2-1 銳角三角函數

15° 30°

D C B

A

2-1 銳角三角函數

一、銳角三角函數

1.定義：sin e、cos ine、tan gent、cot angent、sec ant、c os ec ant 正弦函數

sinA=a y

c = r

餘割函數

cscA= c r a = y

餘弦函數

cosA=b x

c = r

正割函數

secA=c r b= x

正切函數

tanA=a y

b = x = m

餘切函數

cotA=b x a = y

2.直角三角形：a

²

+b

²

=c

²

直角座標系：

x²+ y² = r²

Ex1.  銳角，若 sin

θ

為 3x

²

+5x–2=0 之一根，求 cos

θ

之值？Ans： 2 2 3 3.銳角三角函數值的範圍：0<

sinA、cosA<1；tanA、cotA>0；secA、cscA>

1

Ex2.設 0

^o

<θ<45

^o

，試求

sinθ，cosθ，tanθ，cotθ，secθ，cscθ 中之最大值與最小值。

Ans：cscθ；sinθ

Ex3.比較(1) sin40

^o

，cos40

^o

(2)tan15

^o

，cot15

^o

(3)sec55

^o

，

csc55^o

的大小。

Ans：<，<，>

二、特別角的三角函數值：

Ex4.用右圖計算 sin15

^o

=？cos15

^o

=？tan15

^o

=？

Ans： 4 2

6−

，

4 2

6+

，2-

3

Ex5.仿上題，求 tan22.5

^o

=Ans：

2

-1



sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ

45

^o

30

^o

22.5

^o

15

^o

Ex6.若 tan

²

45

^o

-cos

²

60

^o

=xsin45

^o

·cos45

^o

·tan60

^o

，求

x 值？Ans：

3 2 Ex7.設圓 O 的半徑為 r，試求：

(1)圓 O 的內接正 n 邊形的周長與面積 (2)圓 O 的外切正 n 邊形的周長與面積

Ans：(1)2nr·sin

n

180

，nr

²

·sin

n 180 cos

n 180

； (2)2nr·tan

n 180

，

nr²

·tan

n 180

A

B

C a b

c

β γ α

E

D F

A C H

B G

O B

A E

C D

F

Ex8.如圖，θ=∠AOB，0

o<θ<90o

，

AB 與 CD 為單位圓(半徑為 1 的圓)的切線段，

以

sinθ

、

cosθ

、tan

θ

、cot

θ

、secθ 、

cscθ

表示下列線段長：

=

AB

？

_{EF =}

？ OF

=

？ OA

=

？

CD ₌

？

OD₌

？

Ans：tanθ

、sin

θ

、cos

θ

、secθ 、

cotθ

、

cscθ

Ex9.如圖△ABC 為等腰三角形，

其中∠B=∠C=72

^o

，∠A=36

^o

，

又已知

BD

平分∠B 且交

AC

於

D 點，若已知 AB =1，則：

(1)

BC

長為何 ?

(2)利用等腰三角形底邊中線平分頂角且垂直底邊的性質 求

sin18^o

=？

Ans： 4

1 ) 5 2 2 (

1 ) 5 1

( − −

Ex10.有一等腰三角形底邊為 10，頂角 72

°

，下列何者可以表示腰長？

(A)5．sin36° (B)5．tan36

°

(C)5．cot36

°(D)5．sec36°

(E)5．csc36°

Ans：E

Ex11.設 H 為銳角△ABC 的垂心，若以 c 表 AB 之長，則 AH 之長等於

(A)c．cosAsinC(B)c．cosAcosC(C)c．cosAtanC (D)c．cosAsecC(E)c．cosAcscCAns：E

Ex12.△ABC 三頂點所對的邊長為 a，b，c，則邊上的高 AH 為 (A)b．sinB(B)c．sinC(C)b．sinC(D)c．sinB(E)a．sinAAns：CD Ex13.求

°− ° + sin60° + csc30°

2 45 3 tan 60

cos

之值？Ans： 9

4 Ex14.若  為銳角且 tan

θ=

5

12 ，求

cosθ

+cot

θ

+csc

θ

之值？

Ans：

77 13 Ex15.( log sin45

₂ ^o

)

