛卡兒說:「希臘幾何太過抽象,它只 是用來訓練理解,使想像力大為疲勞的工具罷了
!而代數太過於遵守原則和公式,計算過於繁雜
,
不是一門改良心智的科學。」
為了讓幾何問題有一定的思考方法,笛 卡兒發明了坐標幾何。在此之前,算術或從算術 衍生的未知數概念產生的代數學是和研究圖形的 幾何學獨立發展的。到了笛卡兒建立坐標平面後
,幾何圖形便可以透過代數學來研究。反過來說
,代數學也可以透過幾何學來研究了。這個想法 大大刺激了數學的發展,後來微積分的發明,乃 至萬有引力定律的發現,都可以回溯到坐標幾何 的原始想法。
我們常用的電腦軟體— Microsoft Photo Editor 或小畫家,同樣應用了坐標平面的想法。
不過,這些軟體都是以圖片的左上角為原點, x 軸正向向右, y 軸正向向下。