關於數列的通項公式的思考

關於數列的通項公式的思考

宋秉信

在中學數學教材中都明確的提到: 如果 數列 {aⁿ} 的第 n 項與 n 之間的函數關係 可以用一個公式 an= f (n) 來表示, 那麼此 公式就叫做這個數列的通項公式。

我們現在所遇到的問題是並不是所有的 數列都可以寫出它的通項公式。 我們常遇到 有的數列的通項公式, 在形式上又不是唯一 的, 但又是表示同一個數列。 特別是有些數列 只給它的前面幾項, 並沒有給出它的構成規 律, 若僅僅根據所給出的有限項而歸納出來 的所謂“通項公式”, 也不一定是唯一的。 由 於“通項公式”之不同, 由它們所寫出來的後 繼項就不一樣。 本文所論述的就是指這一類 數列。

引理: 根據所給的條件, 可以寫出無窮數 列的任意項, 這樣的條件叫做完全的。 否則, 這些條件是不完全的。

為什麼只從數列的有限項來歸納其通項 公式是不一定可靠的? 為回答這一問題, 我 們來證明下面的命題。

定理: 設 aⁱ為已知常數, 且aⁱ ∈ F (i = 1, 2, . . . , n) 對於任意給定的常數 aⁿ₊₁ ∈ A,

必存在數域 A 上的一個多項式 f (x) 滿足 f(k) = a^k (k = 1, 2, . . . , n, n + 1)。

證明: 設 f (x) = b1+b2x+b3x²+· · ·+

bn+1xⁿ。 由已知 ak ∈ A (k = 1, 2, . . . , n + 1), 而多項式 f (x) 為 A 上的多項式,

令

f(1) = a1

f(2) = a2

...

f(n + 1) = aⁿ+1

所以有



 

 

 

 

 



 

 

 

 

 



b₁+ b₂+ b₃+ · · · + bⁿ₊₁ = a₁ b₁+ 2b2+ 2²b₃+ · · · + 2ⁿbn+1 = a2

...

b₁+ (n + 1)b₂ + (n + 1)²b₃+ · · · +(n + 1)ⁿbn+1 = aⁿ+1

這是一個由 (n + 1) 個一階線性方程組成的

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線性方程組。 其係數行列式為:

D=

1 1 1 · · · 1 1 2 2² · · · 2ⁿ 1 3 3² · · · 3ⁿ

· · · · 1 n + 1 (n + 1)² · · · (n + 1)ⁿ

因 D 是一個範德蒙行列式, 且 1, 2, 3, . . . , n + 1 兩兩互不相等, 所以 D 6= 0, 由此 根據克萊姆法則知方程組存在有唯一解。 即 b₁, b₂, b₃, . . . , bn+1 唯一存在, 使得 f (x) =

P

i=1 bixⁱ⁻¹ 且滿足 f (k) = a^k(k = 1, 2, . . . , n + 1)。 證畢

顯然, 如果把這一理論應用到數列上, 即 將 ai(i = 1, 2, . . . , n) 視作一數列的前 n 項, 對於任意給定的常數 aⁿ₊₁ 作為該數列 的第 n + 1 項, 那麼, 它的第 k + 1 項 不是唯一的。 也就是說, 它的通項公式不能由 a₁, a₂, a₃, . . . , ak 來唯一確定。 這就是通常 教材及參考資料中的例題、 習題裡給了一個 數列若干項後, 強調只要寫出此數列的一個 通項公式的理由所在。

一般地說, 給出了一個數列的最初若干 項, 不能完全確定這個數列的構成法則。 例 如: 對於數列 1, 4, 7, 10, 13, . . .。 經觀察知, 各項都是將前項加 3 而得到後項。 即

第一項 : 1 = 1 + 3 · 0 第二項 : 1 + 3 = 1 + 3 · 1 第三項 : 1 + 3 + 3 = 1 + 3 · 2

...