²

+ log tan30

₃ ^o

=？Ans： 1

4

−

Ex16.(1)若  為銳角；則 sinθ 、

tanθ

、

secθ

的大小關係為？

Ans：1<2<3

(2)若  為銳角；則 cosθ 、

cotθ

、

cscθ

的大小關係？Ans：1<2<3

(3)若 0

o<θ<

45

o

；則

sinθ

、

cosθ

、sec

θ

、csc

θ的大小關係？Ans：1<2<3<4

(4)若 45

o<θ<

90

o

；則

sinθ

、cos

θ、tanθ、secθ

的大小關係？Ans：2<1<3<4 Ex17.如圖，四邊形 HABG、GBCF、FCDE 均為正方形，

且

∠ EAD= α

，

∠EBD= β

，

∠ECD= γ

， 則

tanα+tanβ+tanγ=？Ans：

11

6

A

B C

D

2-2 三角函數的基本關係

一、銳角三角函數的性質：

1.餘角關係：(左右)

sin(90^o

–θ)=cosθ

cos(90^o

–θ)=sinθ

tan(90^o

–θ)=cotθ

cot(90^o

–θ)=tanθ

sec(90^o

–θ)=cscθ

csc(90^o

–θ)=secθ 2.倒數關係：(對角)

sinθ·cscθ=1 cosθ·secθ=1 tanθ·cotθ=1

3.商數關係：(沿邊連續三個，中=左×右)

tan sin

cos

θ θ

= θ

cos

cot sin

θ θ

= θ

(sinθ=cosθtanθ)，(cosθ=cotθsinθ)，(tanθ=sinθsecθ)，

(cotθ=cscθcosθ)，(secθ=tanθcscθ)，(cscθ=secθcotθ)，

4.平方關係：(斜線倒三角)

sin²θ+cos²θ=1

1+tan

²θ=sec²θ

1+cot

²θ=csc²θ

5.大小關係：

若 0

^o

<x<45

^o

，sinx<cosx 若 45

^o

<x<90

^o

，

sinx>cosx

Ex18.cos

²

10

^o

+cos

²

20

^o

+cos

²

30

^o

+cos

²

40

^o

+cos

²

50

^o

+cos

²

60

^o

+cos

²

70

^o

+cos

²

80

^o

=？

Ans：4

Ex19.下列各式之值：(1)sin

²

(45

^o

+θ)+sin

²

(45

^o

-θ) (2)

²θ ²θ ²θ

1 csc

²θ

1 sec

1 1 cos

1 1 sin

1 1

+ + + +

+ +

+ Ans：1，2

Ex20.∆ABC 中，C=90

^o

，3cosA+2cosB=3，求 cotA=？Ans： 5 12 Ex21.設 θ 為銳角，tanθ=x，則 sinθ=？(以 x 表示)Ans：

2 +1 x

x

6.sinθ±cosθ 與

sinθ

×cosθ 可互推

Ex22.設 0

^o

<x<45

^o

，若

tanx+cotx=

25

12 ，則(1)sinxcosx=？(2)sinx+cosx=？(3)sinx-

cosx=？Ans：(1)

25 12

， (2)

5 7

， (3)

5

− 1

Ex23.若 2

−

5 為

x²

+(tanθ +cot

θ

)x+1=0 之一根，則 sinθ

cosθ

＝？Ans： 5 10 二、三角恆等式的證明：

1.化繁為簡

2.統一化為 sinθ ，

cosθ

表示

3.利用 1=sin

²θ

+cos

²θ

=sec

²θ

–tan

²θ

=csc

²θ–cot²θ

Ex24.試證：

θ

θ θ θ

θ _2tan

sin 1

cos sin

1

cos =

− +

−

sin tan

sec

cos cot csc

1

Ex25.試證：

x x x

x

x x

tan 1

tan 1 sin

cos

cos sin 2 1

2

2 −

= +

− +

Ex26.試證：

x

x

x x sec

sin 1

tan cos =

+ +

Ex27.設 f(n)=cos

ⁿθ+sinⁿθ，試證 3f(4)-2f(6)=1

Ex28.△ABC 中，

AB = 30

，

5 sinB = 4

，

13

cosC = 5

，則

AC ₌

？

BC ₌

？

Ans：26，28

Ex29.設 cosA=cosXsinC，cosB=sinXsinC，試求 sin

²A+sin²B+sin²C 的值。Ans：2

Ex30.設 x 為銳角，msecx=1+tanx，nsecx=1-tanx，則 m

²

+n

²

=？Ans：2

Ex31.設 0

^o

<θ<90

^o

，求

f(θ)=tanθ+cotθ 之最小值。Ans：2

Ex32.為銳角，化簡下列各式

(1)(sinθ +cos

θ

)

²

+(sinθ –cos

θ

)

²

(2)(tanθ +cot

θ

)

²

–(tanθ –cot

θ

)

²

(3)(tanθ +sec

θ

+1)(cotθ−csc

θ+1)

(4)(cscθ−sin

θ)(secθ−cosθ

)(tan

θ

+cotθ ) (5)

²θ ²θ ²θ

1 sc

²θ

1 sec

1 1 s

1 1 sin

1 1

c

co + −

+ − + −

−

(6)

^sinθ ^cosθ ^tanθ ^cotθ ^secθ + + ^cscθ + +

+ + + +

+ +

+ 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

Ans：(1)2，(2)4，(3)2，(4)1，(5)2，(6)3

Ex33.

