1-1 直角三角形的邊角關係

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

Ch1 三角

1-1 直角三角形的邊角關係

甲、銳角三角函數

課本頁次： 2

' A A

  

△ ABC ～ △ A'B'C' (∵ 平行的太陽光 )

' ' ' ' BC B C AC A C

 

 可求出 BC (

)

例 1

課本頁次： 2

解：

如圖所示﹐△ ABC 相似於△ A'B'C'﹒

單槓高度 B C ' ' 為 2 公尺 , 柱影長 A C ' ' 為 1.6 公尺 ,

(1) 求 ' ' ' ' B C

A C 的比值﹒

2 1.6 ' ' 2

' ' 1.6 B C

A C 

20 5

=1.25 16 4

 

例 1

課本頁次： 2

解：

如圖所示﹐△ ABC 相似於△ A'B'C'﹒

單槓高度 B C ' ' 為 2 公尺 , 柱影長 A C ' ' 為 1.6 公尺 , (2) 若量得樹影長 AC  12 公尺

2 1.6 則樹高

﹐ BC 為何？

△ ABC ～ △ A'B'C' ' '

' ' BC B C AC A C

 

 BC

(

) 12

12

2 1.6

 BC  20 5 16 4

 

隨 1

課本頁次： 2

解：

如圖所示﹐△ ABC 相似於△ A'B'C'﹒

單槓高度 B C ' ' 為 2 公尺 , 柱影長 A C ' ' 為 1.6 公尺 , 同一時間直立於地面的旗桿長 10 公尺

2 1.6 則其影子的長度為何？

△ ABC ～ △ A'B'C' ' '

' ' BC B C AC A C

 

 AC

(

)

10

1

10 2

AC .6

  20 5

16 4

 

三角函數的定義

課本頁次： 3

A 

B

C

A 的

對 邊

A 的鄰邊

斜邊

sin A  對邊 斜邊 cos A  鄰邊 斜邊 tan A  對邊 鄰邊

(

 A

(

 A

 ^{ A}



三角函數的定義

課本頁次： 3

A 

B

C

A 的

對 邊

A 的鄰邊

斜邊

sine

sin 為 的縮寫

cosin cos 為 的縮寫 e

tangen

tan 為 的縮寫 t

例 2

課本頁次： 3

直角△ ABC 中， AB  13, AC  12, BC  5 求 sin A, cos A 和 tan A 的值 .

解：

A

B C

sin A  5 13 cos A  12 13 tan A  5

12 12

13 5

邊 鄰邊

斜邊

隨 2

課本頁次： 4

求下列各三角形中 sin A, cos A 和 tan A 的值 .

解：

  ¹

sin A 6

3

5

  cos A 8

4

10

5

  tan A 6

3

8

4

 

對 邊 鄰邊

斜邊

隨 2

課本頁次： 4

求下列各三角形中 sin A, cos A 和 tan A 的值 .

解：

  ²

sin A

24



25

7



25

24



7

對 邊

鄰邊

斜邊

隨 2

課本頁次： 4

求下列各三角形中 sin A, cos A 和 tan A 的值 .

解：

  ³

sin A

8



17

15



17

8



15

對 邊 鄰邊

斜邊

例 3

課本頁次： 4

解：

求 sin30 , sin45, sin60 的值 . (1) 306090

A

B

C

2 1

3

30 2



1

例 3

課本頁次： 4

解：

求 sin30 , sin45, sin60 的值 . (3) 306090

A

B

C 2

1

3

2



3

例 3

課本頁次： 4

解：

求 sin30 , sin45, sin60 的值 . (2) 454590

2

1

2 2

 

sin 45

A

B

C

2 1

1

45

隨 3

課本頁次： 5

函數 角度

sin cos tan

30

45

60

1 2

2 2

3 2

3 2

2 2 1 2

1 3 1

3

試完成下表 ( 按 出現數字，按數字出現 )

例 4

課本頁次： 5

解：

3



2

A

B

C

sin A

cos A

3



5

tan A

2 5

5

2

 

5

3 2

9 4   5

∠A 為銳角且 , 求 cosA 和 tanA 的值 .

隨 4_1

課本頁次： 6

在△ ABC 中﹐ C = 90 ﹐

若

cos 12

A  13 則 sin A =_____﹐tan B =______.

