三角形的邊角關係

三角形的邊角關係

1 全等三角形

n 三角形邊長組成條件：三角形任兩邊的和必定 大於第三邊（任兩邊的差必定小於第三邊）。

【說明】因為兩點之間的最短 距離是直線，所以A 到B 的距離最短為 AB，即 ¯¯¯¯ AC+ ¯¯BC> ¯¯AB 同理 ¯¯ AC+¯¯AB> ¯¯BC

¯¯AB+ ¯¯BC> ¯¯ AC 也可以移項得到

AB>| ¯¯¯¯ AC- ¯¯BC|

所以 ¯¯ AC+ ¯¯BC>¯¯AB>| ¯¯ AC- ¯¯BC|

同理 ¯¯ AC+ ¯¯AB> ¯¯BC>| ¯¯ AC-¯¯AB|

AB+ ¯¯¯¯ BC> ¯¯ AC>| ¯¯AB- ¯¯BC|

範 例 講 解

Ex1.下列每一組均表三線段的長，何者可能圍成 一三角形？

(A). 3、4、5 (B) . 6、8、 101 (C).2

1、 5

3、1 (D). a+2、a+3、2a+3(a>0) (E). 3 , 3 , 6

Hw1.四根吸管長度分別是 2、3、4、5，任選三 根吸管嘗試拼成三角形，請問：

(1).哪些組合可以拼成三角形?

(2).哪些組合不能拼成三角形?

Ans: A、B、C、D Ans:（2,3,4)、(3,4,5)、(2,4,5)組合可以拼成

三角形;(2,3,5)不能拼成三角形

Ex2.

(1).△ABC之三邊長為4、7、a，若a是整數，

則a可能的值有多少個？

(2).若等腰△ABC的三邊長分別為3 cm、6 cm、x cm，則x =？

(3).設一個三角形其中兩邊長分別是 5 公 分、8 公分，則下列何者可以是第三邊的 長？（答案可能不只一個） (A)2 公分 (B)12 公分(C)22 公分(D) 85公分(E)

185 公分。

Hw2.

(1).若 7、4、x 表一三角形之三邊長，則 x 之 範圍為何？

(2).三角形的三邊長為 2、5、X，且 X 為奇數，

則X =？

(3).已知某一三角形的其中兩個邊長為 4 和 12，若此三角形的第三邊長及周長皆為 質數，則此三角形的第三邊長為何？

Ans: 7;6;B,D Ans: 3<x<11;5;11

Ex3.

(1).設一個三角形的三邊長皆不相等，且皆為 整數，若周長為 13 公分，試問滿足此條 件的三角形有多少個？

(2).如圖，四邊形 ABCD 中，¯¯AB＝4，¯AD＝3，¯¯BC

＝7，¯CD＝2，若¯BD為整 數，則¯BD長為多少？

Hw3.