∑ ⋅ ° =

= 8 1

2

( 10 ) sin

θ

θ Ans：4

Ex34.sin

²

17

^o

+sin

²

73

^o

+tan

²

35

^o

-cot

²

29

^o

-sec

²

35

^o

+csc

²

29

^o

=？Ans：1 Ex35.求 cos47

^ocsc43^o

–csc

²

21

^o

+tan

²

69

^o

之值

Ans：0

Ex36.tan

⁴

79

^o

+2csc

²

11

^o

-csc

⁴

11

^o

=？Ans：1 Ex37.已知 45

^o

<x<90

^o

，

sinx+cosx=

7

5 ，求下列各值：

(1)sinxcosx (2)sinx-cosx (3)tanx+cotx (4)sin

³x+cos³x

(5)sin

³x-cos³x

(6)sin

⁴x+cos⁴x

(7)sin

⁴x-cos⁴x

Ans：

12 25 ， 1

5 ， 25 12 ， 91

125 ， 37

125 ， 337 625 ， 7

25 Ex38.設 θ 為銳角，sinθ= 15

17 ，則

=

+ +

θ θ

θ θ

csc sec

cos

sin

？

Ans：

289 120

Ex39.設 θ 為銳角，

3 2 2 tan

1 tan

1 = +

− +

θ

θ

，則

sinθ+cosθ=？Ans：

3 3 6+

Ex40.設 θ 為銳角，

cot²θ − ( 3+1)cotθ + 3 = 0

，則

θ=？Ans：45^oor30^o

Ex41.設 x 為銳角，

2 cos 1

sinx− x=

，則

tanx-cotx=？sinx=？Ans：

4 7 ,1 3

7

2 +

Ex42.設 θ 為銳角，tanθ= 1

2 ，則 2sin

²θ+3sinθcosθ-cos²θ 之值？Ans：

4

5

Ex43.設 θ 為銳角，3sinθ+4cosθ=5，則 sinθ 之值？Ans： 3 5

Ex44.設 θ 為銳角，cosθ+cos

²θ=1，則(1)cosθ=？(2)sin²θ+sin⁶θ+sin⁸θ=？

Ans： 2 5 1+

−

，1

Ex45.設 θ 為銳角，sinθ+sin

²θ=1，則(1)sinθ=？(2)sinθ+cos²θ+cos⁴θ+cos⁸θ=？

Ans： 2 5 1+

−

， 4

−

5

Ex46.設 θ 為銳角，cos

θ

+3sinθ =2，求 cos

θ

+sinθ 之值？

Ans：

4 6 5

+

Ex47.設 θ 為銳角，sinθ=cos

²θ，則

θ

θ ^{1 sin}

1 sin

1 1

+ +

−

=？Ans：

5

+1

Ex48.設 θ 為銳角，1+sin

²θ=3sinθcosθ，則 tanθ=？Ans：1or

1 2 Ex49.設 θ 為銳角，

3 4 cos 6 sin 2

cos 5 sin

3 =

+ +

θ θ

θ

θ

，則

tanθ=？secθ=？Ans：9， 82

Ex50.設 sinα+sinβ=1，cosα+cosβ=0，則 cos

²α+cos²β=？sin⁴α+cos⁴β=？

Ans：

3 2 ， 5

8

Ex51.ABC 中，C=90

^o

，

cosA+8cosB=4，求 sinA 之值。Ans：

5 13 Ex52.∆ABC 中，C=90

^o

，7sinA–sinB=5，求 secA=？Ans： 5

3

Ex53.若 2 為 x

²

-(tanθ+cotθ)x+1=0 之一根，則 sinθ

cosθ

=？Ans： 2 3 Ex54.設  為銳角，sin

θ

，cos

θ

為方程式

²x² − ^{( 3}+¹⁾x+ a= ⁰

的二根，

求

a？Ans：

2 3

Ex55.設  為銳角，sin

θ

、cos

θ

為

x²−(8a–1)x+a=0 的二根，求 a？Ans：

9 32 Ex56.設 f(n)=cos

ⁿθ+sinⁿθ，試求 2f(6)－3f(4)+6f(2)之值 Ans：5

Ex57.若

cosx− sinx= 2sinx

，試證：

cosx+ sinx= 2cosx

Ex58.如圖，△ABC 中∠C=90

^o

，

5 : 3 :BC=

AC

，

BD:CD= 2:3

，

∠BAD=θ，則 tanθ=？Ans： 1 4 (HINT：由 B 作 AD 垂線)

