常系数线性微分方程组

常系数线性微分方程组

* 第十二 节

解法举例

解方程组

高阶方程求解

消元 代入法

算子法

第十一章

常系数线性微分方程组解法步骤 :

第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得到只含一 个

函数的高阶方程 ;

第二步 求出此高阶方程的未知函数 ; 第三步 把求出的函数代入原方程组 ,

注意 : 一阶线性方程组的通解

中 , 任意常数的个数 = 未知函数个数

一般通过求导 得其它未知函数 .

如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数 的关系 .

例 1. 解微分方程组

z x y

y 3 2 d

d   z x y

z  2  d

d

①

②

解 : 由②得





x

y  z 

d d 2

1 _③

代入① , 化简得 0

d 2 d d

d

2

2   z 

x z x

z

特征方程 : r²  r2 1  0

通解 : z  (C₁  C₂x)e^x ④ 将④代入③ , 得 y (2C C 2C x)e^x

2 1

2 2

1  

 _⑤

原方程通解 :

ex

x C C

z  ( ₁  ₂ )

ex

x C C

C

y (2 2 )

2 1

2 2

1  

 注意 :

是不独立的 而它们与C₁,C₂

1) 不能由①式求 y, 因为那将引入新的任意常数 , ( 它们受②式制约 ).

的表达式中,

因此 y 2C₁  C₂不能用另一任意常数 .

, ¹₂

3代替 系数 也不能去掉 C

3) 若求方程组满足初始条件y _x0  y⁰ , z _x0  z⁰

2) 由通解表达式可见 , 其中任意常数间有确定的关系 ,

例 2. 解微分方程组

et

t x y t

x    d

d d

d

2 2

d 0 d d

d

2

2   y 

t x t

y

解 : ,

d d D  t

记 _{则方程组可表为}

et

y D x

D  )1   ( ²

0 )

1

( ²  

 D y x

D

⑥

⑦

用代数方法 消元自作

根据解线性方程组的克莱姆法则 , 有

1 1 2

2





D D

D

D y 

0

2 1 D

e

D  ^t

即 (D⁴  D² 1) y  e^t 其特征方程 : r⁴  r² 1  0

特征根 :

2 5 1

2 ,

1   

r 2

1 5

4 , 3

 

 i r

记 





⑧

t , e A y^ 

令 代入⑧可得 A ＝ 1, 故得⑧的通解 :

t t

t C e C t C t e

e C

y  ₁ ^  ₂ ^  ₃ cos





et

y D

x   

 ³ 



et

t C

t

C sin cos ) 2

( _{3 4}

3  



  

作业

P226

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2