(1).一個周長為 12 的三角形，且三邊長為正 整數，則共可組成哪幾種不同的等腰三角 形？（含正三角形）

(2).如附圖，¯¯AB= 29，¯¯BC=

19，¯AD= 20，¯CD= 16，

若 ¯¯ AC= X，且 X 是整數，

則合於條件的X 有幾個？

Ans: (2 , 5 , 6)、(3 , 4 , 6)共 2 個;6 Ans: (2,5,5)、(4 ,4,4)2 種;25

Ex4.如圖，B、C 皆在 ¯DE 上，¯AB＝¯BD，¯AC＝¯CE。

請利用「三角形任意兩 邊長的和大於第三邊」

的性質來說明 ¯BD＋

CE 和 ¯¯ BC 的大小關

係。請在下面的空格中填入適當的文字或符 號，完成此說明。

說明：

在△ABC 中，利用「三角形任意兩邊長的和 大於第三邊」的性質，

得 ¯AB＋ ¯¯ AC【 】¯BC，

所以 ¯BD＋¯CE【 】¯BC。（¯AB＝¯BD，

AC＝¯¯ CE）

Hw4.如圖，¯¯AB＝ ¯¯ AC。請利用「三 角形任意兩邊長的和大於第 三邊」的性質來說明 ¯AB＋¯AD

＞¯CD。請在下列空格中填入 適當的答案，完成此說明。

說明：

在△ACD 中，利用「三角形任意兩邊長的和 大於第三邊」的性質

得¯AC＋【 】＞¯CD，

所以 ¯AB＋¯AD＞¯CD（¯AB＝【 】）

Ans: >,>

Ans: ¯AD，¯AC

Ex5.如圖，P 為△ABC 內部一 點。請利用「三角形任意 兩邊長的和大於第三邊的 長」的性質來說明 2(¯PA

+¯PB+¯PC)>¯AB+¯BC+¯CA。請在下列空格中填 入適當的答案，完成此說明。

說明：

在△APB 中，利用「三角形任意兩邊長的和 大於第三邊的長」的性質

得 ¯PA＋¯PB【 】¯AB……○^１ 同理，¯PB＋¯PC【 】¯BC……○^２

¯PA＋¯PC【 】¯CA……○^３

由○１、○２、○３得 2（¯PA＋¯PB＋¯PC）＞¯AB＋¯BC

＋¯CA

Hw5.如如圖，直線 L 為 ¯AB 的垂直平分線，垂足 為 M，¯QA 交直線 L 於 P

點。請利用「三角形任意兩 邊長的和大於第三邊的長」

的性質來說明 ¯QA 和 ¯QB 的大小關係。請在下列空格 中填入適當的答案，完成此 說明。

提示：P 在 ¯AB 的垂直平分線上，所以 ¯PA＝

¯PB。

說明：

在△PQB 中，利用「三角形任兩邊長的和大 於第三邊的長」的性質

得 ¯PQ＋¯PB【 】¯QB，

所以 ¯PQ＋¯PA【 】¯QB，（¯PA＝¯PB）

故 ¯QA【 】¯QB Ans: >,>,> Ans: >,>,>

2 外角與內對角關係

n 外角與內角關係：三角形的外角大於任一內對 角。

【說明】△ABC 中∠1 是∠A CB 的外角

所以∠ ＝1 ∠ ＋A ∠B 又∠ 、A ∠B 的度數都

是正數

所以∠1＞ A ∠ ，∠1＞ B∠

也就是說三角形的外角大於任一內對角。

3 大邊對大角

n 大邊對大角：在一個三角形中較長的邊所對的 角就比較大。

如上圖，在△ABC 中，如果¯¯BC> ¯¯ AC> ¯¯AB，

則∠A>∠B>∠C

※等角對等邊，等邊對等角。

【說明】如圖，在△ABC 中，如果∠A>∠B

將Ｂ點對摺到Ａ點

可看出∠A>∠B

【說明】如圖，△ABC中如果 AC> ¯¯¯¯ BC

1.在 ¯¯ AC取一點 D，使得 CD= ¯¯¯ BC

2.連接¯BD，則 CDB △ 為等腰三角形，所 以∠CBD＝ CDB∠ 。

3.因為∠CDB>∠A (外角) 又 ∠B>∠CBD＝∠CDB 所以 ∠B>∠A

即 三角形中大邊會對大角

4 大角對大邊

n 大角對大邊：在一個三角形中較大的角所對的 邊就比較長。

如上圖，在△ABC 中，如果∠A>∠B>∠C，

則 ¯¯BC> ¯¯ AC> ¯¯AB

【說明】如圖，在△ABC 中，如果∠A>∠B

將 ¯¯ AC對摺到 ¯¯BC上

可看出 ¯¯BC> ¯¯ AC

【說明】在△ABC 中，若∠C AB＞∠B，則¯¯BC> ¯¯ AC 1.以¯¯AB為一邊作∠BAD

等於∠B，∠BAD 的 另一邊交 ¯¯BC於 D 點。

2.因為∠BAD＝∠B，所以¯AD＝¯BD 又在△ACD 中，¯AD+¯CD> ¯¯ AC 所以 ¯BD+¯CD> ¯¯ AC

得 ¯¯BC> ¯¯ AC 即三角形中大角對大邊

範 例 講 解

Ex6.

(1).在△ABC中，∠A=54^o，∠B=38^o，請比 較 ¯¯AB、 ¯¯BC、 ¯¯ AC的大小。

(2).在△ABC中，¯¯AB=7、¯¯BC=8、 ¯¯ AC=9，請 比較∠A、∠B、∠C的大小。

Hw6.