A C

D B

Ex59.如圖，三角形 ABC 為直角三角形，

∠

B=90^o

，θ=∠DCB，sinθ= 5

8 ，

AC= DC

，

則

=

cotθ2

？Ans：

5 39 8+

Ex60.如圖，設

_AD

的三等分點為

B，C，

以

BC

為直徑的圓周上取一點

P(異於 B，C)，

則(tan∠APB)(tan∠DPC)=？Ans： 1 4 (HINT：過 B、C 作 PC 、 PB 平行線) Ex61.如圖，設四點 A，B，C，D 共線，

且

AB:BC:CD= 2:3:1

，以

BC

為直徑作圓，

取圓上一點

P(異於 B，C)，

則(tan∠APB)(tan∠DPC)=？

Ans：

1

10 (HINT：過 B、C 作 PC 、 PB 平行線) Ex62.試證下列各關係式：

(1)tan

²θ–sin²θ=tan²θ·sin²θ

(2)cot

⁴θ+cot²θ=csc⁴θ-csc²θ

(3)2+cot

²θ=csc²θ+sec²θ-tan²θ

(4)

1 2 cos sin_{2 2} cos² sin²

1 2 cos sin cos sin

θ θ θ θ

θ θ

θ θ

− = −

+

−

Ex63.証明下列各式：

(1) (secθ –tan

θ

)

²

= 1 sin 1 sin

θ θ

− +

(2) sin 1 cos

1 cos sin

θ θ

θ θ

+ +

+

=2cscθ

(3) cos sin 1 tan 1 cot

θ θ

θ + θ

− −

=sinθ +cos

θ

(4) csc 1

csc cos

θ

θ θ

+

=sec

θ

+tanθ

(5) tan sec 1 1 sin cos tan sec 1 cos 1 sin

θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ − = + =

− + −

(6) sin

⁶θ

+cos

⁶θ

=1–3sin

²θcos²θ

D C B A

P

A C B

D

A B C D

P

θ

P( x , y )

r y

O x

2-4 廣義角的三角函數

一、角之定義：

1.有向角：始邊、終邊、旋轉方向、旋轉量

正角：逆時針方向 負角：順時針方向

2.廣義角：打破 180° 限制的有向角

3.同界角：若有向角有相同的終邊與始邊均稱為同界角 即：α-β=360

^o

×n (n∈Z)

⇔ α 與 β 互為同界角

任意兩同界角的六個三角函數值均相等

Ex64.求 2149

^o

之最小正同界角、最大負同界角為？Ans：349

^o

，–11

^o

4.標準位置角：若一角之頂點與原點重合，始邊位於 x 軸正向，稱之

θ 是第一象限角 ⇔

360

^o

×n <θ< 90

^o

+ 360

^o

×n (n

∈Z) θ 是第二象限角 ⇔

90

^o

+ 360

^o

×n <θ< 180

^o

+ 360

^o

×n (n

∈Z) θ 是第三象限角 ⇔

180

^o

+ 360

^o

×n <θ< 270

^o

+ 360

^o

×n (n

∈Z) θ 是第四象限角 ⇔

270

^o

+ 360

^o

×n <θ< 360

^o

+ 360

^o

×n (n

∈Z)