第n − 1項 : 1 + 3 + 3 + · · · + 3

| {z }

n− 2個3

= 1 + 3 · (n − 2) 第n項 : 1 + 3 + 3 + · · · + 3

| {z }

n− 1個3

= 1 + 3(n − 1)

所以它的一個通項公式為: aⁿ = 3n − 2 (n ∈ N)。 或 aⁿ = 3n + 1 (n = 0, 1, 2, . . .) 可是, 另外由 aⁿ = 3n − 2 + (n − 1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)f (n) 給定的數 列的第一項到第五項也是 1, 4, 7, 10, 13, 而 f(n) 可以取 n(n ∈ N) 的任意函數。 所 以, 這樣的數列就有無窮多個。 既然通項公式 不是唯一的, 那麼要求它的前 n 項之和, 當 然也是不能唯一確定的。

根據不同問題, 有時我們也只能假定一 種適當的 (即最簡單的) 法則, 依這個法則去 求數列的其它各項。

例一: 已知無窮數列 {aⁿ} 的前五項為:

3, 7, 11, 15, 19, . . . 求這個數列 {aⁿ} 的通項公式。

解: 因為所給的條件是不完全的。 根據 引理, 我們不可能寫出數列的所有各項。 所以 它的通項公式 aⁿ有不只一種解析表達式。 下 面僅舉幾種不同的表達式。

第一種: 因 3 = 4 − 1 = 4 · 1 − 1;

7 = 8−1 = 4·2−1; 11 = 12−1 = 4·3−1;

15 = 16 − 1 = 4 · 4 − 1; 19 = 20 − 1 = 4 · 5 − 1; · · ·

所以通項公式為:

an= 4n − 1 (n ∈ N) (1)

第二種:

an= 103

7200n⁶− 321

1440n⁵+ 1931 1440n⁴

−377

96 n³+ 20861

3600 n (2) 第三種:

an=3·(n−2)(n−3)(n−4)(n−5) (1−2)(1−3)(1−4)(1−5) +7·(n−1)(n−3)(n−4)(n−5)

(2−1)(2−3)(2−4)(2−5) +11·(n−1)(n−2)(n−4)(n−5)

(3−1)(3−2)(3−4)(3−5) +15·(n−1)(n−2)(n−3)(n−5)

(4−1)(4−2)(4−3)(4−5) +19·(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)

(5−1)(5−2)(5−3)(5−4) (3) 顯然, 其中 (1) 是在分析無窮數列的前 五項構成的特點後, 才發現它是公差為4的等 差數列, 依此就認為下面各項也是具有相類 似的規律而得出的。 (2) 是在假定其通項公式 為一個 n 的六次式:

an = an⁶+ bn⁵+ cn⁴+ dn³+ en², 代入五個已知條件:



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 = a + b + c + d + e

7 = 64a + 32b + 16c + 8d + 4e 11 = 729a+243b+81c+27d+9e 15 = 4096a+1024b+256c+64d+16e 19 = 15625a+3125b+625c+125d+25e 解方程組得出 a, b, c, d, e 而得到的。 (3) 則 是由公式:

an= a1· (n − 2)(n − 3)(n − 4)(n − 5) (1 − 2)(1 − 3)(1 − 4)(1 − 5)

+a2·(n − 1)(n − 3)(n − 4)(n − 5) (2 − 1)(2 − 3)(2 − 4)(2 − 5) +a3·(n − 1)(n − 2)(n − 4)(n − 5) (3 − 1)(3 − 2)(3 − 4)(3 − 5) +a₄·(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 5) (4 − 1)(4 − 2)(4 − 3)(4 − 5) +a5·(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) (5 − 1)(5 − 2)(5 − 3)(5 − 4) 而得出的。

請大家注意, 在這個問題裡, (3) 與 (1) 實際上是相同的, 將 (3) 化簡後即可得出 (1)。

由於所給的條件是不完全的, 所以其答 案也就不是唯一的。 同時, 從第五項以後並沒 有給定, 因而隨意性很大。 每一種答案都可以 按它所考慮的規律去計算第五項以後各項的 值。 實質上, 都是對前五項組成的數列的一個 擴展。

比較 (1), (2), (3), 顯然以 (1) 式最好, 形式不但簡單, 而且方法也好。 它是從前五項 的結構組成發現的一個簡單的規律。 中學數 學教材中所使用的方法, 大都是採用這種方 法: 從有限項中找出一個熟悉的規律作為通 項公式。 但要知道它僅是其中的一個而並非 唯一。

現在有些輔導資料中常常可以看到給出 一個數列的若干項, 要求讀者寫出其通項公 式或求其前 n 項的和。 如果所給數列是有限 數列, 則完全無可非議。 若是無窮數列, 那麼 就不夠嚴密了。 讀者也只能根據自己的能力, 找出一個只要能夠使所給的若干項滿足的公 式便可以了。 實際上他們並沒有真正找出所 給無窮數列的整個構成規律。

例二: 求數列 7, 77, 777, . . . 前 n 項的 和

(周玉政編著 「中學數學綜合練習題選」) 解:

∵

9 ; 77 = 7 × 10³− 1

9 ; . . .