﹐

解：

sin A

3

5

 1 tan B

5



12

A

B

C

13 5

12

隨 4_2

課本頁次： 6

解：

若  ^{是一個銳角且} tan  ⁼ 2 ﹐ 2sin cos

2sin cos

 

 

－

求 ＋ 的值

tan  

=

對 鄰

斜

斜

=



 2sin cos

2sin cos

 

 





2 1

2

tan

t an 1





 



2 1

2

2

1 2

  

 

3

 5

( 分子，分母同除以 cos  ⁾

課本頁次： 6

tan10 1.8

10

0.18

  tan 20 

0.36

0.58

0.84

1.19

隨堂 4

課本頁次： 6

解：

在距離樹根 C 20 公尺的 A 處測得 A = 40  試估計樹高

( 已知 tan40 0.84) BC

40

A

B

C

x 公 尺 20公尺

tan 40

20 x 0.84

  

 

0.8

0

2 4

  x  

 



例 5

課本頁次： 7

解：

試利用下圖求出 tan15  的值 .

15 30

A

C B

2 1

D 2 3

tan15

3 1

 2



2 3

2 3

 

  2  3

隨 5

課本頁次： 7

解：

求 sin15  與 cos15 的值

.

15 30

A

C B

2 1

D 2 3

 ^{2 3} 

¹

AD     8 4 3 

6 2

 

6  2

8 2 12

 

隨 5

課本頁次： 7

解：

求 sin15  與 cos15 的值

.

15 30

A

C B

2 1

D 2 3

6  2

sin15 6

2

 1

  6 2

6 2

 



6 2



隨 5

課本頁次： 7

解：

求 sin15  與 cos15 的值

.

15 30

A

C B

2 1

D 2 3

6  2

cos15 6 2

6 2

 



6 2



2

2

6

 3

 

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 8

商數關係式 sin

tan cos

 

 

A 

B

C a

b

c tan 

b

 a

c a b c

 sin

cos



 

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 8

平方關係式

2 2

sin   cos   1

A 

B

C a

b c

2 2

sin   cos  ( ) a

( )

c

b

  c

2 2 2

a c

 b

 c

1

 c 

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 8

平方關係式

2 2

sin   cos   1

A 

B

C a

b

c _sin

_

習慣上

(sin ) 

^寫成

cos



(cos ) 

^寫成

隨堂

課本頁次： 8

利用商數與平方關係式﹐完成下列空格：

  ^{1 sin18}

cos18



 

1 8 

tan 20 cos 20   sin 20

cos 20 cos20

   



  ^{2 sin 43}

^{  cos 43}

^{ }

0

2

 

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 9

餘角關係式

c



a

A

B

C

cos B sin A

c



a

 

sin 90 



cos 

c a

b



90 



A 的

 B 的

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 9

餘角關係式

c



b

A

B

C

sin B cos A

c



b

c a

b



90 



 

cos 90 



sin 

A 的

 B 的

乙、三角函數的基本關係

課本頁次： 9

餘角關係式

 

sin 90 



cos 



^ 

^{sin }

隨堂

課本頁次： 9

在空格內填入適當的數字：

  ¹

  ^{2 sin 37 }

  ^

cos15 ^{ cos 90}  ^{  75 } 

5

7

 

53

2 2

cos 34   cos 56 

例 6

課本頁次： 9

求下列各式的值 .

  ¹ _{ 1}

sin 56

例 6

課本頁次： 9

求下列各式的值 .

  ²

^{1 cos 65}

cos 25 sin 65

  

 

2 2

1 sin 65 cos 65





2 2

cos 65 sin 65





2 2

1 1

cos 25  tan 65

 

例 6

課本頁次： 9

求下列各式的值 .

  ²

¹

¹

cos 25  tan 65

 

2 2

1 cos 65 sin 6

o 5

c s 25

 

 



2

2 2

1 cos 65 sin 6

i 5

s n 65

 

 



2 2

1 cos 65 sin 65

 

 

2 2

sin 65 sin 65

 

 

隨 6

課本頁次： 10

求下列各式的值 .

  ¹ _{ 1}

cos 67.2

2 2

sin 67.2   sin 22.8 

隨 6

課本頁次： 10

求下列各式的值 .