若終邊恰落於軸上，則稱為象限角

Ex65.若為第二象限角，則 2

θ

可能在第幾象限角？Ans：一、三

二、廣義角的三角函數：(以座標定義三角函數，函數值可正可負) 1.定義：O 為原點，在廣義角的終邊上取異於 O 之 P 點，

若

P(x，y)， OP = x²+ y²

=r；則 定義

sinθ

=

y

r

、

cosθ

=

x r tanθ

=

y

x

、cot

θ

=

x

y

、secθ =

r

x

、csc

θ

=

r y

推論：圓心在原點之單位圓(r=1)上

任一點座標

P(x，y)=P(cosθ

，sin

θ

) 其中為

x 軸正向至 OP 之有向角

Ex66.若 tan(－70

⁰

)=k，則 cos1330

⁰

=？Ans： 1

₂

−

1 k

+

Ex67.若  終邊上有一點(－4a，3a)，a>0 則 sin cos 1 cot 1 tan

θ θ

θ + θ =

− −

？Ans： 1

−

5 Ex68.若  終邊上一點(2，a)，若 sinθ = 15

17

−

，求

a 及 tanθ

？

Ans：

15 4

−

， 15

8

−

2.三角函數之正負：

sinθ

、csc

θ cosθ

、

secθ tanθ

、cotθ

一 + + +

二 + - -

三 - - +

四 - + -

承此定義六邊形性質仍成立(餘角、倒數、商數、平方) Ex69.點 P(sin130

^o

，

cos(-100^o

))在第？象限 Ans：四

Ex70.已知 cosθ> 0，tanθ< 0，則點 P(sin

θ，secθ

)位於第象限。Ans：二 Ex71.sin1

⁰

+sin2

⁰

+sin3

⁰

+……+sin360

⁰

=？Ans：0

cos1⁰

+cos2

⁰

+cos3

⁰

+……+cos180

⁰

=？Ans：－1 3.特殊角(座標軸上)之三角函數值：

sinθ cosθ tanθ cotθ secθ cscθ

0

^o

、360

^o

0 1 0

^{無 意 義}

1

^{無 意 義}

90

^o

1 0

^{無 意 義}

0

^{無 意 義}

1

180

^o

0 -1 0

^{無 意 義}

-1

^{無 意 義}

270

^o

-1 0

^{無 意 義}

0

^{無 意 義}

-1

Ex72.下列何者有意義？(A)sinθ=3 (B)tan90

⁰

(C)sec(n

×

180

⁰

)(n∈Z) (D)csc900

⁰

(E)cos(－90

⁰

) Ans：CE

4.將任意角的三角函數化簡成銳角的三角函數：(n∈Z)

STEP1：利用同界關係，將任意角轉換成最小正同界角(或最大負同界角)

例：sin(360

⁰×n+θ)=sinθ

STEP2：判斷函數值之正負

STEP3：將第二、三、四象限換至第一象限

二一例：sin150

⁰

=sin(180

⁰−30⁰

)=sin30

⁰

三一例：sin210

⁰

=sin(180

⁰

+30

⁰

)=−

sin30⁰

四一例：sin(

−

30

⁰

)=

−sin30⁰

結論 1：單變双不變、正負看象限

結論 2：秒殺偶數倍直角(無視存在)、記得判斷正負

(即 0

^o

±θ、180

^o

±θ、360

^o

±θ、θ±0

^o

、

θ±180^o

、θ±360

^o

)

建議 1：為單純起見，建議只用直角偶數倍作運算(即 0

^o

、 180

^o

、360

^o

) 建議 2：用直角奇數倍作運算亦無妨，但切記正餘互換

建議 3：角度 θ 未知時，不妨將 θ 視為銳角(30

⁰

)去化簡

Ex73.求(1)sin150

^o

， (2)sec(-405

^o

)，(3)cot600

^oAns：

1

2 、 2 、 3 3

全 正

cosθ sinθ

tanθ

Ex74.sin1590

⁰cos(－1860⁰

)+tan1395

⁰cot(－960⁰

)=Ans： 1 3 4

+

3 Ex75.化簡 sin −

sin 180

^o

 − tan270

^o



tan 270

^o

− − cos−

sin 90

^o

  sin180

^o

−

cos90

^o

− − sin 90

^o

−

cos180

^o



Ans：3

5.由定義可知，三角函數值的範圍如下：

|sinθ| ≦ ，|cosθ| 1 ≦ ， 1 |secθ| ≧ ，|cscθ| 1 ≧ ，而 1

tanθ，cotθ 可為任意實數

Ex76.θ=100

⁰

時比較

a=sinθ，b=cosθ，c=tanθ，d=cotθ，e=secθ，f=cscθ 之大小關

係

Ans：f>a>b>d>c>e

三、三角函數值表與線性內插法：1

^o

=60'(60 分)，1'=60"(60 秒) 1.三角函數值表列出 0

^o

到 90

^o

間（以 10'為單位）的各三角函數近似值 2.角度介於表中相鄰二角之間，用線性內插法

Ex77.查表求值：(1)sin17

^o

20'(2)tan66

^o

20'(3)cos(–282

^o

40')(4)csc248

^o

30'

Ans：(1)0.2979(2)2.282(3)0.2193(4)-1.075

Ex78.已知 cos24

^o

30'=0.9100，cos24

^o

40'=0.9088，求 cos204

^o

35'Ans：–0.9094 Ex79.已知為銳角，查表求值(1)sinθ =0.2306(2)tan

θ

=3.108(3)secθ

=1.073(4)cosθ =0.416

Ans：(1)13^o

20'(2)72

^o

10'(3)21

^o

15'(4)65

^o

25'