(1).在△ABC 中，∠A=63^o，∠B=60^o，請比 較 ¯¯AB、 ¯¯BC、 ¯¯ AC的大小。

(2).在△ABC 中，¯¯AB=3、 ¯¯BC=8、 ¯¯ AC=8，

請比較∠A、∠B、∠C 的大小。

Ans: ¯¯AB>¯¯BC> ¯¯ AC;∠B>∠A>∠C Ans: ¯¯BC> ¯¯ AC>¯¯AB;∠A=∠B>∠C

Ex7.

(1).在△ABC中¯¯AB> ¯¯ AC，且

∠A=60^o，請比較∠A、∠

B、∠C的大小。

(2).如圖，將兩個三角形疊合 後，有一個邊長完全的重

Hw7.

(1).在△ABC 中¯¯AB> ¯¯ AC，且∠A<60^o，請比 較∠A、∠C 的大小。

(2).如圖，請比較 a、b、

c、d 的大小。

疊，試比較出 a、b、c、d、e 五個邊長的 大小關係。

Ans: ∠C>∠A>∠B; b＝c>e>d>a Ans: ∠C>∠A;c>d>b>a

Ex8.如圖，ABCD 為正方形，

BD 是對角線，E 在 ¯¯ BD 上，且 ¯DE＝¯DC，請利用

「外角大於任一內對角」

的性質來說明∠1 和∠2

的大小關係。請在下面的空格中填入適當的文 字或符號，完成此說明。

說明：

(1).∠1【 】∠3。（理由是【 】）

(2).∠3【 】∠2。（理由是【 】）

(3).從(1)、(2)可得∠1【 】∠2。

Hw8.如圖，D、E 兩點皆在 ¯BC 上。請利用「外角大於任何 一個內對角」的性質來說明

∠1、∠2 和∠3 的大小關

係。請在下列空格中填入適當的答案，完成 此說明。

說明：

∠1【 】∠2，（【 】是△ADE 的外角）

∠2【 】∠3，（【 】是△ABD 的外角）

所以∠1【 】∠2【 】∠3 Ans: ＝,¯DE＝¯DC;>,∠3 是△BCE 的外角;> Ans: >,∠1,>∠2,>,>

Ex9.如圖，四邊形 ABCD 中，¯AB＝

2，¯¯BC＝2，¯CD＝3.5，¯DA＝3。

請利用「大邊對大角」的性質 來說明∠ABC 和∠ADC 的大 小關係。請在下面的空格中填

入適當的文字或符號，完成此說明。

說明：

(1).∠1【 】∠3。(理由是【 】) (2).∠2【 】∠4。(理由是【 】)

(3).∠ABC=∠1+∠2【 】∠3+∠4=∠ADC

Hw9.如圖，每一小格皆為邊長 1 的 正方形，A、B、C 皆在格子 點上，試比較∠A、∠B、∠C 的大小關係。

Ans: >,¯DA>¯AB;>,¯CD>¯BC;> Ans: ∠B>∠C>∠A

Ex10.如圖，△ABC 為直角三角 形，∠BAC＝90°，∠B＝

50°，∠C＝40°，¯AD⊥

BC。請利用「大角對大邊」¯ 的性質來說明 ¯CD、¯AD 和

BD 的大小關係。請在下列空格中填入適當¯ 的答案，完成此說明。

說明:

(1).∠DAB=【 】度。( ¯AD⊥ ¯BC，∠B=50°)

Hw10.如圖，在△ABC 中¯¯AB

> ¯¯ AC，如果將¯¯BC對摺到 BA，將¯¯¯¯ CB對摺到 ¯¯ CA，摺 出的兩道摺痕相交於 D

點，請比較¯BD和¯CD的大小。

∠DAC=90°-∠DAB=【 】度(∠BAC=90°) (2).在△ABD中，利用「大角對大邊」的性質 得 ¯AD【 】 ¯BD(∠B【 】∠DAB) 在△ACD中，利用「大角對大邊」的性質得 ¯CD【 】 ¯AD(∠DAC【 】∠C) (3).由(1)、(2)可得 ¯CD【 】 ¯AD【 】