  ²

¹

¹

tan 55  cos 35

 

2

2 2

cos 55 1 sin 55 cos 35

  

 

2 2

1 sin 55 cos 55





2 2

cos 55 sin 55





隨 6

課本頁次： 10

求下列各式的值 .

  ²

¹

¹

tan 55  cos 35

 

2 2

cos 55 1 sin 5 5 cos 35

  

 

2 2

2

cos 55 1

sin 55 sin 55

  

 

2 2

cos 55 1 sin 55

  



2 2

sin 5 5

5 sin 5

 

  

 ^{sin   cos }  

^{ sin   cos } 

例 7

課本頁次： 10

若 θ 為銳角﹐化簡下列各式：

  ¹



2 2

(sin   2sin cos    cos  )



 (sin

  2sin cos    cos

 )

2 2

2(sin  cos  )

 

1 cos 1 co

i

s s n

sin







  



例 7

課本頁次： 10

若 θ 為銳角﹐化簡下列各式：

  ²



2

(1 cos )(1 cos ) (1

sin

sin cos )











 



 

 s

(1 co

(1 cos )si

) n

i n s 

 









2

si

sin

(1 cos )sin n 

 

 

 

2 2 2

2

cos

sin  ( sin    ) c  os 

2 2 2

4

cos

sin   s n i    c o s 

隨 7

課本頁次： 11

若 θ 為銳角﹐化簡下列各式：

  ¹





1

2 2

sin  cos 

 

2

2 2

2 2

sin cos sin cos

(    )(    ) 2cos  

4

4 2

s i n   cos   2 os c 

隨 7

課本頁次： 11

若 θ 為銳角﹐化簡下列各式：

  ²





2 2

1

sin  cos 

 

例 8

課本頁次： 11

設  ^{為銳角 ,sin}  ＝ k, 試用 k 表出 cos  ^{和 t} an .

解：



1 k 2

1

k

1 k





cos 

tan 

1 2

k

 k



隨 8

課本頁次： 11

設  ^{為銳角 ,cos}  ＝ k, 試用 k 表出 sin  ^{和 t} an .

解：



1 k 2

1

k

1 k





sin 

tan  ^{1 k 2}

  k

例 9

課本頁次： 12

設  ^{為銳角 , 且}

解：

sin   cos   2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  1}

 2

 ^{sin   cos } 

^   ²

2 2

sin  cos  2sin  cos  2

    

sin cos

 

  

2s 2

1 in  cos 

   

例 9

課本頁次： 12

設  為銳角 , 且sin   cos   2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  1}

 2

解：

  ^{2 sin   cos   0}

 ^{sin   cos } 

^{ sin}

^{  co s}

^{  2sin   cos }

sin  co s 

  

1 2 1

   2

 0

例 9

課本頁次： 12

設  為銳角 , 且sin   cos   2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  1}

 2

解：

  ^{3 sin}

^{  cos}

^{ 1}

 2

 ^{s in}

^{  cos}

^ 

^{ 2si n}

^{ cos}

^

2 2

2sin c s

1  o 

  

1



1 1 4

   2 2 ( )

1 1

   2

  ^{2 sin   cos   0}

si

2( o

1 n   c s  )

 

隨 9

課本頁次： 12

設  ^{為銳角 , 且}

解：

sin cos 1

    2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  3}

 8

 ^{sin cos} 

¹

( )

2

   

2 2

1

2sin cos sin   cos    4

   

sin cos

 

  

2sin o 1 1  c s  4

   

隨 9

課本頁次： 12

設  ^{為銳角 , 且 sin cos 1}

    2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  3}

 8

解：

  ^{2 sin   cos  7}

 2

 ^{sin   cos } 

^{ sin}

^{  co s}

^{  2 sin   cos }

sin cos 7

4

7

   



1 8 3

   2 7

 4

隨 9

課本頁次： 12

設  ^{為銳角 , 且 sin cos 1}

    2 , 求下列各值 .

  ^{1 sin   cos  3}

 8

  ^{3 sin}

  ^cos

 11

 16

  ^{2 sin   cos  7}

 2

解： sin

  cos



2 2

( sin  co s  )(sin  s in c s  o  c os  )

   

11



1

1 2

1

  8 2 (1 8

1 3

   )

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