Ex80.若 sin87

⁰

=a，則 tan2337

⁰

=(以 a 表之)Ans： 1 a

² a

− −

Ex81.已知 sin20

^o

10'=0.3448，sin20

^o

20'=0.3475，求 cos(–290

^o

15')=？Ans：

0.3462

Ex82.已知 sin34

^o

20'=0.5640，sin34

^o

30'=0.5664，若 180

^o

<

θ

<270

^o

，且

sinθ=-

0.5650，則=？Ans：214

^o

24'

Ex83.設  為第三象限角，則 3

θ

可能為第幾象限角？Ans：一、三、四

Ex84.若 S={

θnθn

=n×30

^o

，

n∈Z，1≤n≤100}，則 S 中有多少在第二象限？Ans：17

Ex85.設–557

^o

之最小正同界角、最大負同界角為？

Ans：163^o

，–197

^o

Ex86.設 

_n

=n× 60

^o

，

n∈N，若 50≤n≤

60 且 

_n

在第四象限內，求

n 值？Ans：

53or59

Ex87.若點 P(tanθ ，

cosθ

)在第二象限，則點 Q(sin

θ，cotθ

)在第？象限 Ans：三 Ex88.若點(sinθcosθ，tanθcscθ)在第三象限內，下列何者恆真？

(A) cos 0

θ >

2 (B) sin 0

θ >

2 (C) tan 0

θ >

2 (D) cot 0

θ >

2 (E) sec 0

θ >

2

Ans：CD

Ex89.若 f(x)=tanx，則

∑

k =0 n

f  xk×180^o

 =？Ans：(n+1)tanx

Ex90.

∑

k =1 180

sin

²k^o

=？Ans：90

Ex91.

∑

k =1 17

cos 20×k

^o

 =？Ans：–1

Ex92.化簡

0 0 0

0 0 0

sec tan(180 ) 1 cot(270 ) sec(180 ) 1 sec(360 ) tan 1 tan(360 ) csc(270 ) 1

θ θ θ θ

θ θ θ θ

+ + − + − − + + =

− + + + − + −

？Ans：2cscθ

Ex93.化簡

2

2

sin(180 ) tan (180 ) sin(270 ) cos(270 ) sin(90 )cos ( )

o o

o o

θ θ θ

θ θ θ

+ − − −

+ + − Ans：1

Ex94.求 sin120

^o

-

tan600^o

+cos330

^o

+sec(-120

^o

)=？Ans：–2 Ex95.求 sin210

^o

+tan(–135)

^o

+sec(–240)