BD ¯

Ans: 40,50;>,>,>,>;>,> Ans: ¯BD>¯CD

Ex11.如圖，¯AD 與 ¯BC 交 於 O 點，¯DE⊥¯BC，

BO＝¯¯ CO，¯AO＝

DO。請利用「三角¯

形全等」與「大角對大邊」的性質來說明 ¯AB 和 ¯DE 的大小關係。請在下面的空格中填入 適當的文字或符號，完成此說明。

說明：

在△ABO 與△DCO 中，

BO＝ ¯¯ CO，（【 】）

AO＝ ¯¯ DO，（【 】）

∠AOB＝【 】，（對頂角相等）

根據【 】全等性質，△ABO≅△DCO 所以 ¯AB＝ ¯DC（【 】）

△DEC中， ¯DC【 】 ¯DE（ ¯DE⊥ ¯BC，

∠DEC【 】∠C）

所以 ¯AB＝ ¯DC【 】 ¯DE

Hw11.如圖，等腰△ABC 中¯¯AB

＝ ¯¯ AC，D 在 ¯¯ AC上。請 利用「三角形全等」與「大 角對大邊」的性質來說明 BD 和 ¯¯ CD 的大小關係。

Ans: 已知,已知,∠DOC,SAS,對應邊相等,>,

>,> Ans: ¯BD > ¯CD

Ex12.如圖，△ABC 和△BCD 皆 為直角三角形，∠A＝90

°，∠CBD＝90°，若 ¯BD＞

BC，且 ¯¯ AB＝¯AC，則∠1、

∠2、∠3 的大小關係為何？

Hw12.如圖，△DEC 為等腰直角三 角形，直角△ABC 中，¯AC＝

10，¯BC＝4，則∠1、∠2、

∠3 中何者的角度最大？

Ans: ∠2>∠1>∠3 Ans: ∠3

Ex13.在△ABC 中，¯AB＜¯AC，¯AH⊥¯BC，且 H 在 BC 上，則∠BAH 和∠CAH 的大小關係為¯ 何？

Hw13.設銳角△ABC 的三高為 ¯¯AD、¯¯BE、¯¯CF，若 AD＞¯¯¯¯ BE＞¯¯CF，則∠A、∠B、∠C 的大小 關係為何？

Ans: ∠BAH<∠CAH Ans: ∠C>∠B>∠A

Ex14.如圖，△ABC 中，D 為 ¯BC 中 點，若 ¯AD＜

2 1

BC，則∠BAC 是銳角或鈍角? ¯

Hw14.如圖，△ABC 中，D 為 ¯BC 中點，若 ¯AD>

2

1BC，則∠BAC 是銳¯ 角或鈍角?

Ans: 鈍角 Ans: 銳角

Ex15.△ABC 中，¯AB＞¯AC＞¯BC，且∠A、∠B、

∠C 的三個分角線相交於 P，則¯PA、¯PB、¯PC 的大小關係為何？

Hw15.如圖，△ABC 中，¯AB＞

AC，且∠B 與∠C 的角¯ 平分線相交於 I，則 ¯BI 和¯CI 的大小關係為何？

Ans: ¯PA>¯PB>¯PC Ans: ¯BI >¯CI

Ex16.△ABD 中，¯AB＞¯AD，且AC平分∠BAD 交 BD於 C，則∠ACB 是什麼角？ (A)銳角(B)¯ 直角(C)鈍角(D)平角。

Hw16.△ABC 中，∠A 之分角線交¯BC於 D，若¯AB

＞¯AC，則下列選項何者正確？ (A) ¯BD

=¯CD (B) BD > ¯CD (C) ¯BD< ¯CD (D)全 部皆非。

Ans: C Ans: B

Ex17.如圖，P 為△ABC 內 部的一點，試求證：

PB＋¯¯ PC＜¯AB＋¯AC。

Hw17.若 P 為△ABC 內一點，則下列選項何者正 確？ (A)∠BPC>∠A(B)∠BPC=∠A(C)

∠BPC<∠A(D)無法判斷。

Ans: 略 Ans: A