∴

= 7

9(10¹+ 10²+ · · · + 10ⁿ− n)

= 7

9(10ⁿ⁺¹− 10 10 − 1 − n)

= 7

9(10ⁿ⁺¹− 10 9 − n)。

這樣解法是司空見慣的常規解法。 但我 們不禁要問, 數列的第四項一定是 7777 嗎?

第 n 項也一定是 77 · · · 7

| {z }

n個

嗎? 其和等於

7

9(¹⁰ⁿ⁺¹₉⁻¹⁰− n) 是唯一的嗎? 根據定理, 顯 然其和不是唯一的。 問題就出在題目中沒有 給出數列一個通項公式或者指明它的第四項 及以後項的構造規律。 類似這樣的題目在各 種資料中常可見到, 這就不能不引起我們數 學教育工作者的注意。 命題一定要嚴密些。

例三: 求數列 1, 3, 6, 10, 15, . . . 的一個 通項公式。

解: 上面數列可以寫成:

1 × 2

2 ,2 × 3

2 ,3 × 4

2 ,4 × 5

2 ,5 × 6 2 , . . . , n(n + 1)

2 , . . . ,

所以它的一個通項公式為 aⁿ= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ (n ∈ N)。 或這樣分析:

a₁ = 1

a₂ = 3 = 1 + 2 a₃ = 6 = 1 + 2 + 3 a₄ = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 a₅ = 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5

...

an= 1+2+3+4+5+· · ·+n =n(n+1) 2 。 例四: 已知數列 {aⁿ} 滿足 a1 = 1, an+1 = 2aⁿ+ 3 求通項公式 aⁿ。

解: 因所給的條件是完全的 (相當於有 無窮多個條件), 所以就不能用前面所提到的 公式 (3), 也不能用 (2) 的待定係數法來確定 通項公式, 只能用 (1) 的方法, 先寫出若干項 找出其規律, 並認為 (或加以證明) 此規律就 是通項公式的規律。 但必須要證明這個規律 是符合已知條件的。

∵

∴

a₂= 2a1+ 3 = 2 · 1 + 3 = 5

a₃= 2a2+ 3 = 2 · 5 + 3 = 2(2 + 3) + 3

= 2²+ 2 · 3 + 3 = 13

a₄= 2a3+ 3 = 2(2²+ 2 · 3 + 3) + 3

= 2³+ 2²· 3 + 2 · 3 + 3 = 29 a₅= 2a4+3 = 2(2³+2²·3+2 · 3+3)+3

= 2⁴+ 2³· 3 + 2²· 3 + 2 · 3+3 = 61 ...

an= 2aⁿ₋₁+ 3 = 2ⁿ⁻¹+ 3(2ⁿ⁻²+2ⁿ⁻³ + · · · + 2 + 1) = 2ⁿ⁺¹− 3

下面來證明這個規律是適合已知條件的。 用 數學歸納法證。

證明: 當 n = 1, 2, 3, 4, 5 時, 命題是成 立的。

假設 n = k 時, 命題也命立, 即 ak = 2^k+1− 3 成立, 則

ak+1= 2a^k+ 3 = 2(2^k+1− 3) + 3

= 2^k+2− 2 · 3 + 3 = 2^k+2− 3

= 2^(k+1)+1− 3。

∴

由此可知, 對於任意自然數 n, 命題都 是成立的。

值得注意的是, 對於完全條件下的數 列的通項公式有時也可以有不同形式表達式, 但從這不同形式的通項公式所寫出的數列卻

是一個。 比如對於數列: 1, 0, 1, 0, 1, . . . , 即 a_2n−1 = 1, a2n = 0。 求它的通項公式。

所給條件是完全的, 但我們可以寫出若 干個形式不同的通項公式:

an=1 − (−1)ⁿ

2 ; aⁿ= sin² nπ 2 ; an=1 − cos nπ

2 ; . . .

但不論 n 取任何自然數, 這些通項公式計算 出來的值都是數列: 1, 0, 1, 0, 1, . . .。

參考資料

1. 周玉政, 「中學數學綜合練習題選」, 遼寧東北 師大出版社, 1974 年。

2. 王子興、 宋秉信、 昌國良, 「中學數學教育心 理研究」, 湖南長沙, 湖南師範大學出版社, 1999 年 5 月。

—本文作者任教於中國湖南湘潭教育學院—