^o

+cos180

^oAns：

5

2

−

Ex96.若 a=sin(

θ-90^o

)+cos(

θ-180^o

)，b=cot(

θ

-90

^o

)-tan(

θ

-180

^o

)，

c=sec(θ

-90

^o

)-csc(

θ

-180

^o

)，則 abc=？Ans：8

Ex97.化簡 csc(

θ

+90

^o

)sec(720

^o

-

θ

)+sin(θ +540

^o

)secθ

tan(180^o

+

θ

)=？Ans：1 Ex98.比較下列三組數之大小

(1)a=cos3

⁰

，b=sin85

⁰

，

c=tan29⁰Ans：a>b>c

(2)a=sin1870

⁰

，

b=cos(－430⁰

)，c=tan1310

⁰

，d=cos1900

⁰Ans：c>a>b>d

Ex99.若  終邊上有一點(x，-4)，且 4

cos

θ = −

5 ，求

x 及 tanθ

？

Ans：

16

−

3 ， 3 4 Ex100.若 4

tan

θ = −

3 ，且

cosθcotθ

<0，則 5sin 8 15cos 7

θ θ

+ =

−

。Ans：2 Ex101.若 1

tan

θ =

3 ，則 3sin 5cos 2cos 3sin

θ θ

θ θ

− =

+

？

Ans：

4

−

3 Ex102.已知 1 tan

3 2 2 1 tan

θ θ

+ = +

−

，則

sinθ=？Ans：

1

3

Ex103.設  為第二象限角，且滿足 3cotθ - 2tan

θ

=-1，求 sinθ ？

Ans：

2 2 Ex104.設  為第三象限角，且滿足 6sin

²θ

+sinθ =1，求 cos

θ

？

Ans：

3

−

2 Ex105.設  為第四象限角，且 sin

θ

+cos

θ

= 1

5 ，求

cosθ

？Ans： 4 5 Ex106.若 2sin

²θ

+cos

²θ

=3sin

θcosθ

，則

tanθ

=？Ans： 1

1

or

2

Ex107.若 3sin

θ

-2cosθ =2，則 cosθ =？Ans： 5 1

or

13

−

Ex108.若 sin

θ=cotθ

，則 1 1

1 cos

θ +

1 cos

θ

− +

=？Ans： 5 1

+

Ex109.若 0

^o

≦

x

≦ 360

^o

，解 csc

²x+

2cot

² x−

5csc

x=

0 ，得

x=？Ans：，30^oor150^o

Ex110.滿足-720

^o

≦

θ

≦ 720

^o

且 4sin

²θ

+1=8cosθ 的  有？個 Ans：8

Ex111.求 f(

θ

)=-sin

²θ

-6cos

θ

+15 的最大值及最小值？Ans：21，9。

Ex112.k∈R，若存在  使得 2sin

θ

- 1=k(2sin

θ+1)，則 k 的範圍？

Ans：k

≧ 或 3

k ≤1 3

Ex113.已知 1

sin cos

θ − θ =

3 ，且

sinθ及 cosθ

為 2x

²

+px+q=0 的兩根，

則

p²

-8q=？Ans： 4 3 Ex114.若 0<r<1，

∑

k =1

∞

r^k

sin  k×60

^o

 可化簡為

2

1

2

a br cr r r

+ +

− +

的形式，則序組 (a，b，c)=？

∑

k =1

∞

r^k

cos k ×60

^o

 =？Ans： 3 (0, , 0)

2 ，

2 2

2

2 2 2

r r r r

− +

− +

2-5 正弦定理與餘弦定理

一、△面積公式：△= 1 1 1

sin sin sin 2

ab C=

2

bc A=

2

ca B

Ex115.△ABC 中， AB =8， BC =6，

∠B=150^o

，求△

ABC 面積？Ans：12

Ex116.△ABC 中，

∠A=30^o

，且

b+c=16，求△ABC 面積的最大值？Ans：16

Ex117.△ABC 中，

∠A=60^o

，且 AB =12， AC =6，求分角線 AD ？Ans：

^{4 3}

二、正弦定理： 2

sin sin sin

a b c

A= B = C = R

，

R 表外接圓半徑，(面積公式同除以 abc)

邊長與對應角之正弦值成正比

銳 直 鈍

Ex118.△ABC 中，若 a：b：c=3：5：7，求 sin sin sin

A C

B

+

=？Ans：2

Ex119.△ABC 中，若 2(a+b-c)=sinA+sinB–sinC，則△ABC 的外接圓半徑？

Ans：

1 4

三、餘弦定理：(三邊長與一內角之關係)

餘弦定理：設△ABC 中

∠A，∠B，∠C 的對邊長分別為 a，b，c，則：

(1) a

²

=b

²

+c

²

–2bccosA

b²

=a

²

+c

²

–2accosB

c²

=a

²

+b

²

–2abcosC (2) cosA=

bc a c b

2

2 2

2 + − cosB=

ac b c a

2

2 2

2 + − cosC=

ab c b a

2

2 2

2 + −

銳 直 鈍

Ex120.△ABC 中，若(a+b+c)(b+c–a)=3bc，求

∠A=？Ans：60^o

Ex121.銳角△ABC 中，若 a

⁴

+b

⁴

+c

⁴=2a²c²

+2b

²c²

，求∠C=？Ans：45

^o

Ex122.(SAS)△ABC 中， AB =2， AC = 3 1

+

，

∠A=30^o

，求 BC 及

∠C。Ans： 2 ；

45

o

Ex123.(SSS)△ABC 中，a=5，b=7，c=8，求∠B 及△ABC 的面積 Ans：60

^o

； 10 3 Ex124.(ASA)△ABC 中，

∠A=45^o

，∠B=30

^o

，c=3，則△ABC 之外接圓半徑為？

Ans： 2 ) 2 6 (

3 −

Ex125.(SSA)△ABC 中， AC =2， BC = 6

+

2 ，

∠A=105^o

，求 AB =？Ans： 2 2 (SSA)△ABC 中， AC =2， BC = 3 1

−

，

∠A=15^o

，求 AB =？Ans： 2 ， 6

A B

C

Ex126.△ABC 三高 ha=6，hb=4，hc=3，求最小角之餘弦值？Ans：

₈⁷

Ex127.圓內接四邊形 ABCD，

_AB

=2，

_AD

=2

∠

C=90^o

，∠D=105

^o

， (1)試求

BD

與

AC

的值？

(2)若

_AD

=3，試求

_BD

與

AC

的值？

Ans： 2 2 ，1+

3 ； 13 ， 13( 6 2) 4

+

四、其他定理

1.投影定理：

a=bcosC+ccosB b=acosC+ccosA c=acosB+bcosA

銳 鈍

Ex128.△ABC 中，a= 3

+

2 ，

b= 2+

3 ，

c= 8−

2

−

3 ， 求(b+c)∙ cosA+(c+a)∙ cosB+(a+b)∙ cosC=？Ans：13

Ex129.設△ABC 中∠A，∠B，∠C 的對邊長分別為 a，b，c，試證：

(1)a(b

²

+c

²

)cosA+b(c

²

+a

²

)cosB+c(a

²

+b

²

)cosC=3abc

(2)

