2-1 平 面 方 程 式

2-1 平 面 方 程 式

1. 下列有關法向量的敘述何者不正確？

(1)任一平面的法向量恰有一個 (2)(0, 0, 1)是xy平面的一個法向量 (3)(1, 0, 0)是 yz平面的一個法向量 (4)(0, 1, 0)是 zx 平面的一個法向量﹒

解： (1)任一平面的法向量有無限多個﹒選項為(1)﹒

2. 試求下列各平面的方程式：

(1)通過P(2, 1, 3)﹐法向量為(3,2, 4)的平面E﹒ (2)通過P(2, 1, 3)且垂直z軸的平面F﹒

解：(1)E：3(x 2) 2(y 1) 4(z 3) 0﹐即E：3x2y4z16﹒ (2)z軸上取(0, 0, 0)﹐(0, 0, 1)﹐得一法向量



﹐又P(2, 1, 3)﹐ 知平面F z:  ﹒ 3

3. 試求通過A(2, 1, 1) ﹐B(1, 2, 1) ﹐C(1, 1, 3)三點的平面方程式﹒

解：平面上有二個向量：AB



﹐AC



﹐ 得一法向量



﹐又通過A(2, 1, 1) ﹐ 故平面方程式4x4y z 11﹒

4. 試求下列各題中兩平面的夾角：

(1)E ：₁ 2x  y z 7﹐E ：₂ x y 2z5﹒ (2)F ：₁ 2x y 3z7﹐F ：₂ x  y z 5﹒ 解：設為一夾角﹐

(1)



﹐



﹐ 2 1 2 1

cos  ^{ }6 6  ﹐得夾角為602 與120﹒

(2)



﹐



﹐ 2 1 3

cos 0

  14 3^{ }  ﹐得夾角為 90﹒ 5. 試求點P到平面E的距離：

(1)P(1, 2, 3)﹐E：2x2y z 0﹒ (2)P(1, 3, 3)﹐E：3x6y2z 8 0﹒

解：(1) ^{| 2 4 3 |} 3

d   3  ﹒(2) | 3 18 6 8 | 7 5

d      ﹒

6. 若E ：₁ 2x2y  z 8 0﹐E ：₂ 2x2y  z 4 0﹒ (1)試求E 與₁ E 的距離﹒ ₂

(2)若平面E和兩平面平行且到兩平面距離相等﹐求平面E﹒ 解：(1) ^{| 8 ( 4) |} 4

d   3  ﹒

(2)設E：2x2y  z k 0﹐^{| 8 | | ( 4) |}

3 3

k k

    ﹐得k ﹐ 2

故所求E：2x2y  z 2 0﹒

1. 試求下列各平面的方程式：

(1)通過P(2, 1, 3)﹐且平行3x2y4z5的平面﹒

(2)通過P(2, 1, 3)﹐且平行xy平面的平面﹒

解：(1)平面3x2y4z5的法向量



﹐知所求平面過P(2, 1, 3)﹐ 且一法向量



﹐得平面：3x2y4z16﹒ (2)z軸為xy平面的一條法線﹐知xy平面的法向量



﹐ 故所求平面通過P(2, 1, 3)﹐一法向量



﹐得z ﹒ 3

2. 已知平面E：2x y 3與平面F：x  y z 5﹐試求通過點A(1, 4, 1)且與E﹐ F均垂直之平面 的方程式﹒

解：平面E﹐F的法向量



﹐



﹐ 得平面的一法向量



﹐ 又平面通過點A(1, 4, 1)﹐

知平面：x2y  z 6 0﹒

3. 設E：2x  y z 1﹐

(1)若E ：₁ xky3z5與E互相垂直﹐試求 k 值﹒

(2)若E ：₂ axby2z7與E互相平行﹐試求 a ﹐ b 的值﹒

解：平面E的法向量



﹐ (1)E 的法向量₁



﹐

 

﹐即 2   ﹐得k 3 0 k  ﹒ 1 (2)E 的法向量₂



﹐

 

﹐即 ²

2 1 1

a b 

 ﹐得a ﹐4 b ﹒ 2

4. 右圖為空間坐標系上的一個長方體﹐P(2, 2, 4)﹐試求：

(1)平面 ABC 的方程式﹒ (2)點P到平面 ABC 的距離﹒

解：(1)A(2, 0, 0)﹐B(0, 2, 0)﹐C(0, 0, 4)﹐ 由AB



﹐AC



﹐ 得平面 ABC 的法向量(8, 8, 4)﹐ 取



﹐又通過A(2, 0, 0)﹐ 得平面方程式2x2y z 4﹒ (2)由距離公式

| 4 4 4 4 | 8

3 3

d      ﹒

5. 右圖為空間坐標系上的一個長方體﹐P(3, 4, 5)﹐試求：

(1)通過 C 且垂直 OP 的平面E的方程式﹒

(2)平面E與xy平面的夾角﹒

解：(1)OP



是平面E的法向量﹐

又C(0, 0, 5)﹐得E：3x4y5z25﹒ (2)E的法向量



﹐ xy平面法向量



﹐ 5 2

cos 5 2  2 ﹐  及另一夾角為135 ﹒ 45

6. 由P(3,2, 4)與Q﹐R所決定平面的法向量為



﹒ (1)試求平面的方程式﹒

(2)若Q在xy平面的正射影為Q(9, 3, 0)﹐試求Q點坐標﹒

解：(1)通過P(3,2, 4)﹐且法向量



﹐

得：3(x 3) 2(y 2) 4(z4)0﹐：3x2y4z29﹒

(2)設Q(9, 3, )k ﹐因Q在上﹐知 27 6 4  k 29﹐k  ﹐ 故2 Q(9, 3, 2)﹒

1. 空間中有一個△ ABC ﹐其中A(0, 0, 5)﹐B(1, 2, 8)﹐C( 2, 4, 6) ﹐有一點光源在 (0, 0, 10)

P 的地方照向△ ABC ﹐試求△ ABC 在xy平面上的影子△DEF的面 積﹒

解：A﹐B﹐C 的影子分別為D(0, 0, 0)﹐E(5, 10, 0)﹐F( 5, 10, 0) ﹐知△DEF 即xy坐標平面上(0, 0)﹐(5, 10)﹐( 5, 10) ﹐所圍三角形面積¹ 10 10 50

2   ﹒

2. 如右圖，想將一塊正立方體的積木 ABCDEFGH 分成兩塊﹐每一塊各有正 立方體的 4 個頂點﹐則其截面的形狀可能為何種圖形？

(1)四邊形 (2)五邊形 (3)六邊形 (4)八邊形﹒

解：分為 ABCD 與 EFGH ﹐則截面為四邊形﹒

分為AEFH 與 BCDG ﹐則截面為六邊形﹒故選(1)(3)﹒

3. 設O(0, 0, 0)為坐標空間中某長方體的一個頂點﹐且知 (2, 2, 1)﹐(2, 1, 2)﹐(3,6, 6)為此長方體中與 O 相鄰 的三頂點﹒若平面E：xbyczd將此長方體截成兩 部分﹐其中包含頂點 O 的那一部分是個正立方體﹐試 求( , , )b c d ﹒（10 分） 【97 學測】

解：因OA ﹐3 OB ﹐3 OC ﹐ 9 得平面E通過點P(1,2, 2)﹐ 由OA



﹐OB



﹐取



為平面E的一法向量﹐

得E：x2y2z9﹐故( , , )b c d  ( 2, 2, 9)﹒