c

b a C

A

B = −

+

− cos 1

cos cos

2.平行四邊形定理：

設 AC ， BD 為平行四邊形 ABCD 的二對角線，則：

AC²+ BD² = AB²+ BC²+ CD²+ DA²

3.中線定理：

在△

ABC 中，設 AM 為 BC 邊上的中線，則：^{AB2+ AC2 = 2(AM2+ BM2)}

Ex130.△ABC 中， BC =5， CA =7， AB =8，求(1)中線 AM (2)高 AH (3)分角線 AD ？

Ans：

201

2 ， 4 3 ， 8 7 3

Ex131.已知三角形的三中線長為 4，5，6，求此三角形的面積？Ans：5

7

五、面積公式整理：(R：外接圓半徑、r：內切圓半徑、s：半周長)

△= 1

2 底×高= 1

2

bc

sin

A =

4

abc

R

=rs=

s s a s b s c( − )( − )( − )

=2R

²sinAsinBsinC

= ^{1 2 3 1}

1 2 3 1

1 | |

2

x x x x

y y y y

=

^{2 1 3 1}

2 1 3 1

1 | |

2

x x x x y y y y

− −

− −

Ex132.△ABC 中，a=6，b=5，c=4，求(1) △ABC 面積(2)內切圓半徑(3)外接圓半 徑？Ans：(1) 15 7

4 (2) 7

2 (3) 8 7 7

2 2

D

C B

A

三角形形狀判定：

△ABC 中，二較小邊和大於最大邊

△ABC 中，∠A 為鈍角

⇔ b²

+c

²

<a

²

△ABC 中，∠A 為直角

⇔ b²

+c

²

=a

²

△ABC 中，∠A 為銳角

⇔ b²

+c

²

>a

²

Ex133.一線段長為 a，且知以 2a，2a+3，2a+6 為三邊長可圍成鈍角三角形，

則

a 的範圍為？Ans：

3

2 <a< 9 2 Ex134.判定下列△之形狀：

(1)sinC=

B A

B A

cos cos

sin sin

+

+

。

Ans：直角

(2)a

²sin²B+b²sin²A=2abcosAcosB。Ans：直角

(3)2cosBsinC=sinA。Ans：等腰

(4)acosA+bcosB=ccosC。Ans：直角

Ex135.設△ABC 中∠A，∠B，∠C 的對邊長分別為 a，b，c，試證下列各式：

(1)a(sinB–sinC)+b(sinC–sinA)+c(sinA–sinB)=0 (2) sin

² ₂

sin

₂ ²

sin

²₂

a A c

b

C

B =

−

−

(3)(b–c)sinA+(c–a)sinB+(a–b)sinC=0 (4)a(bcosC–ccosB)=b

²

–c

²

Ex136.△ABC 中，∠A=45

^o

，∠B=30

^o

，三邊之和為

3+ 2+ 3

，則最長邊為？

Ans： 3+1

Ex137.圓內接四邊形 ABCD，∠CAD=30

^o

，∠ACB=45

^o

， CD =2，求 AB =？Ans：

2 2

Ex138.梯形 ABCD， AB // CD ， AB =6， BC =15， CD =20， DA =13，求梯形面積？

Ans：156

Ex139.已知△ABC 三邊長分別為 AB =7， BC =5， AC =3，

延長 BC 到 D，如圖所示，使得 CD =2，則 AD =？

Ans： 7

Ex140.△ABC 中， AB =2， BC =5，面積為 4，則 cos

∠ABC=？Ans：

5

± 3

Ex141.直角△ABC，BCDE 是以 BC 為一邊向外作出的正方形，

若 BC =5， AC =4， AB =3，求(1) cos

∠ACD(2) ∆ACD 面積。

Ans：(1)

3 5

−

(2)8(HINT：cos

∠ACD=-sin∠ACB)

Ex142.△ABC 中，A=60

^o

，

_AB

=8，

AC

=6。設∠A 的內角與外角平分線分別交

BC

於點

D 與 E，求 AD

長及

_AE

長。Ans：

AD

=

³ 7

24

，

_AE

=24

Ex143.△ABC 中，∠ABC=120

^o

，

_BD

為∠ABC 的分角線且交

AC

於

D 點，

試證：

BA BC BD 1 1

1 + =

。若

BA=

3 ，

BC=

5 ，則 BD

=

？

Ans：

15 8

A

B C D